книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf4 0 5
при к — о .
НОРМЫ
Доказательство. Оценка свиву'функционала т.ф.п.
"£-£*00 известна из теоремы 2
Остается получить |
такую хе оценку сверху |
|
||
|
|
|
|
(3.3.1) |
и тогда лемма будет доказана. |
|
|
|
|
Прежде всего отметим, что |
B l |
вложено в ^ |
В 1 & ^ » |
|
Это следует из того, что В^с В£ |
при = -жр > <\, |
для 'лю |
||
бого nv ц совпадения |
с |
с точностью до |
||
эквивалентных нормировок. |
|
|
|
|
Значит, с некоторой постоянной |
|
|
||
а для сопояжешнх пространств справедливо обратное вло- |
||||
ханм (ЬДУ=> Jft |
и неравенство для норм |
' |
||
H&hizr |
* ci«wu |
|
< э *3 '2 ) |
Начнём |
основную оценку. Вриведенная шже выкладка |
есть просто |
несколько раз примененное неравенство треу |
гольника |
1 |
1 1 0
t
для краткости отдельные слагаемые соответственно их по рядку, обозначим; символами 1,П,Ш, получая з 1±Ж*Ж.
№одое слагаемое знчислим отдельно, причем мы пока жем, что
I * СII |
to % : г |
С1+ ° w) > к |
" 0 > |
|
|
а П. и |
jjf |
есть o(fcm )= o(||dt(ic)||(|^ |
при к* о . |
||
Очевидно, |
что это и: дает неравенство-, (3.3.1) |
||||
согласно (3.3-.2).',, |
|
|
|
||
Это£ выражение нам уже встречалось в доказательстве |
|||||
лешы 18, мы оценим, его |
сверху через |
о ( к 4 ) . |
|||
Для оценки U воспользуемся тем, |
что |
в£ о Вт е с: <£г |
|||
и поэтому |
( 8^,)* = - # 2 |
|
|
|
01 •* .j-
как было показано в доказательстве леммы 18 (свойство 3 ) , o C d 4 ) . Заметим, что здесь к используется условие
по определению ( В н о р м ы ,
Мы мохем выбрать последовательность функций { i - |
(х) | • L } |
- нормы которых равны 1: |
|
г л о = с ( т л х | Г ^ с ^ | г Ц „ | ) = 1 |
(3.3.3) |
и которые реализуют написанный супремум в пределе: |
|
Обобщенная функция ££*(•*) ( f - & ) " " ^ ' v (х/G!( щ)
симметрична относительно координатных плоскостей, прохо
дящих через точку зс=Ь> (<,!,..,<) - |
центр носителя |
^ ' ( х ) . |
|
( |
I») |
|
|
Поэтому и последовательность f |
(*.) |
можно подоирать |
обла |
дающей-этим свойством - дополнительно к ( 3 . 3 . 3 . ) , ( 3 . 3 . 4 ) . Пусть это так и сделано.
Покажем сейчас, как заменить функции J ^ 0 0 на та-
112
кие, которые кроми виех перечисленных свойств ^'"'(х) обладают еще одним - периодичны с основным периодом QK„ ,
Образуем функцию
|
^ |
( |
1г^\х-) |
при |
х<= S4 pp £ " 0 3 = Q*t. |
|||||||
|
|
|
^ |
i - ( i ) ( x - K k i ) |
при |
|
осе |
Q k o O V |
||||
То-есть это функция |
f^Cx) над областью |
О. А.», |
повторен |
|||||||||
ная сдвигами |
над областями |
Qlv«0O. |
Ф 1 ' \ Х ) |
периодична |
||||||||
с основным периодом |
Ок„. |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|||
Ввиду отмоченной выше симметричности |
i-( i (x") функция |
|||||||||||
ф1 1 Сх) получилась непрерывной. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как |
j - ^ V x l |
удовлетворяла |
условию |
Гёльдера с |
||||||||
показателем |
(причем |
у - ч ) _и консч .нтой Гёльдера |
||||||||||
глах I rr j-^Vx)| |
т о й |
Ф^(х^ |
удовлетворяет |
такому же |
||||||||
условию Гёльдера, |
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.ах |
| Г г ф у Ь о 1 * . |
|
m a x |
| Г V b o l |
(3 . 3,5) |
|||||||
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф < " |
-, $ ф * |
(х- ) olx. |
И функцию |
|||||||
• . |
|
|
|
<* |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф ч х > - ф ^ Я с н о , ЧТО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
mXa x | Г Ч ф ^ х ) - |
] |
| = пшх I Г * ф % | s |
1 г У 7>Д |
|||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( П о о - Ф , а , « £ Г |
* |
|
|
|
|
|
< 3 - 3 - 6 ) |
|||||
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• -^|Дх)0 |
*•) |
Щ |
* 1 |
Ч Л |
Л |
Ф |
Е |
' . |
|
- |
|
,(3,3.7) |
l i b
Последнее |
слагаемое |
есть о(_!{") равномерно по j . |
Действительно, |
, |
|
во-первых, |
|
(3.3.8) |
равномерно |
по J . |
|
Во-вторых |
, |
|
|
Ввиду |
компактности |
вложения |
ВХ |
в |
С |
можем |
|
||
считать (так |
и сделаем) |
f ^ O ) |
сходящейся в |
С |
пос |
|||||
ледовательностью. Тогда |
в силу (3.3,9) |
последовательность |
||||||||
чисел |
Ф^ |
также сходящаяся. Поэтому сходится и после |
||||||||
довательность скалярных произведений ( 3 . 3 . 7 ) , |
причем, |
^ |
||||||||
как мы показали, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t. |
ъ-Ь |
, / |
\Ч* |
г Id |
\ (Ь<*1Л |
d S ^ l - |
|
(3.3.9) |
= 1 + ©со.
1 ih
Из (3.3.6) и (3. 3,9) легко следует, что для после-
'довательности функций
выполняются следующие условия
•а-—»
При этом функции |
^(J\*-) периодичны с основным перио |
||||
дом Q/i,,. |
|
|
|
|
|
Повторим с |
этим же периодом |
Qk„ |
функцию £\°0-) |
||
с её мосителя на всё пространство, положив |
|||||
|
> |
• / S f r * ) "Р и |
|
• |
|
<Г, ( х ) = |
•( |
|
|
|
|
Заметим, |
что |
|
|
|
|
^)-^u |
(х / 4 Л ) - |
*) |
\ W |
6f л) /I С gj. Г * |
* С, I[<-^(x)](f лГи(*/^'0|(£/Г =
i
Теперь воспользуемся равенством (3 . 3 . 10), чтобы оценить
Т сверху
1 1 5
= e - w |
i < лk V ) о- д ) 2 u о i (г, «о, 80 > cxi»i+о с о * |
* L 4 ! 0 - ^ ~ u ( * l ^ f e r ^CO =
что и требовалось доказать.
Повторим схему доказательства теоремы 7.
Мы имеем оценку снизу любого функционала погреш ности (теорема. 2 )
1
Функционалы, что и в доказательстве теоремы 7.
Для { 1^ |
{tJ( |
опять имеем (3.2.28) и поэтому |
Отсюда |
4 |
|
j Ч О О П * * |
ы*(4,М) |
|
то-есть, как мы уие |
знаем, |
• ( |
Но W ^ o |
Поэтому |
1 1 6
1 ~ J |
(3.3.14) |
Оценка сверху { ^ ^ W J l i t X |
делается теперь, как в |
теореме 7 : |
|
Разделив |
обе |
части |
на , 1| ^ (x)|l |
у* |
- |
и |
! |
устремив |
lv |
к нулю, |
цриходим к неравенству |
|
|
||
Посколысу (3.3.15) выполнено для СКОЛЕ |
угодно малых |
к0 5 |
|||||
можем написать |
|
' |
|
|
'* . |
||
Это и даёт требуемую оценку сверху |
|
• |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.3 Л 6 ) |
А (3.3.12) вместе с (3.3.16) о'зкачают асимптотическую оптимальность функционала погрешости \{ ^^it,
удовлетворящего условиям теоремы. -
Г Л А В А 1У ' ПОСТРОЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОЕ НУБАТУРНОЛ ФОРМУЛЫ
Нубатурные формулы, асимптотически оптимальные
над несколькими пространствами или классам! пространств называются универсально асимптотически оптимальными. Понятие универсальной оптимальности введено И.Бабушкой
Г 1 ] •
Пример универсально асимптотически оптимальной ку-
батурноИ формулы даёт формула прямоугольников |
|
|
|||||
|
|
в |
периодичес]яэм случае. |
|
|
||
Действщтел^но, |
как мы видим, она асимптотически |
опти |
|||||
мальна ( |
и даже |
просто оптимальна) |
над любым" В |
прост |
|||
ранством |
с естестБеттьм! |
условиями |
I 0 , i . ' . 3 ) , ( l . r . l 0 ) и |
||||
подходящей эквивалентной |
нормировкой. |
|
|
|
|||
Понятие "универсальной асимптотической |
оптималь |
||||||
ности в одной из^квивалентн^х нормировок" |
отвечает су |
||||||
ществу дели: «w-ея это свойство Для |
конкретной |
кубатурной |
|||||
формулы, мы уверены в её хороших оптимальных |
свойствах |
на заданном множестве* функ^и. Свойство универсальности даёт возмоянисть при интегрировании ^конкретной Фуши+ж удобнее выбрать то иа пространств среди множества содер жащих данную функцию, которое лучше учитывает свойства функции. Вмэсте с тем редко бывает возможно точно выиис-. лить норму функции, остаётся удовольствоваться оценками норыь - а для этого достаточно одной из эквивалентных нормировок.
Исследования, доведенные нами в предыдущих главах,
|
|
|
1 14 |
|
|
|
позволяют сформулировать простые достаточные условия |
|
|||||
универсальной |
асимптотической |
оптимальности нубатурной |
|
|||
формулы над целым! классами банаховых пространств. |
|
|||||
А именно, |
мы имеем возмозность рассматривать |
сразу |
|
|||
следуицее |
множество пространств. |
|
|
|||
Зйд£1димся числом |
М , М > |
|
|
|||
Пусть |
ju.(j.) е Ht ( M i . K ) |
с каким-нибудь |
М ^ С ^ . Ю - |
|||
Рассмотрим |
|
|
|
|
||
Утверждение. Если |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(4.0.2) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
{ ^ C x ) j U 3 , e ^ C Q A , M . a ) , |
|
(4 . 0 . 3) . |
||||
то ^/vCx ^ |
|
является функционалом погреюости3соот- |
1 |
|||
ветствупцим квадратурной формуле универсально асимпто |
|
|||||
тически оптимальней над всем (множеством пространств |
|
|||||
(4 . 0 . 1) . |
|
|
|
|
|
|
Сформулированное |
утверждение является прямым след |
|
||||
ствием доказанных ранее .теорем. |
|
i |
Воспользуемся им, чтобы построить куоатурные форму лы нового типа. Мы построим их в этой главе, удовлетворяя свойству ( 4 . 0 . 3 ) . Поэтому эти куоатурные формулы будут обладать оелабленно регулярным погр%!Чным слоем и будут •
универсально асимптотичесш оптимальными *вд множествам пространств (4 . 0 . 1) . Ниже мы даём описание построения фун*-