книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf93
8*е(*Ж*)Цн* С(«)|ч«<*)|1$** Сф-СДуМВ^
Воаьмёи t e ( x ) равной 1 на носителе Сц. (=0
« * Ц |
t«#(*>«5f c |
/ |
II ¥ М 11% |
Итак, |
|
|
|
|
|
Очевидно, |
квадратная скобка есть о(1) при h-*o |
|
|||
Так чти |
(V о ( ^ ) . |
|
|
|
|
(3.1.13) |
- домазано. |
|
|
|
|
Ия (3.1.13) |
и <3.1.14) |
следует, что |
|
||
I K W - u |
C x j ^ |
m |
^ ^ o C r ) . |
(3.1.18) |
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
. . 2 \«tVx)JJ^jV |
( i t o ( i ) ) |
- |
1 Re < £ f t x ) , ir(x)> = |
|
|
ОВДяшся снова к (3.1.12) |
|
|
|
||
, \|ф*>1[адз* -e |
1**(*|^'л)И<»* £ И * ) И * * ± |
(3.1.19) |
|||
1 0 0 |
|
\ |
* |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
\ |
|
Благодаря влояенип W± |
W z |
последнее слагаемое |
оценивается сверху через |
|
|
i|U4*bu(*Uh°> '*.)|lu* |
= о ( Г ) |
согласнЬ (3.1.18) |
А для первого слагаемого в правой части (3.1.19) Имеем
Опять последнее слагаемое оценим сверху, заменив норму
на |
, а с «f4 - |
нормой оно уже оценено по свойству 3 |
|
(с р = о ) |
через |
о ( 0 . |
|
Итак, |
|
|
|
I ^ ( * % . Г =1 ^ W ^ - ^ ( * l ^ > - ) « ? , + 0 ( О « ' |
|||
= СII |
0; Л |
С* I « J . - О |
Ц * ° (.О $ |
$ . C K < - A ) V * I е Ы » ^ |
C f O - z h x i X i - ^ ^ l ^ . - n ) ! ! |
||
Второе слагаемое мы ухе рассмотрели при доказательстве свойства (3.1.13) и показали, что он есть a(hT~}.
: Таким образом, |
|
II £ c*)fo - r = |
О o(D), |
что и требовалось доказать. !
Теорема 7. Если
t
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ЭД.20) |
то с некотори |
р & |
[ i •>=') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|_ ^ С * ) ] i ^ j t |
— |
асимптотически |
оптимальный функционал |
|||||||
погрепности над пространством |
W»o(-Q) для |
|
|
|||||||
Доказательство. |
Над пространством |
W^T |
любой функци |
|||||||
онал i^C*) оценивается снизу так |
( т е о р е м а 2,") : |
|
||||||||
II tfooijear |
|
* , л М | |
w l c * : r ^ + б С 1 ) ) • |
( Э Л , 2 2 ) |
||||||
Идея доказательства |
*) |
теоремы состоит в том, что для |
||||||||
функционалов (3.1.20) мы можем получить такую же оценку |
||||||||||
сверху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
* Ш - « |
( i |
+ |
o |
W ) |
- |
( З Л , 2 3 ) |
|||
Ясно, что ив ^(3.1.22),(3,1.23) |
и следует асимптотическая |
|||||||||
оптимальность. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим - |
- 0 - L = |
' |
U |
Qb.(sK,) |
|
|
||||
Отметим, что при |
К0—о |
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим |
|
|
|
| Л \ Л О - * 0 |
|
|
|
|||
к ^ с * % * г * ! tfc->i[«r.+1 оЙг« та* ( З Л - 2 5 )
*) мы взяли её из работ Соболева р9-Ц1,где она применялась в гильбертовых iC^1 — пространствах.
Ю 2
Имеем
(o(t) |
зависит от |
' » • • ) • |
|
|||
Huxe мы установим такую оценку, |
|
|||||
С некоторой функцией |
чэ(т) (if(t)-»cnpH t-*-o) |
|||||
Показам сначала как с помощью (3.1.27) |
зазеряить доказа |
|||||
тельство теоремы. |
|
|
|
|||
По^дставии (3.1.26),(3.1.27)'в (1.1,25) и разделим |
||||||
обе части на |
J £ J (x)j| |
= + С1 ) • |
|
|||
u k w |
I |
та |
- / к о * |
1Л1 • ( 1 + • W ) |
+ |
|
Устремив к нулю |
к, |
получаем |
|
|||
Левая часть не зависит от |
I , , а ь прелой части квадрат |
|||||
ная скобка становится сколь угодно МИЛОЙ при малых 'и . |
||||||
Поэтому оценка верна и без этой скоб» |
|
|||||
Отсюда и следует оценка (3,1.23) |
i |
|||||
Займемся свойствен (3.1,27) |
|
|||||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
•'• |
k . M t |
* ~ -«<-?.M 3 |
I |
1 0 b |
|
HQ тогда и
Отсюда и из леммы 9 следует, что
Ь * ч а Л ( |
б Г П |
к о с * . - ) ] П й ( ^ Л а ) . |
Это означает, в частности, и справедливость оценки (ЭЛ.27)
§ 3,2 . jfofrT лШ^ДЗДУ U ~ "°Р"
Главная задача этой работы-минимизация нориы функциона ла погредаости в пространстве, сопряженном к некоторому 3 банахову пространству гладких Функций, может быть сформули
рована по - |
другому (эту формулировку мы берём из работы |
||
Н.С.Бахвалова fs . z] |
) |
||
О функции |
f (х") |
известно, что она '•принадлежит некото |
|
рому шару |
Sg, |
банахова пространства В: 1 Ш * ) Н ь ^ & . |
|
Наине кубатурную формулу, данную наилучшее приближение рав номерно по всем функциям из данного шара Sre
iki решаем ату задачу, выбирал предварительно в задан ном банаховом пространстве В одну из эквивалентных норми ровок, удобную в доказательствах.
Надо отметить, что не в любом пространстве В сформутированная задача получаетая естественно поставленной. Речь идёт о б/жаховых пространствах, нормы которых выража-
А сч |
|
|
ются через интегралы от ч'ункциГ. и ей производных (заме |
||
тим, что эквивалентные нормировки |
таки.\ пристранств также |
|
содержат интегральные выражения). Как правило, ото очень |
||
употребительные пространства - |
3 \А/рч. |
0-—днако, мы |
считаем, что они пе вполне соответствуют е(£ор=_улированной задаче теории кубатурных ф и ^ л . Например, для W.T нрост-
ранстю получается; информация, использованная для того,
чтобы оценить точность приближенного значения интеграла, содержит значения интегр<.и»ов от квадрата Функции и 1свад-
ратов её пршиводных - то-есть опять интегралы и даже от более сложных выршяэний. .Чонечно, эти интегралы можно бы
ло бы оценить сверху через максимальк :е ьлвчения их подин-
тегральных выражений. Но из условий поставленной задачи не
следует конечность этих подинтегральных выражений, они мо гут и не быть конечными.
Выход, повидимому, в том, что желательно оценивать
нормы функционалов погрешности над пространствами, выраже ния норм которых не содержат интегралов. По крайней мере,
такие нормы, выраженные через максимальные значений функций, её производных и модулей гладкости, позволяет сводить проб лемы интегрирования Функций к задачам .другой области - отыс
канию максимумов функций.
Так мы приходим к формулировке первого условия - нор ма банахова пространства В должна выражаться череа мак симума функции, её" производных и модулей гладкости.
Такие банаховы пространства мы называем пространствами Функций, непрерывно дифференцируемых до некоторой} порядка.
. Норма W~ - пространства для четных, т. удовлетвбр*-
ет 'поставленному |
J - C M W D , |
Заметим, что |
при чётном |
ш |
||||||
|
2 _ U + ' i u l " ) |
"1к,е |
|
= |
|
f o o , . |
( З . ; . л ) |
|||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 • ,е |
Д - |
+ •••+ -j^-r |
- |
оператор Лапласа. |
(Рассмот |
|||||
рим равенство (3,2.$при |
л»-<>ьк |
|
"п, как определение |
его |
пра- |
|||||
БОЙ |
части |
(^~л) |
|
через |
левую. Г-то |
оудет удооно |
в |
|||
дальнейшем). |
- корму молю теперь |
зашеать так |
|
|||||||
|
Если |
ввести |
С - норму |
термулой |
|
|
|
|
||
|
U^)\\z = |
(пах |
( I K |
X |
) - W , I |
U |
) , |
|
-'ч.г.з) |
|
то 63.2.2) записывается в виде |
|
|
|
|
||||||
|
ш * ) 1 1 ^ = | 1 о - Л ( ^ » с • |
|
|
|
[ ъ ' 2 ш 4 ) |
|||||
Так определенная норма удобна для примспэния наших
методов доказательств (она.является "нулевой" нормой
(3.2.3) степени некоторого оператора |
( f - u ) " 1 ^ ), |
прл чёт |
||||
ном |
nr. (3.2.4) удовлетворяет |
поставленному нами выше ус |
||||
ловию. |
|
|
|
|
|
|
|
Мы, установили достаточные |
условия |
асимптотической |
|||
оптимальности функционалов пргрешности |
{ |
C*.^(x)j и х над |
||||
We2" |
пространством периодических функций с нормой |
(3.2.4), |
||||
(3.2.3) и соответствующий ему пространством |
\йС(.л )функ |
|||||
ций, |
заданных в И |
с нормой |
|
|
|
|
i с;
Норма w«, - пространства неудобно в другом отноше нии. Обычно информация гладко':ти функции за!ушчается в ' конечности некоторых выражений от отдельных производных, а (ЗЛУ/ ) задаётся как максимум модуля значения некоторого линейного оператора ( 1 - н а Функции j-(x). hc-нечно,
но нормы, стоящие'С'I.J3HHX сторон з'гого неравенства, не эквивалентны и не могут заменять друг друга Б нашей зада че.
Мы хотим, |
|
чтобы норму пространства |
В |
можно было |
||||||||
продолжать задавать в виде некоторое кулевой |
В" - |
нормы |
||||||||||
от степеней оператора |
(J-<0 , а |
^иенко |
А Ьиде |
|
||||||||
Одновременно, |
пространство |
|
В |
должно иметь |
такую |
эквива |
||||||
лент!:^ |
нормировку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|<*|ьпг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это .-.аше второе |
условр.. Пространство |
|
ему' не |
удовлет |
||||||||
воряет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя |
|
оиа условия, |
приходим к• следукщему |
требова |
||||||||
нию на над ндрмы банахова |
пространства |
В |
|
|
||||||||
Должно выполняться |
(3.2.6) |
и неравенство |
|
|
||||||||
|
|
|
|
UI*-IP. |
|
|
|
|
|
|
|
|
C t |
, C i - |
не |
завис чщме от _ f ( » ' постоянные |
|
||||||||
( Ос Ct |
Ci •=• °° |
) |
, |
ь |
Й', и |
— нормы не содержат действия |
||||||
интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V
1С?
В теории при олихен ий и уравнений с частным) произ водными давно применяются "гёльдеровы нормы", удовлетворящие сформулированному 'фебованию fal}.Обычно эти нормы выра-кают через конечные разности и модули непрерывности' некоторых порядков. Например, можно взять такие нормы
1де |
у>о |
, s = о, f,... |
(в |
остальном |
S" и S |
произволь |
|
ны), |
Д |
(без индексов) - |
оператор Лапласа, |
|
|
||
д8 К * ) |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что п^м объединении (3 . 2 . 8) и (3.2,9) возникает |
|||||||
оператор Q - д) в степени |
. Можл~ было 6и восполь |
||||||
зоваться |
произволом в |
выборе У, s |
и взять их такими, |
||||
чтобы степень оператора (1-й") была чётной, это |
уироша |
т |
|||||
вычисление нормы. Например, можно было бы ваять |
|
|
|||||
Мы не можем следовать |
этому правилу, |
потому что |
согласно |
||||
своим методам должны требовать |
|
|
|
||||
|
|
0 < |
i . |
|
|
|
(з'.г.Ш |
Тогда |
естественно положить |
S = 0. |
|
|
|
||
Таким образом, мы останавливаеися на следующей нормк |
|||||||
I f W S g |
* |
|*C*)Js5 = " « * x ( U |
|А Э 0 - Д??(х )|,!4 ,оч<1 |
. ( 3 ' 2 Л 2 ) |
|||
Её удобно записать так |
|
1 |
|
|
|||
В^,Сл)-это пространство аадаю-ък |
в - f l |
функций |
с |
ко |
||||||
нечно!; нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* К х ) 1 в£ст = |
u * |
h^>kz.G^*§: |
. g w i n |
= |
• |
• |
||||
Обозначение |
B^i" |
объясняется |
та/., что |
это^ есть |
|
|||||
с точностью.до эквивалентной нормировки пространства |
|
|
||||||||
Никол ьскогс-Бесива |
Е^е |
при с>=в = ° ° |
Г') ЗД^-^З. |
|||||||
На Е ^ |
мы распространяем результаты |
об асимптоти |
||||||||
ческой оптимальности, |
установленные |
раньше для пространств |
||||||||
w ; ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3.3. Распространение результатов на .В^нормы |
||||||||||
U пространствах |
B ! i |
с нормами |
(3 . 2 . 5) |
|
установим |
|
||||
достаточные условия г-симптотической оптимальности анало гичные тем,' которые были получены в § 3 . 1 .
Чтобы распространить предыдущие результаты на новую
область, нам не достаёт только соответствующего обобщения леммы 18.
Ниже приведём это обобщение и покажем, как из него
следуют результаты об асимптотической оптимальности. Пов торение некоторых ро'.'.:уздений, которое при этом произой
дёт, оправдывается |
в.шостьь |
результата. |
• |
•Лемма 19. для |
rtt^ |
, М ) |
|