книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования

по функциям ^ f x )

из некоторого мкшэсгва Ф} то-есть

требуется

указать

точек

л С к ^

и соответствуквдие

QK

так,

чтобы они давали возможно меньшее значение выраке-

ниго

I

=

sub

I Slc^c/x-

ZI

^/C^j/

(0.2.1)

чаем общеП постановки.

Сформулируем нашу задачу.

За множество

Ф

мы берём единичный шар в банахо­

вом пространстве

В (ГЦ подчиняя

Б

двум основным усло­

виям:

Б

вложено в пространство непрерывных функций С и

/ / / w j f

Уц<х>1~

< 0 0 ,

( 0 , 2 , 2 )

норна прострдаства В

инвариантна относительно сдви-

гов - для

всех

£(х)(В и всех

а, ( К.

If(x-

+ a.)l„

=

Hff*i8K

1

(0.2.3)

Узлы

эс ;

будем считать выбранными по правилу

ж . 6 0

= н к .

(0.2.4)

TOe

К > о - параметр, стреияцийся к нулю так,

что числа

'/Я

остаются цель»«. Такую последовательнойсть значении

к.

обозначим

:

<£С = •[fv

J L-*~ + Of

-

целые числа

}

Если

узлы ^нбираотся согласно

(0.2.4) или, более об­

що,

по формуле

Л 0 0

= А М

(0.2.5)

10

где

А.(к)

матрица

h * h .

с условием

dut

А/к)

= 1,

то

говорят,.что узлы располагаются на решётке с штрицей

А

(к). Таким образом,

мы рас полы •аем узлы на простеМшей

решётке

с единичной

матрицей. В формуле (0.2.1)

остались

произвольными только

числа

<ХК.

Будем записывать их в

т-

де

CLK =СК

/ i / 1

и

в дальнейшем называть

весами числа

ск.

Итак,

мы приходим к задаче:

для

заданной последовательности

значений параметра А-

подобрать веса

= Ск (к)

так, чтобы выражение

принимало наименьшее возможное значение при наздим

"/v£<?d

Значения

СК

дашие минимум

1

(с*)>

обозначим

Сяк

и

будем называть оптимальными.

Оптимальной кубатурной формулой назовем последователь­

ность по tifrcW.

кубатурных формул, отвечающих весам

Сск

то-есть

Видимо, впервые задачу в подобной

постановке решал

А.Сарц £ l ? . l ] .

ffeK указано в книге С.М.Никольского

[ l 3 . l j ,

сама постшовка задачи (даже более общей, когда Б (0. 2. 1)

эа

берётся единичный шар банахова

пространства и про­

извольными остается и узлы и веса) принадлеялт

А.Н. Колмо­

горову.

^'Поиск оптимальных кубатурных формул труден. Де_т.е в

тех случаях,

когда они найдены, формулы оппшапъных весов

окаэывавтся

слозднми (см. работу И.Бабушки

)

12.

где

^Xj^PO

характеристическая Функция областиSlj .$(х)-

$ -

функция,

AM-

матрица решётки (почти всегда мы бу­

Рассматриваются функции

J-C*},

заданные на ограни­

ченной области Л

и образущие банахово

пространство В.,,

вложенное в С (Л)-

пространство непрерывных на

Q.

функций.

Определение 2.

Оптимальным функционалом погрешности

называется функционал

погрешности

{1°'^сх}]L

v» ,

веса

с;

(к)

/и

-' О f

которого

при каздом

реализуют

Ы}НлЫ-к*Г.

Ck$(*-A(k)KU)Lt=I(k)

(0.2.8)

СК

4 ГА) к

£

- i

Веса

ск(^)

называются'оптимальными.

Определение Э.

Асимптотически

оптимальным функцио­

налом погрешности называется функционал погрешности

A f А » даовлетворяпций условию

К->о

fc

А

Веса его обозначаются

C%r(k)

и называются асимптотичес­

ки оптимальным*.

Дальше нам понадобятся функционалы немного более об­

щего вида,

чем функционали погрешности.

Определение 4. Функционалом типа функционала погреш­

ности

(т.ф. п.) называется последовательность по

h, f2C

15

обобщенных функции вида

/

C x ) ~ / v *

2 1

с к а ^ ( х - Л ( ) , ) Ц )

(0.2.10)

где. L

некоторая, не зависящая от Кь<££- постоянная.

Обобщенные Функции

(0.2.10) будем обозначать

£^ <*.)_,

а из контекста всегда будет видно,

какой смысл имеет 1^1ж~)

- (0.2.7) или (0 . 2 . 10) .

Таким образом,

функционал

т.ф. п. -

это

П л ,

1

(0.2.11)

где £^f>)

даётся формулой (0 . 2 . 10) . Ясно. чти функционал

погрешности является частным видом функ^юнапа т.ф.п.

Определение 5.

Будем говорить, что функционал типа

функционала

погрешности

(0.2. И),(0.2.10)

обладает

ослаб­

ну

ленно регулярным пограничным слоем,

если существуют Дов 'за­

висящие от \\f-3t постоянные Li

и

L 2 , с

которыми выполня­

ются свойства

sub

ск

(k)l

f

L4 ;

(0.2.12)

если

jo f / l ( h ) K j , /

R , 1

N n ) > L 2

J v / т о

ск

= 1

•

(0.2.13)

Itecc функционалов т.ф.п., обладашри осабленно ре­

гулярным погрничны™ илоем с постоянными

и

обоз­

начаем. К. ( Ц ;

I, }

Впфвые понятие регулярного nui-роничного слоя ввел

С.Л.Соболев

19.10

Он дал

определение, к^*орое мы приве­

мы добашли в название

слово "ослабленно". Ьпочем дальше •

для краткости мы иногда будем

гисать "функционал с регу­

лярным слоем", шлея в виду офеделение

5,

котором только

и будем пользоваться D это11 работе. ,

Определение С.Л.Соболева.

Функционал погрешности

' ^ h . ^3L^3<1tJ£ ° ^эле^1Л

н а

Р е ш ^ Т 1 ; е

А' к ^ -

обладает регу­

лярным пограничным слоем порядка

tn^

если он макет быть

представлен в виде сумма

/

V x i

K . j . ^ e -

^ m

"'f(t);*nQ')*L,h-

Причем отдельные слагайте

суммы обладают

свойствами:

1.

) , М = г ( х Ь

Ц

а к

б ^ о с - А к )

3. < A ( x ) ,

- о ,

< A K Г-х),

= О

Постоянные Lu

LLlL^

не зависят

от

A. f - d f

Проблема А. Получить достаточные

условия асимптоти­

ПЦ'.Х.

Формулы Гаусса

(2т+1)-порщка точности, решаю­

щие задачу (0 . 2 . 1), в

которой

Ф - шожество полиномов

степени не выше (2m - t i)

£l -

интервал (0,1) .

Хотя ещё, повидаыоыу,

нет удшлетвори тельного объяснения,

более быструю сходимость при

т-»-сю

приближений к точно­

му значению интеграла.

Теория С.У.Никольского £ l 3 . l } ,

который минимизировал

(0,2,1) по узлам и весам для

^о-единичных шаров наиболее

1 6

членов степени, не превосходящей заданного числа

т .

и

останавливаясь

на

минимальных if =lf(rn)>

для

которых

1 = 0

получают

последовательность (при

i n — ) формул

алгебраическом

точности.

Ъга теория встречается с большими трудностями. Поэтому

результаты её

относятся к областям простых (1х>рм

(допус­

равления

финадлехат С.Л.Соболеву [ l 9 . 1Z]i

[ l 9 . l ]

С.Л.Соболев

рассмотрел

в качестве

sb

единичный

шар гильбертова

пространства

Lj . ( I I )

с целыми m > ~

}

профакторизованного по многочленам степени не выше m

- 1 }

с нормой

Для ограниченных областей с липшицевой границей он

показал,

что формулы, обладаниие регулярным погрничным

слоем (в

смысле Соболева) являются асимптотически опти­