книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования

до будет потребовать чтобы ооласти

былг. )^шнош (.но

гяаджыи. Поэтому сначала, иы подроокее

ооълишш .это уело-

ше

гладкости областей.

Напомним известное

понятие

ооласти

с_ кусочно

глиной

границей.

Определение 10.

Огрг--ничейная осесть

tO д

й а

обла­

дает

кусочно

Гц — гладкой

гуашцей, если

cvqecTbyeT конеч­

ное «ж сто открытых nu.poii

K j

=•

и

otrneiV-Hu'iaiu

кото­

рые содержится

cu

ьыесте

с грг>.' цей^

ш С U

К.

а ддя кщдого <*<ра

Kj

существует диМеомор^мзы

T j

клас­

са

С*\ отобрахагнма

Kj

на единмный шар

К'о

и переводя-

ннв u i f l K j

в

Ко

нш в пересечение

K D

с конечши числом,

( I I I I I M I ива! от j

^замкнутых иодупростраиств:

те>яаао6в&сть обладает

т.— гяадкой границе**.

ШцаСи понятие равномерно кусс*л!0 гладкого множества

Ддр'ДТГТ— ^ -

Множество

ЦТ областей ш назовём

ИЕОнхстаом равномерно (дуевязо)

га-гладких областей, есж

внадаа вонасть щ е Ш "

обнажает (кусочно) т . - л е д к с й

ц м ц п м a J H I I I •••*

в соответствии с определением 10 для

области

и)

дифГеоноргизцы

(ю)

имеют С*4

норма,

ограничение равномерно по

to 6

W.

Теперь дадин: краткое описание Функхронашв погреяиос­

теИ, построенных СЛ.Соболевым

[<ЗЦ}.

Р&тдому цеяоч1слеиному

вектору

к = (к,,-.-,*,_)^ к^ = o,t<,i^

сопоставим обдаатв

Функционал

£ ^ х )

зададим в виде

'

= Z * ( - i r 1 ) +

Z ^ ( - - Ю •

Здесь

) »

=

-

Z

О

К С 7 ( Х - К )

L

и

о*,

ке зависят от к.

и определится из усяовжя

ортогонапъ нолти:

многочленеы до степени М

вшлж

тельно:

j>(«b,t| 04 L'fc.

Числа

&К(Л*))

заверят от А.',

но

/-&к(01«В

ранномф-

но по

кчЖ,,и!

зависит от

s,

, во

!

если и)

кусочно 1 -\пвдмш,

то моек» выбра» L

не

аависязп* и

s , l i ;

а если W

множество равномерно жуесгаяо 1 -пвж-

(1.3.20)

них областей ш ? то дая в с е

t o t U T

рать

одно

(.

,

не зависящее от

Описанный

[ункционол

погрешности

-j ( ^ ч*')

| ^(

^

назовём )Ч1 -

функционалом Соболева. Известно,

что

эти

Функционалы обладагт ослайленко ре-гуляртад пограничным

слоем (в

f(S.i2]

они шзываются" функционалами с регулярным

погрничныи слоем

порядка

М 11

)

Лемма 10.

М - Функционалы Соболева (10), построенные

для множества

1хГ

равномерно

кусочно

1-гладких ооластей ш,

принадлетат

классу £ 0 ( » \ р ) д л я

1 * р < ^

и г* е (Jp ,м]

До^азательс 1-во леммы

10 будет дано в следуодем

пунк­

те (см. сip.

52.

)

А сейчас

сфор-у ируем и докажем основной pesyjbTai

отого параграфа, устанавливапций свявь меэду различные

свойствами функционалов noipeuuioc тей,

сформулированными

в данных выпе определениях.

Теорема 3.

Если Л—кусочно 1-гладкая область, то

Л 0(т,р)Л R 0 - . . O c П

^ ( Л . м . м , ^ )

• ( 1 - 3 - 2 ]

mefMX)

M i ' M i

Пусть |

0 0 Jdejf-- М-чу-кп/онал Соболева. Тогда в

силу кусочно 1-гладкости Л

для достаточно малого £„

множество

{llU

£ s (0,t^

состоит иг равномерно кусочно

1-гиадких

областей и по лемм*е 10

Нетрудно видеть,

что

это же верно и для функционалов

i

где

<-К (*)

= С К С " -

U

(ж.') ,

( 1 ( х ) - - 1 ( < ) - Г 1 5 ^ . Д ) .

То-есть

4

к К £ Q

Стсвда

получаем,

что функционалы

также

образуют множество по ke Jf',

t е- (о, 6.")

равномерно

оптимальное по порядку.

Значит,

Но тогда по лемме 9 для любого

q>p

и тс- Гм,,МЛ)

внпи-

санное семейство квалифицированно оптимально по порядку

над . W Q^ .

Это и утверждается в теореме.

Замечание.

Из леммы 1 и теоремы 1 следует,

что

М -

функционалы Соболева

{ £"{Jooj

кегЛ

лежат в классах

Х(-Л.,М,,мг 1 /3)

для ( < р £ = о

к А « м , * М а < М .

мы докажем эту

оценку

(следовательно, и лсмиу 10 )

только

геля пространств

\\\п

(/п>п ч

хотя случай

W( > 1

прост-

янств

('•"> рЛ с

люоым конечным р

может

быть

рассмотрен

•рершенно аналогично

*)

' к

будут обозначать коа^ициентг Фурье

обобщенной функции

но дифференцируема вне целочисленных точи

х - «.

с,м,*г, ,>

а в окрестное»! начала коорджат,

|х| < ! - i , удовлетворяет

оценке

*)

Иг вложения Wp

=> WT O

неравенство (1.3

.22) следует и для

с

W/» с любым m>о. фоме того,

следует считать утвержде­

ние леммы,в основном, известным из работ других авторов.

Для целых- т

при

р = 2

оценка (1.3.22)

есть простое след-**

ствие результатов С.Л.Соболева FJK] .[i9.il, а при

L <р<<-о сле­

дует ив утвержу

гай» сформулированных Ц работе [иг]

ней (JM] + S.)

включительно,

все члеш ряда Тейлора,

кроме

остаточного,

припадут.

Подучим

| < > . ( ^ i ) , G . c « , i > | .

| « * . С » ^ ) ,

l-bfafcr

Подставим все это в (1.3.26).

,

где

i

-

Отметим еще одно полезное следствие лемиш 10. Доказан­

ная оценка (1.3.22) означает

согласно лемие 9 и теореме 3,

что Функционалы С.Л.Соболева

-d^C*-^, обладалине

регуляр­

ный погуЯЧичннм слоем степени

М , лежат в соответствупцих

классах 0 ( m ,р) ,'R.O(т,р) , КО ( т , р )

и в важ­

ном для

нас в дальнейшем классе Zt(.Q.,

М£ , /ЧД) р )

при

любых

i < р < ° о

М ' М , > - И , > ^ . Т е м

самым мы установили

также непустоту введенных нами классов

О С ^ р } ,

R . O , р )

K O ( m , p ) ,

X ( J 2 , М А ) М 2 | р^)

и содержательность

определений 6-9.

Г Л A

b А

II

ЛСШГПУШЧЕСКЛЯ CmVUAJhHOCTb 1(УЬЛТУРНЫХ ТОРМУП

11ЛД

ПШ.ПйТтайШ

IFuCTPAHCTiAMI

В этой глаье мы изучаем функииоюлы гюг(.,еишсть.-и

над nuiboepiOBiMH при. г, пнстшши

и

f

г; j

с нормой

Uc^k; = ( ^ К

*&1гУ3.

fi^>*°

m

i

ке* к

l2-QA'

Всегда

предполагаем

Н£*

вложенный в

С

в чтобы это

было—выполнение

условия

У

_ 1

< оо

(2.0.2)

§ 2 . 1 . Асимптотическая

оптимальность над

пг

пространствами

Опишем множество

тех функций

^ С к ) > °

которыми будем

иметь

дело.

1;

Будем считать,

что

(к)

есть

значении

в целочис­

ленных точках некоторой функции

/^(^),

определенной на

ной,

а

вне некоторого

шара,

|£( >

И

,

бесконечно диффе­

ренцируемой.

2)

С некоторой постоянной

f>o

для

/5/ > Z

я

любого

ol=.(c<,,.. ,o/„) ) t ^ = о,(,.. выполняются

оценки

3)

Существуют постоянные

М(

и'

М2 ,

^ - < М 1 < М 2

(Z.1I2)

такие,

что при t > Z

и

Функция

' j M t

- ^ j

/ ^ 1

+ t ) M ' _

" е Убывает,

а фуншдо

п

^

' *

+

t ) M i ~

монотонно

стре-

(2.1.4)

мится к нулю

\

4) По шшравламю одной из координатных осей функция

возрастает

не

быстрее своих

иинииальных по с[<ерам

| ^ | - t

значений.

Для определенности при аналитической записи этого ус­

ловия ниже за

требуемое

направление примем направладае оси

Dx'j ( то-есть eeiwop

( l , 0 , . . . , О)

Тогда нате условие записывается в виде

[ы.(Ч,о.

,о)| / m i п. |№(Л)1 « С

равномерно по t .

(2 . 1 . 5)

'

"

V i^| - t

\

множество функции

,

удоплетворяпцих

условиям

1)

- 4)

обозничмм

/Tt(Mi,M,)

*>

Лемма

и .

Если

J4

обладает

свойствами ( 2 . 1 . 3 ) , ( 2 . 1 . 4 ) ,

( 2 . 1 . 5 ) ,

то

с

некоторой

постоянной

С

выполняется оценка

1.НО)|

CGTO

fr(t(/sui)]M'f kOsuoM J-

( 2 Л - 6 )

Доказательство.

(2 . 1 . 6)

эквивалентно следующему для

для

|з| <

Левые части вытканных неравенств достигают максимума

при

|s| - '/к

(считая

" * 0 0 ) Вместе с условием (2 . 1 . 5)

зто

означает,

что