книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf19
§.0.3. Известные результаты по близким проблеял.
Остановимся подробнее на работах ил близко!-! нам облас- '
ти - отыскании асимптотически оптимальных форм с узлами на ' решётках.
Выше мы говорили о работах С.Л.Соболева. Сейчас оста
новимся на результатах других авторов.
И.Бабушка установил важзме свойства экстремальней
функции оптимального функционала погрешности , вычис
лил оптимальный функционал |
по грешное™ в периодическом слу- |
||
чае для |
пространств Н г |
ввёл и исследовал понятие универ |
|
сальной |
оптимальности, |
т.е. |
чшимальности данной формулы |
над несколькими пространствами [2.2} ,[2.о]
NH.С.Бахвалов и И.Ф.Шарыгин получили оценки снизу для
норм функционалов погрешостей при произвольных узлах и весах над лиодгими банаховыми пространствами \3.23Дз.зТ^ Г_Зо] и др. Э-ii. оценки имеют больное зныч^-пие, так как поз
воляет оценивать качества любых формул, а в решётчатом слу
чае выделять формулы оптимальные по порядку - достаточно по лучить соо тв етствующие оценки сверху.
Л.В.Войтишек вычислила кубатурные формулы Соболева для некоторых многогранников [ 7 ] Н.В.Блинов вычислил их
для некоторых плоских областей о кусочно гладкими граница^ ми [ б ]
В. И. Поло вин кин распространил теорию асимптотической оп
тимальности на интегралы с весом ^14. , получил результа
ты по асимптотической оптимальности для ряда эквивалентных норыировок W z m (12) Г.14.23
2 0
Ц.Б.ШоГпксуров устаногил асшллтотическую оптимальность фор
мул Соболева ,гщя одной из эквивалентных нормировок пространств
Т.X.Шарипов установил универсальную асимптотическую опти
мальность формулы фямоугольников при интегрировании по
основному гЕрюду периодических функций из гальбертовых
пространств |
Иg |
С2 9^ . |
|
|
||
|
|
§ 0.4. Общее описание основных результатов. |
||||
|
Паши результаты ^формулированы в настоящей работе в |
|||||
виде |
определили |
(определения' G - 9 ), теореы (теоремы |
||||
1 - |
8 ) , описания построения формул нового |
вида <глава 1У). |
||||
|
Основное содержание этих результатов такое. |
|||||
|
На пространстве периодических функций |
В |
(доволь |
|||
но произвольном, |
но не весовом) доказано существование эк- |
|||||
вивала!тной нормировки, |
при введении которой формула прямо |
|||||
угольников |
|
|
|
|
|
|
становится |
оптимальной. Правило введения эквивалентной нор-^ |
|||||
мы выписано - это |
|
|
|
|||
|
Ц£( ~>11~ |
= m » |
( | l i - w - f . l | g ) | f e | ) |
(теореиа 1) |
||
При этих таг ограничениях на Ь > установлена оценка снизу для любого функционала погрешности
К -^о |
(теорема 2) |
i |
2 1
Даётся аксиоматически!! подход к проблеме псимптотическоГ. оптг.шшюети lyineujionanoB с ослаолешо регулярна.! погршшчшэ.! слоем шд гилыхфтовилн пространствами (главы 1,Л, определения 5 - 9 , теоремы 3 - 6) и банаховыми прост
ранствами функции с пегрершнмли нроизгю,:цш.!и некоторых по рядков (гл. Ш, теоремы 7 , 8 ) .
Идея этоП оксисмстики состоит Б том, что для асимптотичес
ком оптиыьльности фунгацонапоп погрешности с ослаоленно регулярнш пограничный CJDCM над рассмотренными пространства ми достаточна оптимальность по порядку этих Функционалов над некоторыми другими пространствами - в частности, над
пространствами V/^ Д" я всех hrv из некоторого интерва
ла С и ъ м л д Показано, что функционалы Соболева удовлетворяют тре
бованиям, наложенным аксиоиатикой ( п° 1,2.3 ).
Построены ноше функционалы, также удовлетворянцие требованиям аксиоматики, и, следовательно, также являющие ся универсально асимптотически оптимальными (гл. 1У).
Идея построения этих ;орыул состоит в привлечении локальных методов теории линейных уравнении с частыми производным!, опираемся на операции разбиения единицы-и локальное рас прямление границы.
IptfljioJcejiiiJit метод является .более экономным и реализуем для областей с гледми.и границами.
8 заклгнение, в §§ 5.2, 5 . 1 , мы формулируем никоторые выводы и те в&дачх, гокше еовникли в связи с примененны- ым аьык методами и подучаиьыи реы_,дьтьт£ыи.
2 2
Г Л А В А 1
от\шыш ПОРЯДОК КУБАТУРНЫХ •ирш •
§1.1. Интегрирование периодичесжх Функций.
Вэтом параграфе ш выясним вид оптимального функцио
нала погрешности |
над произвольным пространством В |
и |
|
покажем, как мо.ио перенормировать его, чтобы оптимальной . |
|||
стала формула |
|
|
|
t l r ' ^ |
- t ^ - k K H |
ft*-кh) |
(1.1.U) |
Сразу отметим, что хотя говорится о "произвольном" В и класс изучаемых действительно, широк, но мы с
самого начала исключаем из рассмотрения весовые пространст ва, потому что всегда требуем инвариантности нормы по сдвигам аргумента Функции - свойство (0 . 2 . 3) .
тР 1.1.1. Оптимальные Формулы.
Леша 1. Над банаховым пространством В со свойст
вами (0 . 2 . 2),(0 . 2 . 3) один из оптимальных функционалов пог решности имеет вид
Это утверядение для строго выпуклых пространств бы ло установлено С.Л.Соболевым [19 . 12^ в приведенном здесь виде его независимо получил Г.Н.Салютов.
Доказательство.
. Пусть оптимальный функционал ьадаётся формулой
Ь- |
J4 |
к А 6(3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
Для любого |
целочисленного |
вектора |
3 |
с условием |
||||||||||||
Sj |
= ° |
|
l |
, |
. , |
^ h . - i - l |
|
Cj |
= 1,..., *Л |
|
' |
Функционал |
||||
l |
i |
' |
(х^Л |
|
|
|
|
|
определенный правилом |
|||||||
имеет |
норму, |
равную норме функционала |
{ |
' - k ^ i ^ c f C . ' ' |
||||||||||||
t t - ^ C x ' j ] ^ |
|
|
|
с а м |
является |
фуншроналом погрешности: |
||||||||||
где |
|
С„ |
- |
|
коэффициенты оптимального |
функционала, перио- |
||||||||||
начально |
заданные |
в точках |
кКе£? |
|
и периодически про |
|||||||||||
долженные на всё |
пространство. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Значит, |
|
^"Ц.с *л ^-К,бЗ<. |
тоже оптимальный функционал. |
|||||||||||||
Среднее |
|
арифметическое по всем |
S |
функционалов |
||||||||||||
является |
функционалом погрешности. Очевидно, все коэффи |
|||||||||||||||
циенты |
СКо |
|
функционала . |
|
|
равны друг другу |
||||||||||
С<д |
|
= (const |
|
п о к ) = с в ) |
норма |
|
|
не превосходит |
||||||||
И i ? w l U , = Н е - к м |
Ц л , т , |
е ' • и °^сЦ-тоже |
оптимальный |
|||||||||||||
функционал. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Чтобы яснее представить себе положение, |
вычислим я » - , |
|||||||||||||
ный вид оптимального функционала ( 1 . 1 . 2 ) , |
т . е . , постоян |
|||||||||||||||
ную |
CD |
(к.) |
|
для некоторых конкретных пространств. |
||||||||||||
Следующий результат при |
р = 2 |
был установлен И.Бабушкой |
||||||||||||||
[ 2 . 3 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
Леша 2. |
Пусть |
J*(*) |
функция дискретного аргумента |
||||||||||||
к |
со |
свойством: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2.4 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
для некоторого |
р , |
1 s |
f s |
м 1 |
|
|
|
|
|
( <r i |
/ |
P |
|
*) |
|
|
(1.1.3) |
Тогда над пространством |
Hp |
Функционал |
|
погрешности |
|
|||
(1 . 1 . *) |
с |
|
|
|
|
|
|
|
, |
_ |
I |
|
|
|
|
J . + J . - 1 |
(1 . 1 . 4) |
является |
оптимальным. |
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
— ц |
|
|
|
|
|
Сопряженным к |
Н в |
является пространство всех обоб- |
||||||
|
|
|
г |
|
^ |
|
|
|
щенных функции вида |
|
|
|
|
|
|
||
с конечной нормой |
|
|
IJUI |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Hp |
|||
Каждая обобщенная функция £-(эч> задаёт фушаиснал на |
||||||||
по правилу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< t t x ^ , f c x j > » ZI t s 5-j. |
. |
» |
|
||||
В частности, в ряды Фурье раскладываются и функционалы
•погрешностей. По лемие 1 один из оптимальных функционалов
погрешностей можно записать в пиде |
|
|
|||
|
КоэффициентыФурье,функционала |
такого |
вида есть |
||
ll-i-c0t |
L° = - c D для |
& =ч Г |
^ |
( - |
любой целочис |
ленный вектор), для остальных s |
|
= о При любом выборе |
|||
С 0 норма-этого функционала |
раит |
|
|
|
|
*) |
Прир = оо C2 1 | Q k \PY'p - 4 |
а р | а - к \ |
- по о предела/ир. |
||
2 5
V
C^-j соответствующее оптимальному функционалу, даёт мини
мум функции <^ |
Из последней формулы непосредственно |
||||||||
видно, что |
оптишлыюе |
С„ не может |
быть комплексным, а |
||||||
на действительно!-, |
оси не макет быть вне |
отрезка |
\_0,1^ |
||||||
Остаётся найти точку |
минимума ^ ( О на |
отрезке [ 0 , l j |
|||||||
При \ £ f '< |
оо |
|
рассмотрим чункцию |
|
|
||||
Она непрерывно ди^^енцируема на \o,l\ |
, дачки минимума |
||||||||
легко находится и даётся формулой (1.1.4) |
|
|
|||||||
~Орш р'=оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
= S-U.P |
U |
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ыюпшуи нериы -будет достигаться при |
1 - |
с. - |
с с _ |
ми |
|||||
С* ? 4 |
а-1), |
«*о |
совпадает с формулой |
{1.1Л). |
|||||
Тазш ооразом, мы шдми, « о для пространств |
|
||||||||
О < c , ( * i t i ) |
но |
С(к) |
прешпен ы 1 при к |
О . |
Оиввы- |
||||
« е ю я , еп |
(;вог^-за |
|
С. (К4) шеяг общий идзахтер. |
||||||
Л***»* 3. |
Еслм про«райство Б |
уцивдетворяет услови- |
|||||||
|
26 |
|
|
ям (0.2.Z), (0.2.3). |
|
|
|
I I J c ^ o L - * |
H ( ^ - 5 o » ^ для всех |
i c ^ f e B |
( l . l . b ) |
n |
|
|
|
H i . C ^ U o r - " 0 |
ФИ ^ O , |
(1.1.6) |
|
TO |
Ъ |
|
|
с . 0 Л |
= 1 + 0(\\1\м\\ъ^ |
|
( 1 л . 7 ) |
и |
|
|
|
\ c 0 C M U l |
|
( 1 Л . 8 ) |
|
Донаоательство. Оптимальный Функцюнал (1.1.2) запи шем в следующем гиде
Теперь имеем |
' |
(1.1.9)
= l c e | |
U ^ ( * \ 4 с » ^ \ / ц $ о о * ъ = |
здесь применяем (1.1.5) > \ с . | • || L 1 K w l l ^
3)8ИИТ, |
| С „ I i 1 |
|
2? |
|
|
|
Далее |
|
|
|
|
приК^ - о . |
Но • Hjt^CxiH |
= c o n s t + о . |
Поэтому |
|
\ 4 - c . \ < |
С • H t ^ x i | l ^ - J " |
° |
при |
U o |
n° 1.1.2. Свойства формулы прямоугольников
Мы будем говорить, что заменяем норму пространства
Вна эюэивалентную, если для всех (пункций j-Cx^fTJ
определяется |
новая норма |\^ (•aco\jr_ |
со |
свойством: |
|
||||||||
найдутся две |
постоянные |
С 1 |
и С г |
такие, что |
|
|||||||
О < Сл |
5 С г |
< |
оо |
|
и для |
всех |
f cso е В , |
i c ^ O ^ O |
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 1 |
и |
С 2 |
называются постоянными |
эквивалентности. |
|
|||||||
Пространство, |
получившееся в результате |
перенормировки, |
||||||||||
обозначается |
"В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Леша 4. |
При выполнении условий (0 . 2 . 2),(0 . 2 . 3) |
||||||||||
для наждого |
к |
норму |
Ъ |
можно заменить на эквивалент- |
||||||||
ную так, |
что |
постоянные эквивалентности |
можно выбрать не |
|||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
/•>*' |
зависящие |
от |
h, |
и в |
новой норме, над |
пространством |
В. |
||||||
при |
каждом |
К. оптимальным будет функционал |
t k W |
, |
||||||||
|
Доказательство. |
Покажем, что |
В А - |
норму можно за |
||||||||
дать формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введём вспомогательную нормировку I
28
2.
Эта норма эквивалентна исходной:
Сравним нормы |
и |
& Г |
Д Л " OTOI-O |
определив |
о\1ератор |
|
Т ' . ' Ъ ^ В з . правилом |
Т |
= ff^O - Jo+ |
|
-j- Ск к1) |
||
5 то линейный ограниченный оператор, определенный на всем |
||||||
Е>2 ^ обратимый. Обратный оператор действует по правилу |
||||||
T ' ^ t ^ ^ i W t i . |
- U " ^ ^ ^ |
таювв |
ограничен и |
|||
определен на всём |
ь |
Заметим, что |
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
ИТ"1 !"1 - Н<ж-Л1К |
4 * < > o l U ^ T l l - U c ^ l - g |
|||||
Поскольку нормы пространств'Ьо =^^ "%л |
. |
эгаэи- |
||||
валентны, то соответстиунцие сопряженные пространства име- |
||||||
ют эквивалентные нормы, задаваемое формулой |
|
|
||||
Нам будут важны два факта. |
|
|
|
|||
а) Норма пространства |
1Ь* обладает |
свойством |
|
|||
и равенство достигается только при lt~o |
Действительно, |