книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf59
Последняя формула очевидна-с С = i
Введем аналоги классов К О ( г п , р ) и ^C(.QJ M,i MJ ] fj) для пространств Н^1
Дпределате 12. ино.тество ((ункционапоп
[ |
U K , lot Ч.Г |
нааовёи ьвалифицированно опгимглыгым по порядку )пд прост
ранством Н * 5 если существуют |
не зависящие |
от^ l i t Я |
lOeUT постоянная С и Функция |
ЧЧтО.тикие, |
что |
<f(/c)—- О при |
Г — О |
|
I |
! |
г |
* сV (M)II etwlfsfJ- |
|
для всех |
LeH |
ж |
и з е Ш . |
|
Такое множество обозначим К О |
О4'^) |
|||
Заметим, что |
|
|
||
и
( Г -U 7 >
L t e l l ^ Ч |
Z M K V O I ^ 2 |
( 2 Л ' 8 ) |
|||||
Определение |
13. |
Пусть |
Pt.Fz е |
ГГ^СМ|.^г) и ' |
K n c * < e т ° г о , |
||
|
t |
[ n i t a l ^ C r t l / m i n J ^ C O l l = 0 |
C a 4 - S ) |
||||
|
D ' H|.t |
' |
l$l=t |
J |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Назовём классом |
об С^-эf*ii<0 |
множество функциона |
|||||
лов типа функционалов погрешностей - |
СО.2.11),(0.2.10), |
||||||
удовлетворяюдих условиям определения |
9 с заменой формулы |
||||||
( 1 . 3 . 1 1 ) |
на |
|
V |
|
|
|
|
( С |
с |
4 |
и |
к " |
П КОСМП |
|
|
Леша 12. Если
6 0
М 5 ) , М ? ) & ПгСм^М, ) , , |
( 2 . 1 . 1 1 ) |
то |
|
|
|
' |
|
|
|
' $ 0 * ^ ^ , 2 ) С |
|
( 2 . 1 . 1 2 ) |
|
|
Докааательство. Нам не достает только оценки |
|
|||
|
II e f c o i f f f i - j . 6 с 1Фп1&)1[»п- |
( 2 Л Л Э ) |
|||
для |
(О = т (и, ,Ма) н |
00 е ft САм ьм*,2) • |
|||
Она легко следует ка леммы 11 . |
|
|
|||
|
Пусть |
£«, - |
коэффициенты Фурье функционала |
^ А _ С * 0 |
|
l f e | r |
\ r |
= Z.U.I>W>i« .* |
|
||
< c2 Mii K w i f e r .
Установим теперь основной результат этсй главы.
то |
{ ^<v.Cx)l ЯеЗ€. ~~ асимптотически оптимален |
|||
над пространством |
Н а ( Л ) |
|
|
|
Доюзательство. Отметим, чти |
|
|
||
Для краткости |
обозначим +С0 = II ££6*0ll н/'* . |
|
||
идея доказательства |
заключается в том, |
ччч/бн показать |
|
|
|| 1*(х)- С |
Ос)!н ~* = о (+00) |
и к - О |
(2.1.14) |
|
и-. |
* i : |
Pt |
^ .проектор u плдьоертовом |
пространстве |
H2" |
||
>и |
подпространство элементов |
вида |
^ а ^ ^ х - к А . ) |
с про |
|||
извольными |
коэф1>ицчентам.., Q K |
( |
К-Фиксировано). Тогда" опти |
||||
мальный Функ^онал norpeaHixTe |
над Н*(Я) — •[ L°' |
{(.-ц |
|||||
можно |
записать в виде |
|
|
|
|
||
|
|
^ ' 0 0 = /д - О) - Р , д / л О О |
|
|
|||
« t ( * ) - |
= A W - ^ Z С к ^ ( х - к к ) - У . . . М + В д * о № |
||||||
|
|
|
|
к К с л |
|
|
|
вдесь воспользуемся равенством (1.3.10 ) «пределения
Пусть £ ^ — проектор в |
на подпространство |
|
||
элементов вида |
21 а* б- ("х-к А.-) |
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.16/ |
с произвольным |
QJ |
|
• |
|
Оптимальный для области Q |
функционал , |
С*0 |
ва |
|
ли сываетс я так |
|
|
|
|
pO,q |
|
|
|
|
- e f t * = - г z s c * - k « + Я Л « = Ра к |
|
|
||
" |
Xk«<3 |
|
|
|
Обратимся теперь к слагаемы! правой части неравенства |
(2.1.15) |
|||
62
Заметим, что |
{Эл |
= ра PiK |
r |
|
|
|
|
|
|
= 1 Я к Р з Л и « / / н г ' ^ / ( Р , , а с 4 и 7 - |
U l ^ - f T c ^ |
||||||||
В гильбертовой |
пространстве |
|
H 2 |
|
(х) |
есть перпен |
|||
дикуляр, из точки |
У д Сх . ) |
на подпр»отрвнотв» ( 2 . 1 . 1 6 ) , а |
|||||||
£{_(х) - одна из наклонных из этой же |
точки |
^ ( ж 4 ) |
на это |
||||||
же подпространство. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
г |
|
г- |
|
|
г |
|
Правая часть этого равенства есть |
о (JI £(.(х)||н'/г) = о (j-f('O) |
||||||||
в силу асимптотической оптимальности |
{ |
k« |
над |
||||||
пространством |
н г |
(доказано |
в [ 2 9 ] , см. также лемму 5 ) . |
||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = o ( 4 ' ( k ) ) |
|
при |
/v - O |
|
(2.1.17) |
||
Я = / / Я л |
^ ) % |
* / U r b % |
« с| /г1 |\((о*оСр(кд=(2 .1 .,8 ) |
||||||
Пусть |
Д |
- |
проектор в |
И*" |
не подпространство функ |
||||
ционалов, сосредоточенных в SI. Ясно |
Я = |
Ял |
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
• = * U P |
C M , K * ) » I / I K * ) I I K > ] |
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
cfaecb |
P& * - сопряженный к |
P3 |
оператор-это тоже проектор, |
|||||
|
|
|
|
|
иг |
|
|
|
который действует в пространстве |
Н2 . |
|
|
|
||||
Докажем, что |
Р* |
проектирует |
на |
Н£С&) |
|
|||
Область значения |
J2p» |
проекционного оператора |
Р* |
есть |
||||
поД|Тространство в Н£ |
.Пусть |
<= ^Р* |
|
|
|
|||
&ачит, |
^ ( х ) = Р^Н^^ФьЯг |
Ё с в ь и |
ё и Функционал" |
о"(*-;у) с |
|
|||
у е Л : |
|
|
|
|
' |
|
|
|
= < s " C * - a ) , ( i - P r ) i w > = < ( i - P 4 H ( x - a ) . K » ) > = о , |
|
|||||||
Нроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и.еслн |
*,С«)| Д |
~$.(х>|д |
|
,то для |
V£(x)c-[H/V |
|
||
< ^ > P i " | 1 ( x ) - P 4 \ ( x ) > = < Ц * ( * ) . М * > - * . ( * > > = 0 , |
|
|||||||
Всё |
вто вместе и означает,что |
Р ^ К * ) |
|
|
||||
есть функция из |
Й£ |
, совпадащая |
с j-Оч) в JT |
и имеющая |
||||
минимальную |
-норму |
среди всех функций, совпадающих в Л |
||||||
с £(х).Это позволяет отождествить ранее определенное простран
ство Н*(Л) с £р« ,взаимно однозначно сопоставив |
каждой 'функции |
|||
заданной в Л. ,её минимальное продолжение, в Н2 . |
||||
мы рассмотрим сейчас на периодических |
функциях |
ив hfjf |
||
псевдодифференциалььый оператор |/*(D)|a |
.действующий по пра- |
|||
в и л у |
| м в ) Г - |
П К О Г Г : |
fa-fcT. |
|
Здесь |
J означает |
оператор преобразования фурье на периоди |
||
ческих |
обобщенных функциях |
|
|
|
V
Покажем, что для всякой g (к.) е Н£(&)
|
|
|
I K ^ l V ^ U v f l = 0 |
|
' |
|
( 2 Л . 1 У ) |
||||
Действительно,если |
Supp £СОП Q c Q \ H |
, ^ ( х ) е ' Н ^ |
|
||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(скалярное |
произведение в |
обозначим [' |
, '1 |
) |
|
||||||
= < £ ( х > , Н * 5 ( х ) > = < Р г £ ( х ) , г ; с * > - = о . |
|
|
|||||||||
Итак,выполняется (2.1.19)-однородное псевдодифференциальное |
|
||||||||||
уравнение в |
области |
Q \ i l . |
|
|
|
|
|
||||
|
Леша |
13 |
.Пусть |
JK £5) — комплекснозначная непрерывная |
|
||||||
функция действительных, переменных |
\ - |
|
|
е /2^ |
|
||||||
Пусть вне некоторого пвра,то-есть для |
|у | > С' /(^бесконечно |
|
|||||||||
дифференцируема,а для любьк °l ~ ( H i r - Н О , |
°{/= 0(*> |
|
|||||||||
с некоторыми постоянными |
Cd. выполняются оценки |
|
|
||||||||
р>о |
и |
р |
|
не зависят ото*.. |
|
|
|
|
|
||
|
Обраэуш псевдодифференциальный |
оператор |
|
|
|||||||
где F |
и F |
|
операторы прямого и обратного |
пьробразований |
|
||||||
(Еурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор |
|/с(В)|г топоэллиптический и неравенства |
, |
||||||||
выполняются для любых областей и) |
' |
компакта К |
.лежащего |
|
|||||||
в |
Ю |
( , P ( K , R ' 1 \ I D ) > O ) |
.индекса |
oi = ( « ( , , . . . ^ О , " ^ о,/,... |
|
||||||
и пункции |
и ( х ) .удовлетворяющей уравнению |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
Постоянная-С |
ме' IUUKCI'IT |
от |
|
|
|
||||
Докпаателистьр. см D [if>ij ,стр.У22-3<1 1 |
|
|
|||||||
(и приведенной ссылке доказшы болей сильные результаты, |
|||||||||
чей записано и леиио) |
|
|
|
|
|
|
|||
пз приведенной наш! леммы следует : |
е с л и |
|
|
||||||
|
? ( ^ ) е С Г и |
|
р(^ор^(х)ъЛ) |
^ < у > о , |
|
(2.1.20 |
|||
гл. -целое число,то для любого |
решения сц[х)одлородного |
урав- * |
|||||||
Heiiiifl |
(2 . 1 . (9 ) есть |
оценка |
|
|
|
|
|||
^ I J ^ ^ ^ Z J * * |
C C * W |
H N l a c f t ) |
( 2 . 1 . 2 |
||||||
Мы применим |
( |
2.1.2&m=M |
и к-кии-нибудь функцией |
|
|||||
ооращапдейсл и |
1 |
на |
£^с*) и |
удовлегворипцей |
условиям |
|
|||
( 2 . 1 . 2 1 , с 5-х £Д |
|
|
• |
|
|
|
|||
А именно,подставим |
в |
( - 2 . 1 . ^ вместо |
Pt К * ) |
5 (*-) |
Р4 Я*-) — |
||||
это ничего не меняет,TL.K |
как |
на носителе |
£ " ' М |
|
|||||
Продолжим оценку |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ш <. Sup /Г1<^Ы.^Х)РЛМ>|| |
|
|
|||||||
, |
J I ^ P / k ^ / I n f |
|
К о о р/к*> II |
) |
|
||||
супремум произведения 1лленим на произведение супремумов.
Тогда первый .^сомнолитсль (взятый в квадратные скооки)
не превосходит |
Ц £"'(х)|_гй£1 ]* , |
|
а ».о |
оценивается |
но свойству ( 2 . 1 . 8 ) , ( 2 . 1 . 9 ) cJep«y 4«/>ej o(>f(/o) |
v Второй |
со»«и*итель |
|
66
ограничен по сьокст^у (2.1.11)
Итак,
|
|
|
H M t H * 1 |
|
II f O o l l ^ |
|
|||
* |
C ( e ) o ( t W ) |
&чр |
— |
- |
- |
i |
|||
|
|
|
|
JU>* |
н" |
•IliOollftf |
|
||
5 C ( £ |
) o C W ) ) |
S 4 p |
|
_ |
|
_ |
a |
||
= |
C( £ |
) |
о (+(«.)).- |
|
|
|
|
• |
|
Соединяя все |
чтении илхееи, |
|
|
|
|
||||
i + 1 + щ 6 |
|
о-онЦ) |
+ с |
t 1 ' + а > |
+ с с о • » o w ) =• |
||||
|
- C * ( V ) j V 4 |
+ c ' C O o ( i ) ] = о ( ^ ( 0 ) . |
|||||||
при к-"О .Теорема |
4 доказана. |
|
|
|
|||||
Из доказанной теоремы получают^* n^wuTue достаточные усло |
|||||||||
вия асимптотической |
оптимальности над |
И* |
пространствами |
||||||
Следствие |
1. Если |
|
|
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ ^М^^аашптотически |
иптш&лен |
нац |
f^a Ср-} |
||||||
Ълй |
jit е ГТс (М,,Мг). |
' |
. |
• |
|
|
|||
Следствие |
2. Если |
|
> |
• |
|
. |
|||
то |
асимптотически ошиыален над |
6 ?
ДЛЯ
В частности ,мы получаем условия асимптотической опти мальности над Л^-прострачствами Соболева-Слободецкого. Ввиду важности шренно этого случая,сформулируем ево отдель но.
Следствие Э. Ьсли
то
{ ^ S ^ l j ^ * асимптотически оптимален над при любом гп & r M , , M j .
Если
то |
|
|
|
|
|
|
^асимптотически оптимален над |
W^D.) |
при люиом |
||||
Сформулируем результат |
об асимптотической |
оптимальности |
||||
функционалов |
Соболева. |
|
|
|
|
|
Для \</1',,(Л)-пространств втот результат перекрывается с |
||||||
известными раньше. |
|
|
|
|
||
А именно,при целых « . |
он,по-существу,полечен |
С.Л.Собо |
||||
левым Q9.12] |
или в других |
эквивалентные нормировках |
Ц.Б. |
|||
UiouHSjpoiibii [ з г ^ В Л . Половин киньм [ml |
.При дробных |
m он |
||||
был анонсирован в |
оаметка.. [ 2 7 ] .однако условия сфиршулири- |
|||||
Baiiiax там теорем при^шоречиви. |
|
|
|
|||
^ледстБ..е 4 . |
s^yH.vUMo..<^nu,nui;THoerM.He по способу С Л . |
|||||
Coo<Meaa5i<£}c условием ортогональности многочленам до |
||||||
степени И ^ишчнтельно,асимптотически |
оптимальны над прост- |
|||||
68
•ранстваыи
Вчастности ,эти функционалы асимптои чески оптимальны
над |
Wa^Q.) при любом м £ (^±1 ,м). |
|
§ 2,2. Вычисление нормы оптимального фупшионала. |
||
В этом параграфе мы вычислим главный член (при |
(и—о ) |
|
нормы функционала погрешности, оптимального ^ад |
Н*С&) |
|
прсс транствеы. |
|
|
Лемма 14. Рассмотрим две области со' и О)", |
кусочно |
|
1-гладкие,лежащие в куое Q . |
|
|
Пусть |
сй'соУ.Если |
|
I C t o f e j * * |
' ^ М й Г Г |
^ + ° |
«P« ^ ° (2,2,8) |
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Пусть |
( J $ f + l ) |
• |
По лемме 12 |
||
{ t^(x.)}klX |
е % (?J3p |
^г2~) |
.Поэтому найдётся &>о |
||
такое,что для любого Ь е ф , ^ |
осуществляется указанное в |
||||
определении |
&Си'->Р |
, 2 ) |
|
laiacca |
разбиение |