книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования

цвол&дсш погрешостей таких кубатурных фориул -

это и

является целью настоящей

главы.

Надо сказать, что функционалы, использованные Собо­

левым С.Э1. также принадлежат

выделенному

семейству -

это

IT

нетрудно было бы показать. Но,

предлагая

построение

но­

вого функциейала погрешности и

кубатурных формул, мы рас­

читываем на то, что их коэффициенты будет удобно факти­

чески вычислять для областей с гладкой границей. Усовер­

шенствуя предложенные построения, мохно найти формулы

КОэффицАпнтов подобного вида для областей

с

кусочно

глад­

кой границей.

§ 4 . 1 . Описание

построения.

1°. Разбиение

единицы.

Считаем, что

область

-П.

обладает

границей

Г

класса С

Пусть

•{_uTj i ^_ i. —

взаимно пересекающиеся

области

с кусочно гладкими

границами

класса

С2,

такие,

что

Т

А главное,

обладает

свойством:

часть границы Г 7

попавшая в

, может быть записана

формулой, выражапцей

одну из ^координат однозначной функ-

цвея кадеса

С м

остальннх координат,

*Ч Т

* j Оь - ,

, хь.+1,.... х,0 ,

*<4-

причем, функция

Jfj

периодична периода

1 по каждому

яз своих аргументов,

а область I I (~\иг, располагается по

Одновременно

будем

строить функционалы ^ (*-.) ц

^ ( * Л

с помощью которых

зададим

1^С<) и £ " ' ( * • ) '

из оп­

ределения ^

( Л , M ( j М в ) 2 )

класса формулами

Уы опишем

построение /М'-О,1 ?'1 *^ 9 Д х ) , а для^ ос­

тальных j = 2,...

,7 Э Т и функционалы можно построить ана­

ле

граница

Г

области

-fi-

вырах^ется форму­

лой

а п =

С м ъ

J 2 1 | t

|

Л 11

расположив в ,об-

ласти ( x l x ^ - y C x 1 ) ]

,

а

J l , , t

,

П ( С } \ Л )

-

в

области

{ х

| хл > у ( х ' )

} .

Сделаем ааиену переменных у'-- *',У« =

при

которой

Г П Л А 1 £ | _

перейдёт в

кусок гиперплоскос­

ти

^ц=о к введем обозначения для областей,

преобразо­

ванных этой заменой:

0о

-

образ

Л П Л ,

6 , -

образ

Л Л Л , ^

в,. -

обраа Г Ч П Л , ^

,

_

обрав

« А ^ Л - П , , ^ .

В переменных у

с помощью элементарного функциона­

ла

Х{у)образуем такие

кн)

-

Z

^

Ъ

(

Щ Л 1

Положим

.'

•л * ё,

1

Пусть H*'^-) -

•( XQ*ty/kj

обозначает дробную

часть числа

^(<к)/^. Подставим в написанные выше форму­

лы вместо

frf^-«:„

А.) выражения

$

S-0

a ( ^ ~ < * t , K ' t ) a o Y ^ - i e ^ ) - ! & s ^ - ^ l C l t ' * ) i - * ^ ,

(4.1.11)

Замена, переменных

+

_ ' f

позволяет

С< Z « U ОО) - «

i5) = о,

ч

12 6

*

Преобразуем выражение для

P , ( w 4 -J s(V>) = ^ ( « ) =

Z

> ч - - ; ~ - ) + д з * б о =

к и е ,

v 4

= - 4 > ' u ) - ^ Z

X

ot | ...at ,8-^-tK4t)t) + ?a Cu)=.

Заметим, что

нам достаточно иметь выражение для

р±

только на

в 0 - носителеsсрезывающей функции ^.Обовна-

чив через

j>

часть рА ? не попавшую на носитель

^ t

имеем

Д-х

У

p . C ^ x h y ^ i - ^ Z

Z

l a ,

J f r ( * - « t ) j

Таяш образом,

tyx)ft(«)

- ^

W

j

^

-

C

Z

С*

к О }

,

(4.1.20)

**e _ C R

«

Z

4

Z

а«г .

Нмфрициенты

dt

зависят от

уравнения границы.

Выделим явно эту зависимость. При этом мы останавли-

вммся на одном на возможные вариантов выбора

за­

одно подберём и

CL*

Для бояьюей простоты

a r и

di

лнрояим похошш формулами, приняв

<±»=о, 3 =К= М+i.

Нуе» «гирь

а = (а,,...,аО

, «

= ^ . ^ , - И / м , 1 ) ,

2 « 0 А - А \

I

lt, . - . «l H )

—

ве«тора-столбцы,

матрица А

м л н Фадомв*

(4.1.5).Тогда

Д 3 = £ , Д а = й .

FLYW*

А-*

Л ,

^

А « C a y ) C 4 f 4 .

Of эрааяшш границы зависит только 1= {

j . ° * * < А •

Пцммаш значения о£4 • a r в (4.1.21)

K .

C ^ Z * £ ^

Z

^

z a<rt

Для того, чтобы выписать

общую формулу

условии- •

ся считать что в областа

Г-{х| х,у =^

0 х ! , - , x t j - i ,х у+«,-15 с ч)]

Кроме того, будем писать

где

мЛ

Mti

nUh(M-M,5j4-i)

imh

О

(4.1.23)

с О * ) = Z t

Z * j ?

Z ' Q s t

Z

a s t

р(к(\,Г)

-9 2(M+i)k,

то мы понажем позже,

что

в этом,

случае

С к ~ i •

Можно иыло бы, проделав аналогичные вычисления,

пп

учить подобные формулы для

функционалов

t ( « ) и

• t

^ ' C x )

, но такие

исдрооные

выражения •£-Г*Сх) и

£ . ш * 0 ^