книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf1Ь9
§ 5.2. Оосувд?ш:е результатов и постановка
нерешенных задач
Мы хотим обратить внимание на то, что использо
ванное в этсИ работе понятие ослабленко регулярно погра ничного слоя отличается от. определения Соболева. Данное нами определение менее ограничительно. Применяя его и сде
лав |
одним из центральных понятий предложенно.1 |
аксиомати |
|
ки, |
мы и з б а в 1 л и с в от некоторых дополнительных |
требований, |
|
заложенных в прежнем определении и не .игригацкх роли в |
|||
явлении |
асимптотической оптимальности. |
|
|
|
8 |
треиова- я к рассматриваемым функционалам погреш |
|
ностей раньаг всегда зключалось условие ортогональности многочленам некоторых степеней. Оставим в стороне тот специальный случай, когда элементами пространств являют ся фактор-классы по многочленам и когда требование орто гональности просто необходимо, и рассмотрим пространства, элементы которух - функции. Мы замени,! это требование ор тогональности условием точности по поряд i у для некоторого интервала гладкостей. Можно было бы показать, что из ло кальной ортогональности функционалов погрешности много членам уже следует наше условие точности по порядку, JTO значит, мы накладываем меньшие ограничения, расширяя класс допустимых функционалов погрешностей и кубатурньч; формул.
Интересно здесь, то, что Ослабленных требований хватило для установления асимптотической оптимальности.
Зазно таете заметать, что на расширившееся множест-
•1 if о
ве Функционалов стали возможны (то-есть оставляют это множество Функционалов инвариантным)такие4 основные в анализе операции,, как замена' переменных и перемножение Функций. Используя эти операции и удалось построить новые формулы приближенного интегрирования, асимптотически оп тимальные и обладай'.',:-- ослаблено регулярным погт&ичнкм слоем.
В связи с полеченными в работе результатами возник ли ..лвые вопросы, ответ га которые нам представляется полезным для развития рассмотренного направления теории приближенного интегрирования. Сформулируем несколько гаДач.
1) Все результаты об' асимптотической оптимальности устанавливаются для конкретных нормировок банаховых прос транств. Но не известно такого факта, чтобы формулы асимп тотически оптимальные в одной иа нормировиК теряли свой ство асимптот»-! ской оптимальности в друшл эквивалент/
ных нормировках. Ьерно л » , что асимптотическая оптмыал--
О
нисть кубатурных формул проявляется с р - 3 У *>о nctoc эквива лентных нормировках данного пространства.
2) Предложеннке нами но^ьь^овки банаховых пространвтв
*
Ъ(^1) опираются на периодические продолжения функций из Si на бее Я\ Эчо стеснительное ограничение вызвано методом доказательства - мы'воегда существенно опирались на теорему 1, доказанную для пространств периодических функций. ' -
Представляется желательным построить теорию без ус ловия нормировки по периодическому продолкению, заменив
±ь 1
его, например, |
на норшррвку |
иксринунон |
норм всевозмож |
|||
ных продолжен^ на |
|
|
|
|
|
|
Первая возможная выгода в том, что теория стала бы |
||||||
проще, нормы естественнее. |
|
|
|
|
|
|
Вторая выгода более определенная - |
были |
бк сняты |
|
|||
условия на парякстрп h. |
(§ |
|
|
|
|
|
•чГГГ= г |
jx/; =. 4- |
— |
целые числа |
. |
(5.4.1) |
|
А ведь сейчас именно иэ-за этих уопог |
i ^-ореш С и', и.:. • |
|||||
лш.'л : |
|
|
|
|
|
|
услоым (у.4.1) и |
|
|
|
|
|
|
совместимы только для некогоркх наборов |
(rni,.-.,r i4.') j |
h., |
||||
3 ) Hki не известно примеров |
с доказательствам! г.-со', |
|||||
что порядок функционалов погрешностей наилучиий по произ |
||||||
вольный расположением узлов и весов не достигается на ре |
||||||
шётчатых расположениях узлов. Возможно, это из-за того, |
||||||
что отпеченное явление происходит "редко*. Поэтому пред |
||||||
ставляется интересный.установить достаточные |
условия ца |
|||||
,вид банаховых пространств, над которыми наилучшй поря док функционалов погретое тей по произвольным расположе ниям узло» и весов достигается на решётчатых расположе ниях узлов.
4) Представляется возможным по ошйьоыу в работе способу построить и реализовать
на -ыамсие единую пр*:рашу, которая для широкого класса
142
областей и достаточно большого набора' размерностей и гладкостей вычисляла бы многомерные интегралы. В част ности, отиетим", что предложенный метод построения кубатурных Формул может быть обобщен на кусочно гладкие об ласти.
lAb
§5.3. Лрогра:.1ма вычисления niwrpanop no кругу
Программа составлена дляпостроения кубатур-тй формулы,
функционал погрешности которой принадлежит классу
П& ( ' f t , ^ , 2 , 2 )
|
_ |
•( <. |П £ 2 |
, |
|
2. |
7. 1. • i /I \ |
За область |
11 |
взят 1фуг { 1 * , ^ М ( х , ^ |
t R |
, ^ |
<1'Ч] |
|
Параиетры |
кубатурной формулы (см.глЛУ) |
принимают такие , |
||||
значения |
|
> —* |
- |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
В программе намеренно предусмотрен" напас иозмохной экономии" в несколько двоичных порядков величины ошибки ИЛИ времени счета.Например,не учитывается специфика области-еншетрич- ность круга,взята ке оптимальная решётка.LTO сделано для
упрощения схек<ы алгоритма, по с кольку предлагаемы;! способ
счёта опробуется впервые. |
|
1°.Описание алгоритма. |
1 |
функция двух переменных интегрируется |
по кругу аа -*з* < 1 /ц |
по приближенной формуле |
|
Где к |
»0-вектор с целочисленными |
координатами |
|||
с ( » , W) |
функция от к |
и |
к |
, К.-параметр, принимаю |
|
щий такие |
значения, что |
Я~ |
-ц- |
является |
целый, чётным |
числом, |
|
' |
|
|
' |
НА первом этапе при заданном К. для |
каждого к вычис |
||||
ляются числа С (к,к)и все |
эти числа запоминаются. |
||||
14 4
На втором этапе для некоторых конкрет.шх функций подсчитывагатся пришшженные значения интегралов по формуле (5.3.1) и сравниваются суточными значениями этих интегра лов.
Тцким образ ом, требуется вычислить |
с (к, К") |
|
|
|
Область и1:тегр1фования-круг |
разебъем на 4 |
части, как по* |
||
казано |
на чертеже- w |
i , <^г |
, w b ) w q |
|
Соответственно |
этим областям |
пост |
||
роим разбиение |
единицы, то-ёсть • |
|||
4 функции- £ |
11*$\<гЬ,$&*$,<№\ |
|||
"пересечение носителей которых с кругом примерно равны указанным областям,а суша функций равна 1;
Возьмём
|
|
ДЛЯ |
T |
i |
О |
, |
|
|
^ ( Т Л |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
V 1 |
для |
T |
^ |
1 |
|
|
|
оаметим,что для |
0 s 1 |
< i , |
|
|
|
|
|
|
^ Щ |
•= Ю т |
1 ^ |
15"T * + b X |
5 |
(5 . 3 . 3) |
|||
.Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 . 3 . 4)
1 4 5
°.i |
J ' |
(5..3.5) |
Замечание.
|
|
J |
1 |
при |
у > 5 |
+ од |
|
|||
Ц ^ . У ) s < э ( ч ) = <j |
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.6) |
||
|
|
L |
О |
при |
|
J j ^ . J . |
|
|
||
|
|
|
О |
при |
^) *• ~ " j |
|
|
|||
|
|
{ 1 |
|
. |
|
|
|
|
(5.3.7) |
|
|
|
при |
а |
* - т |
- 0 - 1 |
|
||||
Для отьюканияс(к11.') будем применять следующие |
формулы. |
|
||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф с , ^ |
- х г |
- ^ |
|
|
|
|
|
(5.3.8) |
|
Есж |
Ф ( к . 4 к , к Д ) * 0 |
> т о |
с { к , ^ = о , |
|
|
(б.З.й) |
||||
если |
( K ^ K . ^ K ^ f e ^ K - d - , т о |
|
c c ^ U = l , |
(5.3.10) |
||||||
есж |
О < |
cfc>f 1 c , ц, |
< 6 \ / 2 h . |
( 1 - 6"гО), |
|
(5.3.11) |
||||
то требуются специальные вычисления,которым посвящено |
|
|||||||||
все,что написано нные.Поэтому дальше условие |
(5.3.11) |
|
||||||||
предполагается выполненным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее |
бтдут введены функции (^(к}, с ^ к } , |
съ (к-^ |
Ц С к } , |
|
||||||
а сейчас выразим через них |
С Ск, |
|
|
|
|
|
|
|||
бел* |
|
|
,то |
с ( |
K , |
U |
= |
c b ( v O |
(5.3.12) |
|
.Если |
т ^ ° Д |
> 1 < г.Ь> j |
f^o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i n |
при |
K 4 V , |
г o , i |
c ( N M |
= 4 ( ^ U c i ( k ) + [ l - ' C b ( K 1 H ] ОДк}, |
|
при |
о, 1 > lct Ц > ? |
|
при |
K t S о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ССк,М= %.а К |
|
М Сь |
С*) •+ il-Cs (K»V,\io-,CieV |
|||||||||
Если |
-g » |
к^Ц |
* |
- ~ |
|
,то |
|
|
||||
при |
v , U o , i |
|
|
• |
c C K . w ^ u ^ r ^ j |
|
|
|||||
при |
о ( 1 > . к Л Ц > о |
|
|
, |
|
|
, |
|||||
при |
к, 4 0 |
|
|
|
|
|
|
сОе, 1 Л » С Л С Ю . Ч |
|
|
||
Если |
- J |
> |
Ч |
^ |
' |
Г |
0 |
Д |
|
,то |
|
|
при |
• кч |
К } |
о д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с^У) |
|
|
|
|
^ |
C |
4 C |
l ° + |
l l - < 4 l * i W i l |
V |
O , |
|
"Р11 |
0, i. > УС,К>0 |
|
|
|
|
' r |
• |
|||||
|
- «f C § j ) ] c , . c f c ) + . T t ^ |
, |
|
|||||||||
с с < ,KS) - |
гГц Очк) |
сч ск)+ |
[1 - £, К М ] |
с,.с ю . |
||||||||
Если |
- ^ - 0 , 1 % - |
|
|
|
|
|
,то с ( к Д ) = |
c s |
Cic'j. |
|||
Итак,форьулн (ii.ci.i;?.)-(5..->.с2) исчк^пквагг ное возмож
ности для сек, V,) и остается |
указать |
варпяеиия для |
|||
СА (Ю, |
G j , ( » c \ |
с ъ ( . 0 , |
с ч |
С*У |
|
ПуСТ1- |
-едая.'; |
;.уннЦйЯ |
И = У ( \Г) |
да V f ( О Д ) |
|
JL4?
И рассматривается область 1л >ft(v) ;вдадимся целочиеленкш векторс«« £ = C s 1 ( sz~)
<:Ьпиш«.1
(5.3.23)
то-есть разъединив целую и дробную часть этого числа. Положим
|
|
|
|
|
|
(5.3.24) |
Число |
вычисляется |
по уюрмуле |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(5.3.25) |
где матрица |
(CL.j V • |
^ = Д |
является |
обратной к |
||
матрице |
|
|
|
|
|
|
, |
4 i |
|
|
|
|
2 2 1 |
А = I 1 |
* J |
|
А= |
|
•Ь 4 - 1 |
|
|
i |
4 |
|
|
|
|
Для построения функций |
(к^ |
( j - |
г < Ь/ М |
|||
зададим в областях k>| границу круга уравнениями
В u i , в * ь }
11 |
i, . |
|
|
|
|
|
14« |
|
|
|
|
|
|
•1ункц11и |
Cj ( |
( j |
|
= l , Z , b , ^ |
оудем |
теперь |
задавать} |
|
|||
' выбирая подходяч^е |
ft |
( О |
и |
S |
= |
( s . , , ^ ^ |
|
|
|
||
в формуле |
(б.о.^б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для краткости |
примем обозначения |
|
|
|
|
|
|
||||
£ = ( 1 , 0 . . |
Ш |
= j t s a j а а ,^\ = |
f & z ; Q |
|
|
(5.3,2V) |
|||||
Пола.мм теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С н м 4 ( к + 2 |
\ 0 |
при |
|
^ ( ^ - ^ { y - i ^ |
+ i |
, |
|||||
С, ( О |
- И - К |
4 |
^ |
е ) |
^ |
у , V b - |
^ 4 |
V I |
) 15.3.28) |
||
c t ( 0 = t ( H + ^ e ) при ^ = - ^ - i > ± .
2°. Описаше программы.
По наьисанному выше^алгоритму была составлена програша для млшгны ВсСм - 4.
Работа по составлению программы и счета по ней выполнена инженером /и-±>.ыоровоИ.