книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf
|
|
1 2 S |
|
|
|
Ноы ш понадобятся и мы юс № получаем. |
|
||||
|
6 4.2. йриадпехмооть функшоиада погрепности |
||||
|
|
K M C C Y ^ С Д . м ^ . д о |
|
||
|
нн ведали функционалы |
-£-Л(х), f V * ) , . ^ Ч * ) формулами |
|||
(4Л . З), (4 . 1 . 10),(4 . 1 . 18;,14 . 1,19), |
( 4 . 1 . 1 5 ) - ( 4 . 1 . 1 7 ) , |
||||
(4 . 1 , И ) , (4 . 1 , 1 2 ) . Непосредственно |
видно, что построен |
||||
ии* |
наш функционалы имеют ввд функционалов |
т.Ф. п. с |
|||
|
Ь я = 2 ( м + 0 |
|
< 4 , 2 л ) |
||
•се |
|с«|, |С'ц/, /С«| |
равноыэрно по £ , / L |
ограничены |
||
нею» аров постоянней |
. |
Можно взять |
|
||
L, = ( Z /о*/) ,
В«мяш вираивдаиаость равенства |
(Ч.1.Ю}. |
Досаааачно установить, что дм j |
= |
tfcf проаедвм вычисления для j - 1 |
для оо тельных j |
•ни фааоадол аяаяогачко. |
|
Рассмотрим (4.2.2) > перемеимык *(, у'=х', ^ -- Жц - оТ*') . Иа фармуа (4.1.18), (4.1.11) получаем
( г д е ^ - |
обозначает, заменунаэдого S'C'J^-x^k) на |
ч
5--о
Теперь применяем (4 . 1 . 10),(4 . 1 . 3)
~>бласть сушировашя |
индексов |
к (г можно взять любой _ |
|
большей |
Sn/зр ^j,£4 |
, в частности , Q . Но |
|
Поэтому |
|
|
|
- c T . C ^ ^ ^ t o - r Z Z |
Z J4S(M№<fc**k*iA.)] |
||
Переставим знаки суммирования |
X Z ! = Z Z 8 0 |
||
внутренней 2 _ произведем замену индекса кЛ +j •> б"п.
изаметим, 1что благодаря наличию срезывающего множителя
^1 область суммирования индексагСц. можно ваять
опять такой: S^k е fo.i) , |
т.е. не зав-:ячей от |
S. |
||
Тогда зависимость от |
S входит только черея Us , |
при- |
||
чей X d^i |
, (см. |
(4.1.13)) : |
|
|
Итак,»бозначая |
б"*, снова через к*, имеем |
|
||
что и требовалось доказать. |
|
|
||
Замечание. |
Из свойства (jl.S.io) следует, что |
|
||
|
|
|
|
1 i t |
|
|
|
|
|
|
|
cK |
+ c i + d = i . |
|
|
|
|
ч |
|||
Но для |
_P(«4 |
, Q S A ) * 2 ( м - ч Н |
, |
C |
^ C K = O . |
|
||||
Так что для этих |
к |
с* * 1 |
|
|
|
|
|
|||
Проверим свойство ( i . b . 11.). |
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим |
неравенства |
|
|
|
|
|
||||
(1.3.11.) следует из них: |
|
|
|
|
|
|
||||
Мы подробно рассмотрим (4.^.3) для |
j ^ |
i |
(для осталь |
|||||||
ных j |
рассуждения |
аналогичны), |
достаточно установить |
|||||||
(4 . 2 . 3) в локальной системе координат - в |
переменных J/, |
|||||||||
так как зам--ена переменных |
"х-— ц |
принадлежит классу |
||||||||
С М |
и поэтому является |
ограниченным оператором в |
|
|||||||
пространстве |
fW™(Q)]* . |
|
|
|
|
|
|
|||
Нам надо |
оценить D норнах |
[w^(Gt\J |
функционалы |
|||||||
, Р^С?Я,$'(^);^Фииея ',г |
одинаковую структуру,а |
именно формула |
||||||||
дает'их |
все при |
S = |
© ! , e » , © 5 |
соответственно.Вместо |
||||||
|| р. || оценим |
||р|| ,Т£«£ |
как умножение на функцию |
^ б С 4 - |
|||||||
ограниченный оператор в |
|
|
|
|
|
|
||||
^ Обозначим |
р& |
-коэффициенты (1урье функционала р . |
||||||||
X (Л ) = 5А (y^^2 I t t ^-преобразование |
фурье функционала |
У L<j\ . |
||||||||
|
1Ь2 |
|
ft-(«""* |
Р<.>) - X |
( е ' " ? л ( ^ ) = |
|
кКс- в |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S v |
' |
N. |
Кrt |
0 |
, |
Представим |
3 в виде |
S = |
, о* t |
j |
, t - * о , и , ± 2 , . - . Q » С*1-) |
||
К О = k.4 |
2 1 e S t r s K a |
-периодична по |
а |
с периодом |
% . |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г С О = К * ) |
|
|
|
|
|
|
л> -
функция X(^ортогональна многочленаы^до порядка М вклю
чительно, значит, А и м е е т при ^ - О нуль порярка М Нроме того,легко видеть,что при ве1дественшх ^ 1 А ( £ ) 1 - С > < " - ^ ' _
|
|
|
/—* |
|
|
|
Таким образом,функция |
А (V) удовлетворяет |
оценю " |
||||
| |
Л ( | ) | |
с |
некоторой постоянной |
С. |
||
Это |
значит,что |
|
|
|
|
|
|
^ |
!Х(±к+г)|г |
^ |
<т- . /• |
i |
s |
1 6 3
S C ' + C Z r ^ - 7 r ^ C ' + C " Z T ^ C < - ( 4 . 2 . 6 )
Лемма 20.
•Доказательство леммы ке даем, поскольку она хорошо из-
вестна в теории чисел и доказывается в работе^^гл. 1, §1).
в обозначениях работы |
Р = |
, |
|
|
|
||||
|
|
( Ак |
х-к, ккбб |
|
|
. ^—,;г/1глип |
|||
|
|
о , |
=ок, к и е , |
~ n ' — n i " |
ккье |
||||
Объединяя оценки ( 4 . 2 . 5 ) , ( 4 . 2 . 6 ) |
|
и лемму с |
А к = 1 |
полу |
|||||
чаем нужное неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||
J ( P W , № " ( Q ) ] T * C | u o | l i a n i |
|
|
(4.2.7) |
||||||
Рассмотрим |
теперь |
$ х % С » , ^ « З а С Д О , ^ Q l C y ) . |
|
||||||
Все их мохно |
записать , как |
|
|
|
|
|
|||
где |
означает замену |
Б ^ - к ^ н а Л (у*- |
к* к, к\п.) . |
||||||
Обозначим |
21 |
|
(«/-*) S ' Z T О ^ С У - к ) , $ = *с/М), |
||||||
23 у ' и ^ Г н |
у-соответствующие |
обозначения для |
-мер- - |
||||||
ного и одномерного случаев |
с аргументами ^' и ^ |
: |
|||||||
Мы иглэем |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
С*)
i-ЪЦ
Kkte
^ a 4 M T l |
I I I I I H f c i j T i i + i i s i y i i |
Подставим в скалярное |
произведет; |
вместо |
g = £ J- его |
|
ряд Тейлора,раалсжега-шй |
по ^ а относительно |
точки (к*-! •*».) А. |
||
ГП-1 |
|
|
iu)V-, + |
|
9 М - Z |
9 (у', с v to k.) • (y~- |
|||
г » |
|
|
/ , э ' |
|
b силу условий ортоюнальности,наложенных на Д , после подстановки от ряда Тейлора сохранится только остаточный член
о |
ч |
|
as |
|
|
, Сделаем |
замену ( к п + О tv + t L ( s - . t ) |
$ |
и получим, |
огрубляя |
постоянные,не зависящие от |
(и, |
|
Используем то,что
fill! * СV1 |
ma* w p j W ^ y |
( ^ i / ^ ' - A W Y v ^ ^ V |
||
« 11С J Ш] |
* С V W |
sup j ItffJ• ob, X Jf |
• |
|
|
^ . S . J |
*• |
К l i t 9 |
|
так как I/ I>£ 9fl*.* С W w »
Теперь,оценим
. сделаем замену 3 = t +fct , o* t^</L, ^. = ot <,*2,... C j - / ^ ) ,
|
|
i |
Ъ 6 |
|
|
|
|
|
|
< |
г |
, , ь | _ |
лгк t V h . г |
-5-- |
-tz*t,*„\ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Z d , e |
|
) ] | |
' |
I |
^ |
l |
^ |
i |
r |
I
Так как
TO |
/ |
Sup : |
< L Sur, ГПЛ.Я. (TiTTx."^; l i s С 7-^7—Tm |
Обозначив |
|
,.2 „^л |
iainC,^Kjk |
- t w t . o * |
|||
A K |
- |
= Z |
e |
<4-e |
Z ^ e |
3 |
|
|
к,Ле-е„С«> |
|
|
e |
|
||
применим |
к - |
|
|
лемму |
u (а-1>-мфном случае: 1 |
||
Z ^ ° ' - ° | Z |
e ^ V N ^ Z |
I A K - 1 : |
|||||
- 4 |
|
|
K'tvt-e' |
|
k'kte' |
||
Подставив |
это в основные., вычислении,получаем |
|
|||||
к Z |
о п |
я , г ь |
применим лемму 20 |
в одномерном случае |
|||
• |
C ^ V " Z <• Z |
i |
i C ' ^ / e / ' , |
||||
,что и требовалось доказать.
1 3 ?
[FlUlClUiHJIE
§ 5 . 1 . . Формулировка ококчательнгос результатов.
Мы сформулируем «кончатель.де результаты ^топ риботц в
виде следующих утверждений. |
|
|
|
1°. Над пространствами |
п.риодических |
>руил1^И §" |
,облада |
ющими нфма-и)инвариантныу.и по сдит'у |
и ки;»-лактно'вложенны |
||
ми в с с о |
|
|
|
после введения эквииалентнои корьы по ^ормул^ |
|
||
И К * ) Ц = n w > * . ( l l K * > - * o l i g |
, 14.1) |
|
|
универ^альну оптииалъ |
кубатурной формулой на |
задании |
|
а к. ( |
tej-o,*i.,*2,••) |
^ |
|
становится "формула прямоугольников" |
|
||
2°. Над пространствами |
|
|
|
И, ( Л ) |
с нормой U . C . I ) у JH-Cg-) £ |
n t C M i . M , ) ^ |
|
(в частности, |
W^C-Q-) при |
m e f M ^ M j ) |
^ |
при |
«пеГМ^М»- ] |
с нормой i ^ . i . t ; |
|
со. a
(5.3
(Л) х. С^С-0-) ири. т. с Гм,,Mj с нормой (Ь.^. 5) .
является асимптотически оптимапьпуи *оид&пной решётке •
(5.3.1) обладающая регулярным погранкчги** и««см любая ку-
батурнвн формула с функционалом погрешности |
^ ££"i>oj |
|||
an |
I L u a C C a |
|
|
|
. |
Г U . |
П |
О 0 * и » Н П K K L „ L O |
V • |
а 0 . Над пр-бстранствры |
W x |
с условием |
\
й < rV ^ nun. т.; $ rn.Qx т.,- <- т."
2 |
А |
6 |
( j ^ ^ i ) |
и нормой (2..0.U , |
,^С?)= |
2 1 |
|
а: -овдснной реикугке |
|
J*<- |
J |
|
|
|
= o , H , t l , - ,
—h.
JV V. ; С - i - , "О |
-цельЕ числа |
асимптотически .иы-.и^тныь при J>f-»<x= и обладающий регу лярным пограничным ошем является любая кубатурная форму-
»
ла с функц..ипслОМ |
погрешности |
|
|
из класса |
|
|
|
4°. Для ограничениях ооластей SL |
с гладкими границами |
||
описано пистроение новых формул, обледапцих регулярный |
|||
пограничным споем |
и универсально |
асимптотически оггеиыаль- |
|
ных(на |
заданной решетке и в одной и:Гэквивалентных нормиро- |
||
В01с)нод |
множеством пространств |
(£5.3.2) |
|