книги из ГПНТБ / Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов

§22. Энергия внутренних напряжений упруго анизотропного кристалла,

содержащего когерентные включения новой фазы [155, 156]

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, фазовый пере­ ход, протекающий в состоянии, свободном от внутренних напря­ жений, приводит к изменению объема и формы превратившегося кристалла. Это изменение обусловлено перестройкой кристалли­ ческой решетки и может быть выражено через тензор однородной

деформации е?,-. Деформацию е?;- удобно отсчитывать от состояния, в котором находится матрица в отсутствие внутренних напряже­

ний. Таким образом, тензор описывает перестройку кристал­ лической решетки матрицы в кристаллическую решетку выделе­ ния, происходящую в отсутствие внутренних напряжений. В даль­ нейшем мы будем называть его тензором структурной деформации. Различия в объеме и форме области кристалла до и после превра­ щения являются причиной появления внутренних напряжений.

Пусть в бесконечной среде — матрице — находится ѵ типов включений, каждое из которых характеризуется своей деформа­

цией вij = Eij(p) (р = 1, 2, ..., ѵ), т. е. своей кристаллической ре­ шеткой, отличной от решетки матрицы. Примем, что постоянные упругости всех фаз, образующих гетерогенное состояние, одина­ ковы. В этом случае упругая энергия единицы объема может быть записана в форме

V

будет установлен ниже); Ѳр (г) — функция формы включений, рав­ ная единице, если радиус-вектор г попадает в какое-либо включе­ ние сорта р, и равная нулю в противоположном случае; индексы г, /, I, т описывают декартовы координаты. По дважды повторяю­ щимся индексам подразумевается суммирование. Деформация

&U, так же как и деформация (р), отсчитывается от состояния, отвечающего недеформированной (и ненапряженной) матрице. Выражение (22.1) представляет собой два первых неисчезающих члена разложения плотности свободной энергии по деформации еі;-. Коэффициенты этого разложения

V

2 °Ь (р) (г) и хШт р=і

являются константами материала. Разложение (22.1) ограничено квадратичными членами по деформации, так как учет членов бо­ лее высокого порядка вывел бы нас за рамки линейной теории'упругости. Присутствие в выражении (22.1) члена, линейного по де­ формации, отражает тот факт, что рассматриваемая система про­

200

странственно неоднородна и поэтому ее ненапряженное состояние не является недеформированным *). Иными словами, при Оц(г) = = О, где Oij(r) — тензор напряжения, егДг) ^ 0. Деформация Eij(r) в последнем случае оказывается равной одному из следую­

щих значений: е®,(1), Sy (2), ..., Sij(p), ..., e?j(v) в зависимости от того, во включение какого типа попадает вектор г. Если система является пространственно однородной и ненапряженное состоя­ ние является одновременно недеформированным состоянием, то

Пусть радиус-вектор г находится внутри включения p-то типа, находящегося в ненапряженном состоянии. Тогда, по определе­ нию, имеем следующие соотношения:

Ой (г) = 0, 'Ѳр(г) = 1, eitn = e?m(jtj).

Подставляя эти значения в (22.2), получим уравнение

(?) — nfilm[p)i (22.3)

которое, по существу, представляет собой определение постоян­ ных материала о%(р), фигурирующих в выражении (22.1), через

характеристики кристаллогеометрии фазового превращения ец (р). Воспользовавшись выражением (22.2), можно представить уравне-

Выражая деформацию еІт (г) через вектор смещения и (г):

подставим (22.4) в (22.3а). При этом получим:

При получении выражения (22.5) мы воспользовались симмет­ рией kijlm‘ = hijml-

х) Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место в теории термо­ упругих напряжений (см., например, [161]).

201

Уравнение (22.5) удобно решать с помощью преобразований Фурье:

где f( к) есть фурье-образ функции / (г), являющейся фурье-ори- гиналом, и к — волновой вектор — параметр преобразования Фурье. Умножая правую и левую части уравнения (22.5) на ехр(—ikr) и интегрируя по бесконечному пространству, получим:

V

В отличие от исходного уравнения (22.5), уравнение для фурьѳобраза и (к) является чисто алгебраическим и может быть легко решено. Уравнение (22.7) можно переписать в более компактной операторной форме:

где G-1 (к) и ои (р) — операторы, матричные элементы которых в

тензорном представлении есть "кілт kjkl и с\} (р ) соответственно. Решение уравнения (22.9) можно получить, умножая (22.9) на

оператор G (к), обратный оператору G-1 (к )*):

V

По определению, матричные элементы оператора G (к) явля ются фурье-образами тензора Грина анизотропной задачи теории упругости. Для того чтобы более детально определить структуру

оператора G (к), рассмотрим выражение для матричных элемен­ тов (компонент тензора) обратного оператора G_1(k):

x) ö (k) G-1 (k) = 1, гдѳ 1 — единичный оператор, или в матричных обозначениях [б (к)]н [Gr1 (k)];m = 6jm.

202

или в тензорных обозначениях й ;г(и)[й-1 (п)]і7- = бі;- Из выраже­

ния (22.14) следует, что оператор 6 (к) является однородной функцией |к|.

Воспользуемся теперь решением (22.10) уравнений теории уп­ ругости для вычисления полной упругой энергии среды. Полная упругая энергия может быть получена из выражения (22.1) для плотности упругой энергии в результате интегрирования ее по всему бесконечному пространству:

В соответствии с определениями (22.6) фурье-оригиналов через

фурье-образы заменим функции Ѳр (г) и е;Дг) в (22.15) через их фурье-образы:

^ r ) = ! i w 0 p ( k ) e i k r ’ <2 2 Л 6 )

где б (к + к') — дельта-функция Дирака, получим:

V

упр = $ tSf S 4 (р) % (к)*і«Г(к) + 4- (W A ) Sm(к)Щ (к)} .

'' L р=х

(22.18)

Подинтегральное выражение в (22.18) удобно переписать в опера­ торной форме:

203

Энергия Uупр в (22.20) отсчитывалась от педеформированного (ei7 (r) = 0), но напряженного состояния. Наоборот, ненапряжен­ ное состояние (3ij (г) = 0), от которого мы будем отсчитывать энергию внутренних напряжений, как уже отмечалось выше, яв­

ляется деформированным: е^(г), по определению, равно е?; (1), e ? j ( 2 ) , ..., е?; (р),..., е°- (ѵ), в зависимости от того, во включении какого типа находится вектор г. Чтобы из ненапряженного состо­ яния бц (г) = 0 создать недеформированное (но напряженное) со­ стояние, необходимо нодвергнуть каждое включение деформа­

ции —еу(1), —e ® j ( 2 ) , . . . , — г%{р), ..., — е?,(ѵ) соответственно в зависимости от типа этого включения. При этом полная энергия, затраченная на переход от ненапряженного к недеформированному состоянию, оказывается равной

где Ѵр — суммарный объем всех включений типа р. Таким обра­ зом, упругая энергия недеформированного состояния превышает упругую энергию ненапряженного состояния на величину (22.22). Поэтому выражение для полной энергии внутренних напряжений, отсчитанной от ненапряженного состояния, может быть получено из выражения (22.21) в результате прибавления к (22.21) разницы в началах отсчета между недеформированным и ненапряженным состояниями (22.22):

(22.23)

здесь Еа — упругая энергия, отсчитанная от ненапряженного со­ стояния.

Выражение (22.23) можно упростить, если воспользоваться тождеством

204

получить из цепочки равенств!

Так как в одной точке г не могут находиться два различных вклю­ чения типа р и q, то интеграл (22.25) отличен от нуля только в том случае, если р = q. Поэтому он может быть представлен в форме

Так как функция формы Ѳр (г) равна либо единице, либо пулю, то Ѳр (г) = Ѳр(г). Воспользовавшись этим обстоятельством, а так­ же тем, что нодинтегральная функция ограничивает пределы ин­ тегрирования объемом включения типа р, получим:

Следует обратить внимание, что при выводе формулы (22.28) для энергии внутренних напряжений нигде не использовалось предположение о том, что включения каждой фазы р являются одно­ связными (вся фаза р сосредоточена в одном включении). В об­

щем случае функция типа Ѳр (г) может описывать произвольное множество самых разнообразных односвязных включений типа р. Поэтому выражение (22.28) может быть использовано как для определения энергии внутренних напряжений отдельных вклю­ чений, так и для определения энергии внутренних напряжений систем включений. В последнем случае выражение (22.28) содер­ жит члены, зависящие от взаимного расположения включений и описывающие их упругое взаимодействие. Наконец, следует подчеркнуть, что выражение (22.28) не накладывает никаких ограничений на форму и взаимное расположение включений. Вся информация о деталях субструктуры гетерофазного кристалла оказывается заключенной в фурье-образы функций формы Ѳр (к).

Рассмотрим некоторые частные случаи использования выраже­ ния (22.28). Первым из них мы рассмотрим случай изолированного включения в упруго-анизотропной среде.

205

§ 23. Внутренние напряжения и форма изолированного когерентного включения [155]

Если мы имеем изолированное когерентное включение, то вы­ ражение для упругой энергии (22.28) упрощается:

где Ѳ (к) — фурье-образ функции формы Ѳ(г) изолированного включения, п = к/ к ,

еу — структурная деформация, которую претерпевает объем матрицы при превращении этого объема в фазу, из которой состо­ ит включение; при этом имеется в виду, что обе фазы находятся в свободном (ненапряженном) состоянии. По определению В (п) 0.

Интересно отметить, что функция |Э(к)|2 в теории рассеяния рентгеновских лучей называется интерференционной функцией Лауэ (см. (27.16)). Она равна

| Ѳ(к) |2 = | ^e~ikr d3r I

V

и описывает «размытие» узла обратной решетки, связанное с конеч­ ностью размеров рассеивающего кристалла (интенсивность рас­ сеяния рентгеновских лучей на расстоянии к от узла обратной ре­ шетки пропорциональна |Ѳ (к)(2).

где min Z?(n) — минимальное значение В ( п). Иснользуя следую­ щее из (22.24) тождество

Правая часть неравенства (23.3) дает нижнюю границу воз­ можных значений энергии внутренних напряжений для включения объема V. Таким образом, из неравенства (23.3) следует, что включение будет обладать минимальной упругой энергией, если его форма и ориентация (т. е. функция | Ѳ(к)|2) таковы, что нера­ венство (23.3) обращается в равенство. Легко видеть, что послед­ нее возможно, если функция | Ѳ (k)|2 в (23.1) отлична от нуля в об­ ласти обратного пространства, представляющей собой тонкий и

2 0 6

длинный стержень в направлении единичного вектора п = п„, для которого функция В (п0) принимает минимальное значение:

если включение заданного объема имеет форму бесконечно тонкой и бесконечно протяженной пластины, поверхность которой пер­ пендикулярна к вектору п0. Такилі образом, минимальной упру­ гой энергией обладают включения пластинчатой формы, поверх­ ность которых перпендикулярна к вектору п0, определяемому из уравнения (23.4). Последнее, следовательно, определяет габитус когерентных включений. Выражение для упругой энергии (23.1) в случае пластины можно переписать в форме

есть величина порядка DIL по отношению к основному слагаемо­ му, пропорциональному объему V, D — толщина, L — характер­ ная протяженность пластины, AB (п) = В(п) — min В (п).

Порядок величины АЕ можно определить с помощью следую­ щих качественных рассуждений. Функция AB (п), по определению, равна нулю для п = п0 и отлична от нуля лишь в меру отклоне­ ния вектора п от направления п0. Интегрирование в (23.6), по су­ ществу, производится в пределах стержня в обратном пространст­ ве, в котором подинтегральная функция отлична от нуля. Этот стержень перпендикулярен к плоскости пластины, его длина рав­ на 2я/D, а ширина 2n/L. Поэтому характерное отклонение векто­ ра п от направления п0 при интегрировании имеет порядок

Этот же порядок имеет и интеграл (23.6).

Точное вычисление интеграла (23.6) для пластинчатого вклю­

вектора п в плоскости пластины. Из формулы (23.7) следует, что упругую энергию АЕ можно интерпретировать как энергию ли­ нейного натяжения струны длиной 2я7?, коэффициент линейного

207

кристаллической решетки матрицы при фазовом превращении, то

ния (23.8) для коэффициента линейного натяжения с соответст­ вующим выражением, вычисленным для дислокационной петли, свидетельствует о том, что величину АЕ можно интерпретировать как энергию дислокационной петли, охватывающей пластинчатое включение по периметру.

Таким образом, энергия Еа внутренних напряжений, возни­ кающих при образовании пластинчатого когерентного включения

мирует объемную химическую свободную энергию (химической свободной энергией мы будем называть свободную энергию в от­ сутствие напряжений). Второй член, АЕ, можно интерпретировать как энергию дислокационной петли, охватывающей включение. Энергия АЕ связана с когерентным сопряжением торцов плас­ тины.

Особый интерес для дальнейшего представляет случай, когда объемный член энергии внутренних напряжений Ѵ2 В (n0)F об­ ращается в нуль. Такая ситуация возможна только в одном случае,

когда деформация есть деформация с инвариантной плоскостью (21.2). Подставляя (21.2) в (23.2) и пользуясь симметрией тензора Кціт относительно перестановки индексов (ЯгЛт = к1т1] = Ктц}) и определением (22.13), получим, что при n0 = m

Тот же результат получается, если п0 — 1. Таким образом, если структурная деформация есть деформация с инвариантной плоско­ стью, то возможны две габитусные ориентации пластинчатого

2 0 8

включения, при которых объемный член энергии внутренних на­ пряжений равен нулю. При этих ориентациях плоскость габитуса

Все результаты, полученные выше, справедливы в том случае, когда можно пренебречь вкладом поверхностной энергии. Роль поверхностной энергии будет заключаться в том, что она препят­ ствует «раскатыванию» включения в бесконечно тонкую и беско­ нечно протяженную пластинку. В общем случае, как уже ука­ зывалось в § 21, форма включения определяется конкуренцией между энергией упругих искажений, которая минимальна для бесконечно тонкой и бесконечно протяженной пластины, и энер­ гией поверхностного натяжения, которая, наоборот, минимальна для включения равноосной формы.

Выясним пределы применимости предположения о том, что форма включения определяется, в основном, из условия миниму­ ма упругой энергии.

Из формулы (23.7) следует, что упругая энергия пластинчато­ го включения пропорциональна его объему с точностью до малых

Член, ответственный за поверхностное натяжение, имеет порядок у і 2, где у — коэффициент поверхностного натяжения, L2 — ха­ рактерная площадь включения. В оптимальных условиях, когда сумма упругой и поверхностной энергии минимальна, упругая энергия АЕ имеет тот же порядок, что и энергия поверхностного натяжения:

Неравенство (23.11) можно упростить, введя характерную длину

209