книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf6 3
Сразу возьмём £0 таким.чтобы ш'+ с ш" для всех £. .
Теперь положим
Имеем |
|
„ |
|
С 00 = Л х ) + |
+ ft*) , |
(2 . 2 . Ь) |
|
I г- |
" |
1 |
(2.2.6) |
|
|
|
|
Кроме того,
{ C w . |
fto}u* |
c K ° |
( ^ 2 ) |
< 2 - z , G ) |
|
|
0 < « i t 0 |
|
|
Последнее утверждение очевидно для |
j t^(x) |
, t|^C*)j ^f ^ |
||
Ато.что |
|
|
|
° « ' « * « |
следует из принадлежности классу КО(р,2)отдельных елагае-
мых |
{ # w ] u * |
. , |
i k w - e f o j } |
* * |
формулы (2.2.4) |
и'того.что | Ш '[|*С > 0 |
равномерно по |
||
t e |
( 0 , 6 J . |
|
|
|
Применяя (2.2.5)-(2.2.8),мы получим,утверждение леммы.
ГС(*%*оо->Г * i C w I l r f f V ) ] " * |
^ |
(2.2.9) |
7 0
> I И*-)!fнv>J* - [l |
fi<fV8*+ |
' ^bc)Jf ffvrJ * " |
» I I ' < ? W | f ( ? w - |
fc^Uic*vr |
+ |«й«)1гн w ] . |
U i w i f H ^ a * - S * P — т т ^ г — , -
пусть Pw i означает проектор в Н'к на подпростршства Н (W)
Пусть |
f t (ai) 6 СГ , SO*) = 1 6 « Л |
, |
5 6 0 - ' О |
в |
|
{acj J> |
< |-_ j . |
Такое.$ 0*)'можно |
поставить в |
предыду |
|
щем выражении множителем перед Ри' |
. в скалярном произ |
||||
ведении, не изменив его.Пусть это |
сделано.Продолжим оценку |
||||
I 4 3 U P '—;— |
; |
• Sup |
|
||
Первый множитель ж |
превосходит |
|
|
|
|
••)торой множитель >а оыгу леимы 13 не превосходит |
С (£). |
||||
Таким образом,квадратная скобка в |
(2.2.9) оценивается |
||||
сверху |
через |
|
|
|
|
71
что есть Значит.
что к требовалось |
доказать. |
|
|
||||
Пусть дана область |
и) |
.кусочно |
1-гладкая,лежащая |
строго |
|||
внутри Q |
,то-есть |
|
|
|
|
|
|
|
р ( и з , |
R.\Q) > о . |
|
(2.2.10) |
|||
Для оптимального |
нцц |
Н г (ю) гцункционала погрешности |
|||||
|
{ С |
С*)]к«зе |
|
(2.2.11) |
|||
главный член (при |
к.—о |
)его нормы будет по определены |
|||||
тот же,что и у любого асимптотически оптимвльншо функцио |
|||||||
нала |
|
|
|
|
|
|
|
|
R « k . * , |
|
( 2 - 2 Л 2 ) |
||||
Согласно доказанным в предыдущем параграфе фактам мы |
|||||||
можем взять |
в кчаестве |
(2.2.12) любой элемент класса Х(КМ <.М »$ |
|||||
-считая |
|
|
|
|
|
|
|
|
К О |
6= ГП:(м,,мх ). . |
• |
(г.2.13) |
|||
А для подачёта нормы" |
^ I * ' ( » J & |
Й (•о,М,,И1|2) |
|
||||
мы заключим область w |
между двумя областями Ш, и |
по |
|||||
добрав их простой фермы и с условием |
|
||||||
и\ с ш |
, |
5Гс шг |
|
12.2.14) |
|||
форма областей w, и w 2 |
будет настолько простой,что мы |
||||||
точно вычислим [ Н " ] * нормы некоторых вспомогательных функ ционалов
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
По лемме :U мевду этими |
двумя нормаш |
будет находиться |
|
|||||
искомая |
[Н^]* |
норма q.ynltцlюнaлa. (^.2.12) |
при любом до- |
|||||
пустимом выборе |
io, |
..шбир^я |
" J j |
, ^ |
сколь угодно |
|||
близко |
к ^ (а это |
будет |
возможно),мы пилучим и точное |
зна |
||||
чение нормы асимптотически оптимального |
цункционала почет |
|||||||
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|
10чние п строения и обоснования |
будут приведены в докаоа- |
|||||||
тельитве сведущей |
теоремы |
|
|
|
|
|||
Теорема и. Пусть |
ш — ^у^очно 1-гладкая |
оол^сто,лежащая |
||||||
строго внутри Q -выполнено (2 . 2 . 10) . |
|
|
|
|||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1^к-оптшальный |
фуш-ционал погрешниотк ицц |
прост- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2.16) |
при |
к—О. |
|
|
|
|
|
|
|
доказательство. |
|
|
|
|
|
|
||
Возмем число |
к0 |
^ такое,чтобы |
'/к. |
и |
|
|
||
дыми числами. |
|
|
|
|
|
|
(2.2.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пустс Q/U(K) дается формулой
Ш а Л . | - 1 л | ; |
(2.2,1?) |
|
Лешу 14 п^и-шим к параи областей i i ^ ^ ^ i l и i l , ! ^ ^ .
Результаты можно записать в шде ценимы» ьоравьиств
11о1йжеи,что при ко-*- |
о (соолвдепием условий (2.2.^6) ) край |
|||||||||
ние члены цепочки неравенств имеют одинаков) |
предел,равный |
|||||||||
| i i | , / 2 |
-Это будет |
означать',что |
сущес*^» |
|
|
|||||
К.-» о |
|
|
|
|
|
« |
|
|
|
|
и теорема |
будет доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак,надо подсчитать нормы |
-с^ |
( О |
и |
|
0 0 • |
|||||
Преимущество |
этих функционалов |
перед |
|
в |
том, |
что области |
||||
-Л^ц^ и Д а |
i i . разбиваются на целое |
число |
куииков |
Q^oC*) |
||||||
(ч. Q k ( 0 ^ |
, если |
k - » 0 |
с соблюдением условий |
(2.2.16). |
||||||
Такуи ьоследовательность и будем рассматривать. |
||||||||||
Для-подсчета нормы сн |
(*) или th |
|
с точностью до |
|||||||
о С+СО) *•* ^ k i s u право выбрать любые представ отели ьлассов |
||||||||||
at(fkb,Jt.p*'i)Km |
& Ф1±>!*>Рг.2) |
|
соответственно^' О - И j [ |
|||||||
Пусть |
|
X (х ) ^Jf0 (x) - |
21 |
Ок^Гос-О |
-элементаршй |
|||||
функционал .определенный формулами |
(j.3.19 |
|
|
|
||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
floKfixai,во-первых,что если S0 * г0 ,то
Здесь и дальше Г ' , ' ]у означает скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н * .
Положим
и
Имеем |
' |
' |
\ |
По лемме 11 норма |
£^ (x-s„/t^) |
может быть оценена сверху |
|
Сейчас мы применим эту оценку |
|
|
|
H I - 1 - 1 К с ) Г ^ ( * - * х ) > l |
+ |
||
Второе cnaraevoe оценим через [W £ M l ] -норму фуннциоанала Г^°(х-ь„1го)-01.''С*-5=(10]1используя. то.что в L окрестности носителя этого функционала функция //1(В)Рг £^°(х-1.(и)
является решением однородного гипоэяяиптического псевдодифференциального уравнения f / i ( D ) | a u ( x ) = О (по лемме 13),
Теперь покажем,что
7,5
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ ) 1 н * |
=. Z |
|
fl^-^fl~^°№) |
|
( 2 - 2 Л 9 ) |
|
Действительно, распишем левые части |
(2 .2.18),(2. 2 .19) через |
||||||
скалярные произведения |
в |
H'-* о |
заменой |
|
(х) |
||
и |
£ £ С Х ) |
через |
суммы функционалов |
^^'(tc-bd.), оста |
|||
ётся воспользрваться только что доказанным свойством ма |
|||||||
лости скалярньк |
произведений-различных |
С*~ |
• |
||||
|
Заметим также,что нормы |
-4.'^ Qx-%L') |
не |
зависят^ |
|||
от |
сдвигов аргументов,так что |
|
|
|
|||
Згачит,
Совершенно аналогично получается
Итак, |
|
|
|
Но.очевидно, |Л, L.|'A |
к |
I i l ^ k j ^ |
стремятся |
к одному пределу |
при |
к,-гО ,а средние члены на |
|
писанной выпе цепочки неравенств не зависят |
от 1 ка .Так |
||
что существует |
|
|
|
?6
Ьамсчш-гие. Учитывия, чг о
для |
W2 (ио) пространств |
с нормами (0.1.4) |
получим известные |
|
|||||||
при целых m [iS.il] формулы |
|
|
|
|
|
|
|||||
u r ^ k ^ y |
- м * &Т |
|
|
( 1 - 9 - ) ) |
. |
||||||
при |
к -«- О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ £.3.Пример |
|
|
-пространств |
Соболева-Слободецкого |
|
|||||
|
Ьолее детально |
разбереём'один из |
важных случаев |
- |
|
||||||
пространств-пространства |
. |
|
|
|
|
|
|||||
п°.2.3.1.Постановка общей задачи о решетчатых кубатурньк |
|
||||||||||
|
формулах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изучая кубатурные формулы в пространств» |
Н£ |
,неестес |
|
||||||||
твенно ограничиваться только решётками вида |
|
|
|
||||||||
|
|
кк |
( |
icj = |
0 . * i , t 2 . . . . ) |
|
|
|
(2 . 3 . 1) |
||
Для примера обратимся к пространствам "с доминирующей |
|
||||||||||
ггрои.^тлдаои",рассмотрензм в работах Н.Ы.Маробова [№], |
|
||||||||||
И.М.СоболяГго2 |
Н.С.Сахваова |
fca] , |
Е.Н£аи.гАа |
|
|
||||||
и гильбертовом случае зто прос1ренства |
Н*((2) с |
|
|
||||||||
|
>. |
К * ) |
= |
П С'/^/' + О " * |
• |
|
|
(2 . 3,2) |
|||
3 периодическом случае функционал погрешности |
j ^ j f |
|
|||||||||
является |
асгалптотич. ски оптимальным на заданной рмаетке, |
|
|||||||||
а норма этого функциямяя(ресе«|10ТренногЬ на решётке (2 . 3 . 1)) |
|
||||||||||
en '» |
|
|
|
f |
. |
|
• |
|
|
|
|
|
|
JttWltit*r |
- C A * - C V " A . . . |
:: |
(.2.3.3) |
|
|||||
• |
сдесь и далее |
Л' -число узлов кубатурной формулы. |
|
||||||||
Сравнивая разные реиит;;-, естественно пчиатать |
основным па- |
|
|||||||||
раметром число |
|
М |
,стремящееся |
к |
|
. |
|
|
|
|
||
Так и оудем делать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нввестна,полученная |
Н.С.Вак&цоиым |
оценка снизу |
|
|||||||||
норм люоьк функционалов погрешности с произвольно распо |
||||||||||||
ложенным^ не осязательно |
на решетках)уздаш |
, |
|
|
||||||||
^ С х ) | | с й г ^ . |
> |
CH'nCUMfk. |
|
|
|
|
|
(2.3.4) |
||||
Мы видим,что |
при испольоовании |
простейшей решётки |
(i:.3.1) |
|||||||||
даже иптимальный на ней функционал riOipuimocTw имеет |
|
|||||||||||
порядок гораздо худший правок части оценки |
(<i.3..). |
|
||||||||||
В то же время на предложенных |
Н.;л. дробовым [ю] |
па- |
||||||||||
раллелепипеда^ьиък |
^е^ка х |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A ^ K / J V ^ |
|
|
|
|
|
|
|
(2.о.5) |
|||
( At-некоторая |
|
постоянная по к. матрица для формулы пря- |
||||||||||
MoyiO-.Ь.ЛКОВ |
|
|
дОСТИлИМ ПОрЯлОК |
|
|
|
|
|
||||
К И |
*) I я*1 = О С*'"*"") |
|
|
л ю |
б о г о 1 |
*0 • |
||||||
С».также,работу |
Е.НСашка. [2S] . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Постановка задачи об оптимизации при общего вида решет |
||||||||||||
ках для периодических функции должна быть *акс-я. |
|
|
||||||||||
Рассматриваются периодические функци». |
|
периода |
|
|||||||||
единица но каждо_у |
|
|
с осНиВиыи периодом |
Q . |
|
|
||||||
Решёткой называется такие р-сполижыние |
»пч ек, лО^о^ое |
|||||||||||
задается в ^иде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( *1 -число точы.,.^падающих в| Q |
j |
с некоторой |
нену |
|||||||||
левой матрицей А(*0 |
и которое согласовано |
с периодом, то- |
||||||||||
ест* само имеет период |
единица ,по каадоыу |
acj . |
|
|
||||||||
HeouA.w.u>u» i . ^статочным условием для такой периодич |
||||||||||||
ности является свойска-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-..i^fecrao |
|
точеп |
|
, V K ] |
|
до.чкнО включать |
(2.3.7) |
|||||
все целочисленные 1ч,ч^, |
(.V- |
ч ь |
* ) |
(.">_,• = o,i . < . ii, |
) |
|||||||
uuoiiuTEo (2.о. 7) будет выполнено тогда и только тогда, КОГд^
Л |
( л ) |
цело^исленьая . |
{'2.8.8) |
Асмиптотически |
оптишл^.лш ^нкционалом погрешности |
||
для области |
i T |
и заданной последи^сисльности |
решёток |
Л(м)к ('•'•--J |
называется фушщион&п погреши,^,.,. |
|
|
{ ^ - ' м ] ^ - , C ' C * ) S ' X I C * ) - . 2 I c < » C * ' ) S ' ( * - A M K ) J I 2 . 3 . 9 )
со свойством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U [lCrl)kt\stf/\"ktU*-ILci*s(x~b<td*)\-k |
|
а 10). |
||||||||
Требуется для иш>ости |
SL |
над |
|
|
|
найти асимп |
||||
тотически оптимальный ф^ы,циэиал погрешности(2.3.9) с |
|
|||||||||
ослабленно регулярным |
пограничным слоем |
(0.2.12),(0.2.13) |
||||||||
Мы не решаем в данной работе |
этой общей |
задачи.Одна |
||||||||
ко ниже сделаем её для одного из важных случаев неизо |
||||||||||
тропных пространств |
H j |
-пространств |
|
|
|
|
||||
Длн Wj. пространств в любой заданной решётке вида |
|
|||||||||
|
|
|
О |
\ |
• |
|
о |
|
|
|
|
|
|
W |
|
К - |
( % |
, - |
V " 0 , |
(2.3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
л , . ^ , |
|
|
|
-Wj |
|
7целые |
числа |
(2.3.12) |
||
мы построим асимптотически оптимальный функционал пог |
||||||||||
решности И вычислим его |
норму. |
|
|
|
|
|
|
|||
Мы доведем и оптимизацию норм асимптотически |
опта- , |
|||||||||
мальных функционалов |
по решеткам,но в упрощенном вари |
|
||||||||
анте, рассмотрев только |
решётки вида |
(2.3.11), (2.3.12) |
ч |
|||||||