книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования

30

I

может достигаться на множестве

£Cx")»^'f:>e} (i'» = ° )

Таким

образом, из (1.1.11) необходимо

следует

-£„ =

о

г

— n ,

, \\

(1.1. IS)

.Дегко подсчитать,. что Т

даётся формулой (1.1.13).

Над прсетршством

К,

по лемие 1 оптимальный фуяжц*-

онал ошибки

4|?рЗ имеет вид (1.1.2)

с некоторым С.

По

свойству б)

|. t ^ H g * -

H ^ H f l -

О

fffx-K^H^*

Применим оценку/ (1.1.10),

в которой

равенство достигается

только при

* — с = о

(см.

свойство

а ) ) .

тигается, то необходимо

-1-Со— 49

и

-t^CV) =

^С-х)

^

Выясним сейчас, какие условия на норму фсстранства

В>

обеспечивают "хорошие" свойства функционала

£^

—

оптимальность, асиоттотическув оптимальность.

Лемма 5*^ При выполнении условий

( 0

. 2 . 2 ) , ( 0 . 2 . 3 ; ,

ж)

Асимптотическая оптимальность ^ Л ^ и с

над

прост­

ранствами была установлена

Т.Х.Шариповьш f ° "

ъг

и указанная

посгЕДОвательность

существует

согласно

оп­

ределению

супремума.

•Рассмотрим функцию

g^'o."} = s.gn. (i-c0)

t-Sgh-Cf w

/ l ^ ^

Заметим,

что благодаря свойству (1.1.14)

И ^ с « 4

= 1 ;

имеем

воспользуемся

равенством

г.^ (эО = Cf" c ')J l e i ( x ^

+ с°

= IW-c.| +

1 С . |

<

^'W/ll^wllfc I

Поэтому

.

" к. С 2 с )

"В *

j-'<*>

• • ,

ток вак

1 - I c . I

s; U - c . | ,

C«-1 II -g *

~ y 0

приК.-»-0 -

Следовательно сущест­

вует k 1 > 0

такое, что для

o < r k < k 1

последняя

квад­

ратная скобка положительна. То:^а

' ( J * l t f u i L что

может быть только при условии

оптимальности

функционала

Мы ыогяи убедиться

ь ватаости

условия

(1 . 1 . 6),

Укажем более

удобное .для

применил

достаточное

условие,

обеинечивающее

выполнение

(1.1.и).

Леша 7. Есди Ь

влохено в

С

компактно^

то хы~ C - i

ПОЕЖНО (1 . 1 . 6) .

Доказательство. Из (1.1.15)

следует,

что .шикание

сооряганък rpocrpiHCTB, С* С ^

комтатю.,

The как

О к & ^ к о ь

равномерно ограничено в

С*-.

то семгястяо i t ^ f x ^ j . ^

компактно в В*"

Цждрошаш, чю

| е . \ ( х . ) 1 ^ - А о

Т о ч * существует

оддпадодсвагелмостъ

для ко-

Ч»

А *>1Я» cjeeceye* • фуниря if

,

не аавмсяцая

• » К, д м которое <г.сэс), f t x - i > *

а-/г

З м * ,

щш досяаючяо бэдомх

j

Теорема 2 .

Если "Б

удовлетворяет условиям ( 0 . 2 . 3 ) ,

(1 . 1 . 15),(1 . 1 . 14),

то Функцюналы

погрешности над ВСа4)

имеют оценку

Доказательство. Согласно леше 8 достаточно оценить

_\ониву й^сх^Цо-^Чтобы сделать это, применим t^cxC} к

последовательности

функций

V ^ i ^ } - ,

нормирующей

функцияал ь^С*-")

А именно,по определению

В _ нормы

функционалов существует'последовательность

•{.'v,'iC*.Y},°0

CO СВОЙСТВаШ

Наша оценка будет иметь вид

Чтобы вычислить

< t ^ ( - x - ) ) A A ^ C x ' i > ;

подробнее .рассмотрим

свойства HjOO и подажем, что среди всех писледователь-

ностей

(1.2.2^)

существует

такая -

обозначим её { v j f O ] ^

1

которая

кроме свойств (1.2.2 ) обладает еще следупцими:

V- {х.}- непрерывная функция, периодическая с периодом

(1.2.4)

к по каждому переменному

^

Re vV.. (о} = о

U = i, г,-.. ^ ,

(

ь й - 5 )

36

tvw,

R t V . C x ^ ^ O

для всех

J t R n

,

(1. 2 . 6)

S

V;Cx")dx. - 3l« V ; ( С}

-

O.

( 1 . 2 . 7 )

Докажем аозматность

выбора

i ^ j ^ H j . v

0 0

C D o ! i ~

стъими

t l . 2 . 2 ) , ( i . 2 . 4 ) - ( 1 . 2 . 7 ) .

Зададимся сметной последшателыюстью

веще.таенных

чисел,

стремящихся

к 1, но не ровных 1.

j

,

i

< * - ~ \

- t 4

* l

( 1 . 2

Для

t

6-

рассмотрим

, N _

x0 ex-, - i С 2 1 6 * ( x - * ^

и пусть

^ (:>0

J ^_ х

нормирующая

последовательность

для

l

^

M

,

тс-есть

v . W

^

,

l

l

^ ^

^ = d . d

t H ^ > > ° , ^ < ^ V =

< ^ (l«2 - 9)

Из вложения Ъ с О

следует

непрерывность функции

/ u t ^ = 0

Образуем функцию

a . c o - W " 2 1

л * . .

( X - K V ^

( 1 . 2 . 1 0 )

Она периодична с периодом

К_ по кандому

Благодаря свойству инвариантности нормы В

по сдвигам

- ( 0 . 2 . 3 ) , •

'

II г . . r ^ \ w * W" Z L

» • ;

r * - * M l U = i

Поэтому

Значит,

о

Б * '

то-есть

>

(1.2.11)

(1.2.10),(1.2.11)

оэп&чшэт,

что последоштелыюсть

t ^ t j ( * M | 2 t

J . = 1

является

нормируйте!) для

{.^-xyjo,

кромэ того,

элементы этой

последовательности

периодичны

с периодри к-.

Заменим ^ . ц - М ^

на

{ \ ^ ) / | | г ^ м ^

и,сохраняя

для новой последовательности пр«янее обозначение, будем

считать, что с самого начала

^СхГ)

не только

удовлет­

воряли условиям ( 1 . 2 . 9 ) ,

но и были периодичны с периодом

L по каждому

a t ^ . . . - ,

ос^.

Рассмотрим последовательности

чисел

-U.. .(о>

и

=

$ 4 *

4 ,

,С-*-Ъ

(1.2.12)

Они равномерно ограничены:

Поэтому при каждом - t

fcvt&ji£l

-из них можно выделить

подпоследоштел^ости,

сходящиеся

к нетоторьм.конечным

пределам.

Будем, считать:" при каждом "t

из индексов j

остивле-

(о)'})

I ^ ^ t 4

опять равномерно ограни­

ченные последовательности,

ив которых мы снова выберем

^

=

о (

l - t . - l O

"Р" S

—

° °

(1.2

.13)

Для

каждого

t s выберем такой номер

j

(обозначим

его

j »

),

с

которым выполняются неравенства

\

i с

л,

°

\ у £

(1.

2.14)

0

При нашем выборе

{ i r s ^ ^

мы могли бы наложить еще и

условие " t s " * i .

или

- t s < Д.

Рассмотрим оба варианта:

пусть | ? s + ( x " ) ^

описанная выше последователь-