книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник
.pdfГ л а в а I X . П е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й п л о с к о с т я м и и п р я м ы м и л и н и я м и .
220
|
|
|
Р и с . |
322 |
|
|
|
|
|
лельны |
построенной прямой |
о11Х. |
Точки |
Принимаем |
горизонтальную |
проекцию |
|||
пересечения указанных проекций горизон |
основания параболоида за одну из проекций |
||||||||
талей с |
соответствующими |
окружностями |
обобщенного |
чертежа, |
наметив |
основную |
|||
являются проекциями точек пересечения го |
линию ОіОг |
параллельно малой оси эл |
|||||||
ризонталей эллипсами. |
|
|
липса-основания. Проводим ряд секущих |
||||||
На обобщенном чертеже находим гори |
горизонтальных |
плоскостей |
Qy, |
которые |
|||||
зонтальные проекции точек пересечения и |
пересекают параболоид по эллипсам, а плос |
||||||||
строим искомую горизонтальную проекцию |
кость — по |
горизонталям. |
Недостающи |
||||||
линии пересечения. |
|
|
ми проекциями эллипсов обобщенного чер |
||||||
На рис. 322 построена линия пересечения |
тежа являются окружности с общим цент |
||||||||
эллиптического параболоида |
произвольно |
ром Оі. |
|
|
|
|
|
||
расположенной плоскостью, заданной сле |
Строим |
окружности, |
соответствующие |
||||||
дами. |
|
|
|
намеченным |
эллипсам-параллелям и не- |
||||
§ 55. П е р е с е ч е н и е п л о с к о с т я м и п о в е р х н о с т е й в т о р о г о п о р я д к а о б ш е г о в и д а
достающие на обобщенном чертеже проек |
ризонталями. На основном чертеже найдем |
221 |
|||
ции горизонталей. Точки тти ее,, |
ппу, ... |
точки тт\ пгі, ее', |
определяющие иско |
|
|
являются на обобщенном чертеже точками |
мую линию пересечения параболоида за |
|
|||
пересечения эллипсов соответствующими го- |
данной плоскостью. |
|
|
||
В о п р о с ы д л я |
с а м о п р о в е р к и |
|
|
|
|
1. У к а ж и т е о б щ у ю с х е м у о п р е д е л е н и я т о ч е к |
4. У к а ж и т е у с л о в и я , п р и к о т о р ы х в с е ч е н и и |
|
|||
л и н и и п е р е с е ч е н и я п о в е р х н о с т и п л о с к о с т ь ю . |
к о н у с а в р а щ е н и я п л о с к о с т ь ю п о л у ч а е т с я о к р у ж |
|
|||
2. К а к и е т о ч к и л и н и и п е р е с е ч е н и я |
п о в е р х |
н о с т ь , э л л и п с , г и п е р б о л а , п а р а б о л а , п е р е с е к а ю |
|
||
н о с т и п л о с к о с т ь ю н а з ы в а ю т г л а в н ы м и |
( о п о р |
щ и е с я п р я м ы е . |
|
|
|
н ы м и ) ? |
|
|
5. У к а ж и т е п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь г р а ф и ч е с к и х |
|
|
3. У к а ж и т е п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь г р а ф и ч е с к и х |
п о с т р о е н и й п р и о п р е д е л е н и и л и н и й п е р е с е ч е н и я |
|
|||
п о с т р о е н и й п р и о п р е д е л е н и и т о ч е к п е р е с е ч е н и я |
п л о с к о с т я м и п о в е р х н о с т е й в т о р о г о п о р я д к а о б |
|
|||
п р я м о й с п о в е р х н о с т ь ю . |
|
щ е г о в и д а . |
|
|
|
§ 57. П е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й к р и в ы м и л и н и я м и
225
Р и с . 329
дов определяют, применяя вспомога тельные проецирующие цилиндры кривых линий.
На рис. 330 показаны построения точки пересечения кривой линии cd, c'd' с торсом, заданным ребром возврата ab, a'b'. Гори-
Р и с . 330
зонтально-проецирующий цилиндр данной кривой cd, c'd' пересекает торс по кривой линии тп, т'п'. Точка кк' пересечения кри вых линий тп, т'п' и cd, c'd' является искомой точкой пересечения заданной кривой cd, c'd' с поверхностью торса.
В З А И М Н О Г О П Е Р Е С Е Ч Е Н И Я П О В Е Р Х Н О С Т Е Й |
§58 |
О С Н О В Н Ы Е С П О С О Б Ы П О С Т Р О Е Н И Я Л И Н И И |
|
При построении линии пересечения двух поверхностей вспомогательные секущие по верхности (посредники) выбирают такими, чтобы они, пересекаясь с данной поверхно стью, давали бы простые для построе ния линии (например, прямые или окружно сти).
Часто за вспомогательные секущие по верхности принимают либо плоскости, либо сферы.
В ряде случаев при решении задач при меняют комбинацию вспомогательных се кущих поверхностей. Из общей схемы по строения линии пересечения поверхностей
можно выделить два основных способа — способ вспомогательных секущих плоскос тей и способ сфер.
Линия пересечения двух поверхностей, также как и линия пересечения поверхности плоскостью, имеет характерные (опорные, главные) точки, с которых и следует начинать построение линии пересечения. Они позво ляют видеть, в каких границах можно изме нять положения вспомогательных секущих поверхностей (плоскостей) для определения произвольных точек.
Иногда при общем расположении двух взаимно пересекающихся поверхностей целе-
15—718
§ 58. О с н о в н ы е с п о с о б ы п о с т р о е н и я линий в з а и м н о г о п е р е с е ч е н и я п о в е р х н о с т е й
щая через вершины Si и S2 пересекающихся конических поверхностей, пересекает каждую из поверхностей по образующим.
Точки К и Е пересечения образующих, находящихся в одной секущей плоскости Р, принадлежат искомой линии пересечения конических поверхностей.
Выбирая ряд вращающихся вокруг пря мой SiSi вспомогательных секущих плос костей, получим ряд точек искомой линии пересечения поверхностей.
2. Способ вспомогательных секущих
сферических посредников
При построении линии пересечения не которых поверхностей, а также при их осо бом взаимном расположении не всегда ра ционально применять вспомогательные се кущие плоскости. В некоторых случаях при меняют способ вспомогательных секущих сфер.
Вспомогательные секущие концентриче ские сферические посредники*. Этот способ применяют для построения линии пересе чения двух поверхностей вращения общего вида с пересекающимися осями (с общей плоскостью симметрии). Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, по которым она пересекается концентриче скими сферами.
Пусть две поверхности вращения с пере секающимися осями и общей фронтальной плоскостью симметрии заданы одной фрон тальной их проекцией (рис. 333). Точки пере сечения меридианов поверхностей вращения принадлежат искомой линии пересечения поверхностей. Их определяем непосредст венно (без каких-либо дополнительных по строений) на чертеже.
Другие точки линии пересечения можно построить следующим образом. Из цент-
227
0
Р и с. 333
ра оо' пересечения осей проведем сферу ра диусом R. Фронтальной проекцией сферы является окружность радиусом R, проведен ная из центра о'. Эта вспомогательная сфера пересекает заданные поверхности вращения по окружностям. Окружности на чертеже изображаются отрезками прямых. Они пе ресекаются в точках / / ' и 22'. Проекции этих точек есть точки пересечения проекций ок ружностей. Точки Y и 2' принадлежат фрон тальной проекции искомой линии пересече ния поверхностей вращения. Изменяя ра диус R вспомогательной секущей сферы, можно получить последовательный ряд то чек линии пересечения.
Вспомогательные секущие эксцентриче ские сферические посредники*. Вспомога тельные секущие эксцентрические сферы при меняют при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, имеющих об щую плоскость симметрии. Оси поверхнос тей вращения не пересекаются. Каждая из таких поверхностей имеет семейство окруж ностей, по которым пересекаются эксцентри ческие сферы.
* С ф е р ы с о б щ и м ц е н т р о м н а з ы в а ю т с я кон- |
* С ф е р ы |
с р а з л и ч н ы м и п о л о ж е н и я м и ц е н т р о в |
центрическими. |
н а з ы в а ю т с я |
эксцентрическими. |
15*
Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей вращения с общей плоскостью симметрии; одна из по верхностей — сфера (рис. 334). Этот пример может быть решен уже известными спосо бами — пользуясь вспомогательными секу щими плоскостями уровня или способом концентрических сфер. Здесь ось поверхности вращения и центр сферы располагаются в одной фронтальной плоскости.
Л ю б а я вспомогательная секущая сфера радиусом R с центром на оси поверхности вращения пересекает поверхность вращения и данную сферу по окружностям. Окружно сти пересекаются в точках искомой линии пересечения поверхностей.
Выбирая другие секущие сферы различ ных радиусов и с различными положениями центров на оси поверхности вращения, полу чим ряд точек искомой линии пересечения поверхностей. Такой прием решения назы
вают способом |
эксцентрических |
сфер. |
|
Рассмотрим |
другой пример, |
где линию |
|
пересечения поверхностей вращения |
можно |
||
построить способом эксцентрических |
сфер. |
||
Пусть кольцо (тор) пересекают конус вращения и поверхность вращения общего вида (рис. 335). Все три поверхности имеют одну общую плоскость симметрии. Оси пе ресекающихся поверхностей между собой не пересекаются.
Поверхности на чертеже заданы фрон тальными их очерками. Здесь на каждой из пересекающихся поверхностей имеются кру говые сечения. Кольцо имеет две системы круговых сечений. Одна система таких се чений находится в плоскостях, перпендику лярных к оси вращения, другая — в проеци рующих плоскостях, вращающихся вокруг этой оси.
При построении линии пересечения по верхностей прежде всего необходимо опре делить ее опорные точки — точки пересече ния очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения поверхности коль ца проводим фронтально-проецирующую плоскость Мѵ. Она пересекает кольцо по окружности. Центр сферы, пересекающей кольцо по этой окружности, находится на
§ 59. П е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й п р о е ц и р у ю щ и м и ц и л и н д р а м и ( п р и з м а м и )
перпендикуляре, восставленном из центра окружности к плоскости Мѵ.
Для пересечения конуса (поверхности вра щения) вспомогательной секущей сферой по окружности надо, чтобы центр такой сферы находился бы на оси конуса вращения (поверхности вращения).
Точка оо' пересечения перпендикуляра с осью конуса вращения (поверхности вра щения) является центром вспомогательной секущей сферы соответствующего радиуса R. Такая вспомогательная секущая сфера пере секает кольцо и данную поверхность по ок ружностям, фронтальные проекции кото рых — отрезки прямых. Точки пересечения окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.
Аналогично можно определить последо вательный ряд точек линии пересечения по верхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса (поверх ности вращения).
На чертеже построены фронтальные про екции линии пересечения. Горизонтальные проекции строят, пользуясь параллелями поверхностей, которые проецируются на го ризонтальную плоскость проекций в виде окружностей.
Способ эксцентрических сфер можно при менить и для построения линии пересечения, когда одна из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необ
ходимо, чтобы |
только такая поверхность |
229 |
|
имела семейство круговых сечений, центры |
|
||
которых и ось поверхности вращения имели |
|
||
бы одну плоскость симметрии. |
|
||
На |
рис. 336 |
показаны пересекающиеся |
|
конус вращения и эллиптический конус с |
|
||
круговым основанием. Покажем построения |
|
||
линии |
пересечения поверхностей. |
|
|
- Возьмем произвольно круговое сечение плоскости Мѵ эллиптического конуса, про ецирующееся на фронтальную плоскость проекций в отрезок Г2'. Из его центра вос ставляем перпендикуляр к плоскости до пересечения в точке оо' с осью конуса вра щения.
Сфера соответствующего радиуса R, про веденная из центра оо', пересекает конус вра щения по окружности, проецирующейся на фронтальную плоскость V отрезком 3'4', и пересекает эллиптическую поверхность по второй окружности, проецирующейся на плоскость V в отрезок 5'6'. Точки а' и Ь' пересечения проекций окружностей являют ся проекциями точек аа! и ЪЪ' искомой линии пересечения поверхностей (каждая из то чек а' и V представляет собой проекции двух точек).
Возьмем другое круговое сечение эллип тического конуса плоскостью М\ѵ и повто рим построения. Линия пересечения поверх ностей проходит через точки пересечения очерковых образующих.
Ц И Л И Н Д Р А М И ( П Р И З М А М И ) |
§ 59 |
П Е Р Е С Е Ч Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Е Й П Р О Е Ц И Р У 1 |
|
Рассмотрим наиболее простые случаи взаимного пересечения поверхностей ци линдров и конусов (призм и пирамид), когда образующие одной из поверхностей (ци линдра, призмы) перпендикулярны к какойлибо плоскости проекций. Проекция искомой линии на эту плоскость определяется не посредственно из чертежа.
На рис. 337 показано построение линии пересечения пятигранной пирамиды с ци линдром, образующие которого перпенди-
кулярны к горизонтальной плоскости про екций.
Линия пересечения состоит из пяти рав ных между собой дуг эллипсов. Эллипсы могут быть построены по точкам пересече ния ребер и других произвольных прямых пирамиды с поверхностью цилиндра или с помощью вспомогательных горизонталь ных плоскостей, пересекающих цилиндр по окружностям, а пирамиду — по правильным пятиугольникам.