книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования

кубиков

c ' ,.. \-*.\ i «

Q , K | U x ; < ( K : H ^ K.=0,ti,t2.,... }

(1.2.24)

целиком иходлщих в Q.

Ясно, что

I f t J •- I Q M b ° ( i V >

11.2.25)

•Продолжим оценку

(1.2

.3)

Теорема 2.

доказана.

Слс^итвие^

Если В № )

эквивалентно &(Д) с В об­

ладающей свойствами ( 0 . 2 .

3 )

, ( 1 . 1 . 1 5 ) , ( 1 . 1 . 1 4 ) , то

где

постоянная

С

мотет

зависеть

от О

но не зави­

сит

от

к

§

1.3. Оценш

сверху

1 ункцисналоц

пргреиностеИ

Основной

мыслью,

которая

wvui

нас

nj и ра^пбгтке

предлагаешь теории, била та, что установленные в пре­

дыдущем параграфе

оценки

снизу

точны по порядку. А именно,

существуют асимптотически

оптимальные <] ушашонали с оелг.б-

ленно регулярным

погрошнппм слоем и для. i f х выполняются

двусторонние

оценки:

с

некоторые

независящими

от l\ .

гкх тояниьм! Су

и

Сг , = < c J s C ^ - c ,

4 . i . i ! ; c

. , V « u t ' f « w ^ ,

l l k

W V

" ' 3 '

Не умея доказать

правую часть

неравенств

(1 . 3 . 1)

для

произвольных

В

мы ограничиваемся

в этом naparpa]e

изу­

чением нерава1ств

(1 . 3 . 1) для

пространств Ь

Снача­

ла

мы выясняем те

свойства функцисналов

погрешностей,

ко­

торые вытекают из

наличия оценки ( 1 . 3 . 1 ) .

Затем показыва­

ем,

что функционалы,

описанные

в работах

Соболева (^19.12]

удовлетворяют

оценкам (1 . 3 . 1) над w J ^

пространствами.

Заметим,

что

норма

\\

имеет

порядок >и

(при

о ). Поэтому (1 . 3 . 1)

эквивалентно оценке сверху

норм функционалов

погрепностей

через

С к.

п° 1 . 3 . 1 . Оптимальные

по порядку функционалы.

Определение

6.

функционал

типа функционала погрешнос-

ти

{ £|ЛХ М ^ t

Jt ,

г

д е

^^Л*'

имеет

вид

(0.>:.10£,

назовём оптималшым по порядку над пространством

NX/p"1,

ес­

ли с некоторой не

зависящей

от

к е К

постоянней

С

.вы­

полняется

оценка

Множество функционалов т.Ф.п., оптимтипьных по порядку

над

Ц/р"1, обозначим

0 ( m , p )

Иакие-ниоудь

множества

областей,

лежащих в

О ,

о) С Q

будем обозначать

UT

Рассмотрим обобщенные функции вида

< V ^ . U * b ^ Z

С . а ) б - ( х - к А )

t L

-постоянно по

*

>i €

кьк функционалы,

зависящие

от

параметров

К.

и а1

причем

k t

>С ,

a со

может пробегать

какое-нибудь

множество XV,

ш е- 1(7

Такие множества функционалов т.ф. п. будем

обоз­

начать

I

C O O . L H , W

£ U

R

( 1 - Э - 4 )

Определение

7.

Мно.тество фунм^юналов

(1.3:4)

назовём

,равнои?рно оптимальным по порядку нал пространством

W p n ,

если

с некоторой

постоянной

С >

не

зависящей от к_^У(

и

ш £ ИГ

выполняются оценки

Ч С ^ Н - г

* с

г

( 1 * 3 * 5 )

для

всех

3£

и всех

w e U7.

Такое множество

обозначим

R O ( m , р )

Определение 8.

Множество функционалов

(1 . 3 . 4)

назо­

вем кБШ1111|ици1ювашо оптимальньм по порядку над

пространст-

вом

W p \

если

существую* не

зависящие

от

К t

и

cO £ " W

постоянные

С и функция одного

вещественного

переменного

Ч> (т^такие,

что

у(зг)--0

при

t - - o

для

всех

kt'H

и

юсИГ. Слагаемое

о^/гЛ)

может за­

висеть от

со .

Такоо множество

обозначим

K O ( ^ , p )

Определение

9.

Назовём классам 5 СЛ>

чно-

хество функционалов

типа функционалов

погрешностей

- ( 0 . 2 . 1 1 ) ,

(0,2 . 10), удовлетворявдих следупдему условию.

Можно угашать постоянные

£ L t

, L a , такие,

что для «

всякого

е. ,

о<-е. *

существует

область

^

{ » / х г 5 , р С * . Л ) * | ] с Г ь с { x | x e J 5 , j . ( x , i J ) < e }

(1.3.8).

я функцюналы типа функционалов погрешностей

К Н . * .

l

^

L

*

< • * • >

таже, что

^ С * ) + ^ С * )

+ ^ С * )

=

fe)-4w-rZ5(,-Kk)

d . 3 . 1 0 )

<kf q

U

e ? C x ) , ^ J k

e с

QKOM

П R ( ^ )

( 1 . З Л 1 )

То-есть множество

{

^ t * ) , £ " 1 ( х)]

U x

состоит

ив функционалов у.ф.п., обладающих ослабленно регулярньы

пограничнш

слоем

R ( L (

) L a )

И является

квалифицированно

оптимальна* по порядку над Wp

для всех гп t [ М, ,Ма ]

Лемма 9.

Л

еО(^,р)

с

П

К О ( ш . о ) .

(1.3.12)

me CM..^J]

mtfM,.MJ ]

1 >Р

Доказательство.

Пусть

г г л - т

e 2 J l ^ x

(1.3.13)

Эта обоощенная функция удовлетворяет уравнению

н является

пери одичесжиы фувдаментальнш раиениеы опере-

1- А)

Известно, что при любом

£ > о

вне облает

6" t -

{ х | ix-x|<e

, к-j = 0 , 1 1 , 1 2 , . . . ] -

а это шар радиуса

е,

периодически повторенный на все

12^, G(x) бесконечно

г

дифференцируема и для ягюой ограниченной области Ш,

не

пересе«ащейся с

6 \

и обладающей кусочно гладкой грани­

цей,

выполняете и

оценка

• l ^ l j s - ^ ^ c C f i . M . M , ^

( 1 - з л 4 )

с любыми

М к

1 * р -г

Если считать. £ "( х) продолхеннвй на все й"- иерио-

дически с основные периодом

Q ,

те

0-дУ? С(*> =

А , с*-з>>

(1.3.16)

Используя (1.3.14) и (1 . 3 . 15),

поучим нужную оценку.

Пусть, сначала

^ < с о >

+

г ^-

•

Пусть ш £

=

[ x

jp(x,uS)<.'E. J

П Q. ,

6(5" d * |< f"i!4)

G^Cr ^ > p ) 4 S l l / )

)< Сдч) G„,(< ч Ч «

t i

= 1

•

p

p'

/

=

И й ) » ^ .

C(€).

|w£ | < 2.Jю|.

,Тогда зависяпря от

£

постоянная

С (О ставится в зависимость от СО ,

превращаясь в

C ( V ) ,

причем, вообще говоря,

С ( щ ) - - ° о

ПРИ | w | - « - 0 .

В итоге,

учитывая данные условия,

мы получаем оцен­

ку

№*)11г<(^г *

C t M K r +

С »

JA

d.3.16)

Если. cj= =>Q; то

сначала

возьмем конечное

tyA

ив условия

^ , . . p

и

применим неравенство

I!

Г UJ,

. "I

Х

|| Z1 0 ,

\ ,*

.-„,

1 1 . 3 . 1 7 )

а потом правую часть

оценим по

(1 . 3 . 17) .

В любом слуяае

мы получили

(1.3.18)

. |

. i

где

можно положить

y^lwl) - |UJ| f

Н> с любым

^ .

Р 4 * ) ^ ^

Рассмотрим

Г6 = { х| f ч.х.,Л)< £. J \ Г2. u

u ) t

-

Q\Cr^U.fl) '!

для

всех

£. & ( о ,

Пока только сошлёмся на 4акт,

который докнгсы

позже

(деииа 10):

Оункщопалы, построенные по способу Сооолева^с услови-

ем ортогон;льности

многочлен^до

степени (Mj< 1) вклюяитель-

но,

для

либо»! оолисти

t o 4 4

0<£г=

£0

удовлетворяют

оцен­

ке

при любом

U - f . o

w ,

д - M t

t

m М

Постоянная

С

мо­

жет

оьггь взята независяще»

от

t

Известно такте, что эти функционалы Соболева,

точные

для

многочленов до

степени

( М ^ О -

будут

обладать

ослаб­

ление

регулярным

поггйшчиым слоем

£ С-пЛ-О

с

некото­

рыми

L ^ L j . равномерно

по

£..

.

Сейчас ш«хотнм .сформулировать утвер-едение о том, что

функционалы погрешностей, достроенные по способу С.Л.Собо­

лева

для множества

UT

областей со

будут

принадле­

жать

классу

ROCnijp). Однако-для 'точной формулировки

нам на-