книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf
|
3 9 |
* |
совместимы. |
|
|
Teopei.a |
б. Не решеке (2.3.о1) асимптотически |
оптималь |
ным над W2n |
пространством является чункционел |
класса |
< rn'< m.i.n. fx: < nuajc m,- s m."
Норма функционала,асимптотически оптимального над пространством в решетке (2.3.31),есть
I |
С W t e |
n f |
= l - Q l * W~ |
-Тщф"® |
(2.0.34) |
||
При |
Jsf—те |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Эта теорема есть |
простая переформулиров- |
|||||
ка i |
на решётки |
(2.3.31) |
и пространства Wt общих |
резуль- |
|||
татов-теоремы 4,лем>.(ы 14 и теоремы 5,установленных для |
|||||||
произвольных пространств HJ ! |
|
|
|
||||
Конечно,в упомянуты., утверждениях |
мы устанавливали |
асимп |
|||||
тотическую оптимальность для простейшей решётки |
|
||||||
Кк = ( к Д , . . . , к . Л ) , |
k ^ o . H . - t i , . . . |
|
|||||
Но их доказательства не зависят |
от вида решётки и без из |
||||||
менений переносятся,например,на |
решётки вида |
|
|||||
|
кк = С к г . К К |
|
|
к^.-о,и,±г,... |
|
||
А ведь (2.3.31) |
как раз такого вида. Поэтому мы не приво |
||||||
дим подробного докааательства-это |
оыло бы просто перепи |
||||||
сыванием доказательств |
теорем 4,5 и леммы 14. |
|
|||||
з о
Г Л А В А Ш
АСИ,»шта1:-.чШ1м оптс^лльнооть НАД ГРОСТРАНСТУЛШ
а'УПВД,; С НЕПРЕШЫШ! ГРОИ^ОДНЫмИ
В этой главе"пространством функций'с непрерывными про-
изводными" |
сначала Оудем называть |
с нормой (0.1.4) |
при р=.оо . |
Получив Д;1Я них условия |
асиштотической |
оптимальности функционалов погретоетей,мы распространим
эти |
результаты на пространства И ос. с нормой (0.1.5) |
при |
р = оо . |
S 3.1.Асимптотическая оптимальность над
Рассмотрим обобщенную функцию |
|
|
|||
К * ) = , X q ( * ) " X a K S £ * - K |
) , - |
(3.1.1) |
|||
учо^1створякщую условиям |
|
|
|
||
< А ( х ) , х ч > = 0 |
Для |
М 1 * М |
(3.1.2) |
||
Она называется |
"элема1тарным функционалом" I*8-'?] . |
||||
Для любого |
М |
мало ушзать такое |
С ,чтобы система (3 .1 . 2) |
||
относительно |
коэффициентов |
Q K была разрешима |
к,следователь |
||
но, элементарный функционал |
существовал. |
|
|||
Положим для |
некоторого |
ка |
|
( |
|
и
K |
, . u « t 4 |
(3.1.a) |
|
|
|
|
|
|
9 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
Заметим,что |
(*)-цункционал |
топа |
Фужционала |
погрешности. |
|
||||||||||
ka |
будем считать |
таким,что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
и |
X " |
|
-целые |
числа. |
|
|
|
(i». 1 . 4 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма |
18. Для |
|
m.е |
Q |
, |
М ) |
|
|
|
|
|
|
|||
при |
к — |
о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Сначала получим |
оценки некоторых функции |
|
|||||||||||||
в нормах |
|
пространств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть ч>(т) равно О |
npi |
- d o |
и |
|
1 |
при |
t r > i |
, ' С " " ^ |
1 ) |
||||||
и 4>'(t)»0 |
.Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эта функция бесконечно дифференцируема и (цшитна с носите |
|
||||||||||||||
лем |
Qk, . |
У i ; ( x ) | c |
t . «. С |£л М*" |
|
|
для любого г >• о. |
|||||||||
Пусть |
|
u C * / € t , D l |
) - ( l - A 7 m |
^ ( x ) . |
|
|
|
|
|||||||
мы обозначаем |
ci * C « V " > e O |
•, J / = |
|
|
, |
MJ = •*,•+ —+ |
, |
||||||||
* ! ^ , 1 . . . ^ |
, i < . «с*.. |
|
|
|
D |
- |
- |
^ |
^ |
- |
|
||||
Свойство 1. для |
г в [о, т.] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.1 м . ^ * г |
' |
* R i w l w ; 1 - * * - С Д " * - 1 |
(3.1.6) |
||||||||||||
СюЦсяво 2. Пусть |
2, (*), i±(x) |
-периодические с основным |
|
||||||||||||
периодом |
Q |
функции. г,(*)глад№Я,а |
4»(х>* |
|
.Пусть |
|
|||||||||
б"в (ъ,гп - £ у |
|
|
.Тогда |
te |
[o.m+ij |
|
|
||||||||
где |
- |
92
|Ф,(х% |
& Cx Z |
r^HD\lto)|.||giw||iJ»-w + |
|||||
|
л * |
Z |
u Mi's М |
х . |
" г |
(3.1.8) |
|
+ |
С g. • |
m |
° * I Е^г, wt • |
I! г(х)|| ^ «.р |
|
||
|
|
|
|
г |
|
||
с некоторыми постоянными С г i, Cg , зависящими соответс |
|||||||
твенно от |
t- |
и 5".. |
|
|
|
||
Для доказательства распишем левую часть ( o . i . 7 ) |
через |
||||||
коэффициенты '1урье.. |
|
|
|
||||
санесем ( £ + U J T K P ^ 1 п од знак 21 и представим его в виде ряда Тейлора,разложенного относительно точки S с остаточным, членом в интегральной форме
4
После подстановки этого разложение в |
(S . i . 9) |
слагаемое |
|||||
( i + |
|2Х4|2 )С / ^а с т |
ч л е н . л . у ^ э с ) |
форму ч (3.1.7) |
||||
Остальные члены дают ч-УНпЦию Ф^Сх). Остаётся получить |
|||||||
оценки |
!1Фг(л)1з^. |
|
•• |
|
|
||
Слагаемые, соответствующие |
i ^ J * f i ] |
, ааписъват- |
|||||
ся в виде |
|
|
|
|
|
||
|
. |
i f г. |
fa). |
л • |
w, |
|
1 |
J a |
-норма легко |
оценивается через |
|
|
|||
-С* Z |
. |
|в"Ч(х)||г.(х)Цдг-ы1 |
|
||||
95
Норма слагаемого , со^в^тствуащего остаточному члену,с помищью равенства Пар^евалл оценизается сверху через
E ^ Q n u i x Z ( Z l X v ^ ^ ^ C M . S ^ r ) ' ( о . i . l O ) где
Нетрудно видеть,что (1ункция Я? ,0ipaHn4ei'a рглзьимерно по " t , ^ , * ^ ,i3 выражении (3.1.10) занесём под знак 2 L
-н^рму по К — ( 2 1 1 —|г "У* .Нол>чи.-,1,оценивал постоянной,»
Так как |
m-S >!± |
, мы можем написать |
Последний соинохиетль д^ет |
постоянную, зависящую от б4 |
Оценка (3.1.В) доказана. |
|
Свойсмво о. ПРИ J >6 fo.aj |
и k - » o |
К (i.-<0~* ^Cx)u(xl£i,(x),in) |
применисвойстио 2 |
34
В этом случае левая часть |
(3.1.11) есть |
ЦФ^Сл)!^ |
|
В неравенство (3.1.8) |
мы можем подставить- |
||
гша*- J if xl\x.)I |
^ |
С IСи.'А.|' ' |
и из свойства 1 |
Получим |
1 |
|
|
Обратимся к утверждению леммы.
Обозначим "U(*| •£(,', m)'= ( j - i ) (^"сх.). Заметим также, что
[W<£]* |
- ^ . |
Мы имеем |
|
|
|
|||
Функция |
и(АК^°ж . ^ |
|
в W " |
пространстве |
удовлетворя |
|||
ет |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1±ы, |
ц (х|^° «о>•= |
i i f к |
r £ « j * |
|||
Назовём |
• "U (эс./ |
iu) |
нормирующей Функцией функционала |
|||||
|
^ V ) |
над |
vV2 m |
V > |
|
|
|
|
|
Назовём функции |
V^x) асимптотически нормирупцей для |
||||||
Функционала -(.^С*-) |
н^д простршствои |
«М^а", |
если |
|||||
При |
к -» О |
|
|
|
|
|
|
|
I I ^ ) | | ^ = I U ^ ) l ^ r |
( Э Л Л Э ) ' |
S5
< |
|
|
|
= II *J*C*)Hf$j.r |
(3.1.14) |
|||
Покажем, что таной асимптотически нормирушцей являет |
||||||||
ся Функция |
|
|
|
L |
|
I.1 |
\ |
|
Введём функции |
г£*(х> как продолжение SkY-t) |
с её |
||||||
носителя QK . на всё |
R.a |
периодически с основным перио |
||||||
дом Qka , то-*сть |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s i * с * - * * о |
"Р" |
|
|
|||
= JL* || £ i w i > r |
+ < e i ( x ) , . c * i - w - i ) u W e i ; * ) » . |
|||||||
W^"- норма |
|
Cx) |
вычислена в работе |
fib. Ё| и для этой |
||||
нормы выполняется равенство |
(см. также |
§2-2} |
|
|||||
Потхеы, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г = - |
( * h x ) - i ) u ( * i « j Л ) - - |
° ( 0 ^ < < } Э Д ' 1 Б ) |
||||||
Во-первых, |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
w |
= |
Z |
) i |
( ^ |
|
|
( Э л л б ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мвгда мы подставим это в (3.1.15), |
в сумме J3.1.16) |
оста- |
||||||
ЩГЧеж только те слагаемые |
X ( |
^ |
носители которых |
|||||
пересекаются с носителями функции |
(*£*£=0- i") . |
$ти |
||||||
X C."^"S~"} |
В с У ш е |
ДВДУ* Функционал типа функционала |
||||||
9 6
погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
С ( * ) = Т. |
* ( Ч К ) , |
|
О Л . 1 7 ) |
||
причем объём области |
со^ |
— |
мал: |
|
|
|
| "Jiv | ^ |
С /| U к.| , |
тан как так же мала |
область" |
|
||
|
S u PP ( г £ * 0 О - 1 ) Л Q . |
|
|
|||
Поэтому |
(3.1.15) допускает |
оценку в VVj."1 |
нормах, |
уста |
||
новленную для функционалов |
вида (з.1.^например, в работе pJfiJ: |
|||||
I I I * |
l l C w I l c ^ r " " C 2 k V ) - i ) u C x | it, |
4 ) I U r |
«. |
|||
Последняя норма оценивается с помощью свойства 2, где в
равенстве (3.1.7) мы полагаем |
, |
Применяя ( 8 . 1 . 8 ) , получим |
|
Далее используем свойство 1.
|
а? |
|
(8.1,14) доказано. |
|
|
Рассмотрим (3,1.13).(Ниже неравенства ^ |
и знаки ± |
|
согласованы, |
так, что при знаке + |
.брать г» |
при знаке-—брать |
. |
|
* I ^ ( х ) ( 1 - Л ( х | ^ , ^ ) « ? 1 t Ш ,
по свойству 3 с р - О.
Остаётся
I *t*(x) 0 - Л ( * к 4 ,*)ls^ - k . V ^ V ) 0 - Л ^ ^ л ) « э , *
Первое слагаемое есть |
|
|
|
Пошжем, |
что второе слагаемое есть |
o , ( V ) |
|
Пусть t |
t (х^ |
определено формулой {3.1.17} |
|
|
|
|
\ |
Tt » { x | x e Q j x e u \ > |
. p ( x > « 0 « * j ^ ГЬ |
= И<84.<«), |
|
Имеем по определениям нермы и функции
Вместо £j^(ac) шидегавим ^ ^ ( x ) + |
^ц°ЕС*-), напи- |
санную выше дрвй* разобьем соответственно на три слагаемых и оценим каждое сверху
Аналогично
Заметим, Что функция ЧЧх)=.(1-0 |
(-»-*ii*<x)) *f(x) в 6 Л |
||
окрестности |
носителя t^Qx.) |
является |
решением эллиптн- |
чесюго уравншии |
|
1 |
|
Поэтому с люб** иесяонечно дифференцируемой функцией |
|||
с исстелем |
окрестности |
&чрр |
ЧОДртсвлетво- |
ряет оценке |
|
|
|