книги из ГПНТБ / Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов

= у (р) и X — X (р) для а ]> 0,5 описывают по существу две раз­ личные формы включения. Одна из них изображена на рис. 41, в. Ей отвечает замкнутый контур Сх в плоскости (у, р), расположен-

220

отвечают более высоким значениям энергии АЕ, чем контур Clt и поэтому могут не рассматриваться.

Рассмотрим конкретные частные случаи, в которых функция у — у{х) может быть найдена явно.

Если а = 0, то уравнения (24.14) и (24.17) можно представить

Возводя каждое из уравнений (24.18) в квадрат и складывая их, получим уравнение

ставляется естественным. Из выражения (24.9) следует, что при ßx = ß2 функция б (т) не зависит от тп, т. е. коэффициент линейно­ го натяжения контура является изотропным (не зависящим от направления линии, ограничивающей включение по периметру). В этой ситуации выражение (24.6) для АЕ имеет вид

АЕ = Ь-Р

и, следовательно, зависит только от величины периметра Р. По­ следний вывод полностью предопределяет форму включения в плоскости габитуса: среди всех плоских фигур, имеющих оди­ наковую площадь, минимальным периметром обладает круг.

Явное выражение для контура у — у (х) может быть также по­

График функции (24.21), определяющей форму включения при а = 1/2, приведен на рис. 42 (контур 2). Включение имеет эллип­ сообразную форму с закругленными концами.

221

С увеличением параметра а включение приобретает все более вытянутую форму. Это утверждение можно проиллюстрировать зависимостью отношения максимального размера включения вдоль оси у (г/max) к максимальному размеру вдоль оси ж (#max) от пара­ метра анизотропии а. Из выражений (24.17) и (24.14) следует, что

Зависимость г/шах/ятах от а (24.22) приведена на рис. 43 (кривая а).

ладает игольчатое включение, не противоречит результатам пре­ дыдущего параграфа, где показано, что с точки зрения упругой энергии образование пластинчатого включения более выгодно, чем образование любого другого, в том числе и того, которое име­ ет игольчатую форму. Дело здесь заключается в том,что игольча­ тые включения, к которым мы пришли в настоящем параграфе, не являются игольчатыми в полном смысле этого слова: характерные, размеры такого включения связаны соотношением xmax Ушах

^ $ > D . И с т и н н о игольчатые включения имеют другое соотношение характерных размеров:

^max 3^ ^max ~ D,

222

При а ^ 1/2 включения в плоскости габитуса имеют закруг­ ленную форму. Интересная особенность проявляется при а />Jl/2: включения приобретают «острые» концы, расположенные на оси X (см. рис. 41, в, случай а = 0,9). Острота этих концов определя­

рис. 43 (кривая б). Как это следует из рисунка, предельно «ост­ рое» включение (ф = 0°) возникает при а —>- 1, когда последнее имеет форму бесконечно тонкой пластинчатой иглы. Следует, од­ нако, отметить, что, строго говоря, вблизи «острия» выражения (24.6) и (24.7) становятся неприменимыми. В этом случае необхо­ димо проведение более точного расчета величины у (т), в резуль­ тате которого на месте «острия» мы должны получить закругле­ ние, имеющее радиус кривизны порядка D. і

В заключение этого параграфа остановимся более подробно на ситуации, когда _вклад поверхностной энергии торцов (24.1) яв­

оси X — главной оси тензора ßj;-(n0). Однако в некоторых част­ ных случаях, а именно: когда вектор нормали к плоскости габиту­ са п0 направлен вдоль осей 3-го, 4-го и 6-го порядков, а тензор

структурной деформации, е°ц остается инвариантным относитель­ но соответствующих преобразований поворота вокруг этих осей, тензор ßjy (п0) имеет диагональную форму (это следует из сообра­ жений симметрии). Тогда ßx = ß2 и включение, следовательно, имеет форму кругового диска. В этом случае необходимо учесть анизотропные поправки, вносимые в форму кругового сечения дис­ ка анизотропией поверхностного натяжения на торцах включения.

Учет поверхностного натяжения (24.1) не приводит к принци­ пиальным изменениям теории: достаточно во всех выражениях за­ менить коэффициент линейного натяжения б (т) на коэффициент б + Z?y (m)- Эта процедура эквивалентна прибавлению энергии

223

поверхностного натяжения к энергии упругих напряжений (24.6). В зависимости от направления вектора п0 эффективная функция

линейного натяжения б (па) — б + Dy (ю) будет обладать соответ­ ствующей симметрией 3-го, 4-го или 6-го порядка относительно вектора п0. Можно показать, что в этом случае включения будут иметь форму не диска, а более сложных плоских фигур, обладаю­ щих соответственно симметрией 3-го, 4-го или 6-го порядка.

Подытоживая результаты, изложенные в предыдущих пара­ графах, можно видеть, что теория внутренних напряжений позво­ ляет объяснить все многообразие форм когерентных включений, наблюдаемых при структурных исследованиях.

Если справедливо соотношение |^ r0/L 5 3 1, где г0 — характер­ ная длина, определяемая равенством (23.12), то включения имеют

равноосную форму. Если У г0/Ь < ^1, то реализуется одна из пла­ стинчатых форм. Последние могут варьироваться в широких преде­ лах. Они определяются упругой анизотропией среды и структурной

деформацией г%. В зависимости от значений параметра анизотро­ пии а пластинчатые включения могут иметь форму диска (много­ угольника), вытянутой закругленной или игольчатой пластины.

§ 25. Энергия внутренних напряжений в макроскопически однородном конечном гетерофазном кристалле

Теория внутренних напряжений, развитая в §21, справедлива для систем включений, находящихся в бесконечной среде. Ниже мы рассмотрим макроскопически однородный конечный гетеро­ фазный кристалл. Для того чтобы определить, что мы имеем в ви­ ду под термином «макроскопически однородный гетерофазный кристалл», введем понятие физически малого объема. Назовем фи­ зически малым объемом такую область, характерные размеры ко­ торой существенно меньше, чем размеры кристалла, но сущест­ венно больше, чем размеры выделений. Определенный таким об­ разом физически малый объем содержит достаточно большое чис­ ло включений, чтобы в пределах его можно было бы произвести усреднение. Последнее позволяет ввести понятие концентрации вы­ деляющейся фазы. Концентрация выделяющейся фазы в точке г равна объемной доле выделяющейся фазы в физически малом объ­ еме, расположенном в точке г. Под макроскопически однородным состоянием мы будем понимать состояние, в котором концентра­ ция выделяющейся фазы постоянна по объему кристалла.

В тех случаях, когда суммарный объем, занимаемый частицами выделяющейся фазы, становится соизмеримым с объемом всего кристалла, необходимо принимать во внимание дополнительные эффекты, связанные с конечностью кристалла. Переход к моделиконечного кристалла требует изменения краевых условий задачи. Они должны отражать требование отсутствия сил, действующих на его внешние поверхности.

224

Для того чтобы установить взаимное соответствие между зада­ чами о внутренних напряжениях в конечном и бесконечном крис­ таллах, удобно начать с рассмотрения ситуации, когда конеч­ ный гетерофазный кристалл 2 когерентно связан с бесконечной однофазной матрицей. В этом случае мы приходим к рассмотрен­ ной выше задаче о внутренних напряжениях в бесконечной среде. Чтобы вновь вернуться к задаче о внутренних напряжениях в ко­ нечном кристалле 2 , произведем следующую последовательность операций:

1) Вырежем кристалл 2 из матрицы и приложим к его поверх­ ности внешние силы, равные тем силам, которые действовали на поверхность кристалла 2 со стороны матрицы до того, как он был вырезан. При этом кристалл 2 , естественно, сохраняется в том же состоянии, в каком он находился, будучи когерентно связанным с матрицей.

2) Снимем с поверхности кристалла 2 приложенные внешние силы, т. е. вернемся к интересующей нас ситуации свободного от внешних напряжений гетерофазного кристалла. Снятие внешних сил можно осуществить в результате приложения к каждому эле­ менту поверхности кристалла 2 дополнительной внешней силы, равной силе, действовавшей на этот элемент поверхности после завершения операции 1, и направленной противоположно ей.

Эти дополнительные силы обычно называют силами изображе­ ния. Приложение к поверхности кристалла 2 сил изображения приводит к дополнительной (по сравнению со случаем включения в бесконечной среде) деформации. Для рассматриваемого здесь макроскопически однородного гетерофазного кристалла дополни­ тельная деформация, связанная с силами изображения, также яв­ ляется однородной. Последнее обстоятельство — причина того, что взаимодействие включений через поле сил изображения не за­ висит от расстояния между ними и поэтому является сколь угодно дальнодействующим. Дальнодействующий характер взаимодейст­ вия включений через поле сил изображения был впервые отмечен в работе Зинера [164].

Для количественного описания внутренних напряжений в ге-

V

есть объемная доля фазы р (индекс р нумерует все выделяющиеся фазы, кроме матричной), Ѵр — суммарный объем, занимаемый р-й фазой. Из (25.4) следует, что

Характерные длины, на которых меняется неоднородная часть

деформации бе^(г) и неоднородная часть функции формы 6Ур (г), имеют порядок характерного расстояния между включениями. Так как размеры физически малого объема, по определению, су­ щественно больше, чем характерные расстояния между включе­ ниями, то мы можем производить усреднение в пределах физиче­ ски малого объема. В частности, производя усреднение выражения (22.2) для тензора напряжений, получим:

связано с макроскопической однородностью гетерогенного кристал­ ла '). Так как однородный гетерогенный кристалл находится в сво­ бодном (макроскопически ненапряженном) состоянии, то, поло­

жив в (25.7) ацакр = (г) = 0, получим уравнение для однородной деформации е^-:

hjlmZlm = 2 3°ij (Р) © (Р),

Р-=1

или, используя выражение (22.3), уравнение

V

2 e ?m (Р) W (Р )»

P = 1

‘) В тех случаях, когда гетерогенный кристалл макроскопически не­ однороден, локальная объемная доля фазы р, напряжения а“акр = ö{j(r)

и деформации ец зависят от координат г. Теория внутренних напряжений °Г/и'Р(г) в этом случае становится идентичной теории термоупругости (см., например, [161]).

226

из которого следует соотношение

Р—1

аналогичное правилу Вегарда для концентрационного расшире­ ния кристаллической решетки. Подставляя (25.1) и (25.4) в (22.15) и учитывая равенства (25.3) и (25.6), получим выражение для уп­ ругой энергии:

V

Из определения величин 6ЭР (г) следует, что они удовлетворяют тождеству

V

2 69р (г) = О,

р=0

из которого можно выразить величину б Ѳ0(г), описывающую мат­ рицу:

Упругая энергия (25.11), по определению, отсчитывалась от энергии недеформированного состояния матричной формы еі}-(г) = = 0. Интересующая нас энергия внутренних напряжений, напро­ тив, должна отсчитываться от ненапряженного состояния. Пере­ ход от выражения для упругой энергии, отсчитанной от недефор­ мированного состояния, к энергии внутренних напряжений, от­ считанной от ненапряженного состояния ац (г) = 0, полностью повторяет соответствующий переход от выражения (22.20) к (22.23). В результате для энергии внутренних напряжений получим:

8* 227

где

V

u z = U h [ - 2 o% (p) 6ѲР (г) + ± КіПт(,гі}(г) 6г1т(г)1 . (25.13)

"р=і

Для того чтобы вычислить энергию внутренних напряжений, необходимо подставить в (25.13) деформацию дец (г), являющуюся решением уравнения равновесия да# (г)/дг. = О.Так как

то уравнение равновесия (22.3а) можно переписать в виде

(25.14)

Вводя вектор смещения ѵ (г), связанный с неоднородной деформа­ цией Ь&ц (г) соотношением

к

где V (к) и бЗр (к) есть фурье-компоненты соответственно функций V (г) и бѲр (г) и выражаются через них с помощью равенств

V — объем всего кристалла. Вектор к в выражениях (25.17), (25.18) принимает дискретные значения, допустимые циклически­ ми краевыми условиями. Эти значения образуют квазиконтинуум, так как расстояние Ак между соседними точками к макроскопичес­ ки мало и имеет порядок Ак — Ѵ~''\ Сумму по квазиконтинууму можно заменить интегралом по к, если суммируемая функция

228

медленно изменяется на расстоянии порядка Ак — F-1'3:

сРк

(2я)э

к

(25.19)

Подставляя (25.17) в (25.16), получим уравнение для фурьекомнонент V (к):

Уравнение (25.20) аналогично уравнению (22.7). Совершая те же преобразования, что и в § 22, получим формулу, аналогичную фор­ муле (22.10):

Используя далее решение (25.21) уравнения (25.20), вычислим третье слагаемое в выражении (25.12). Вычисления полностью по­ вторяют соответствующие расчеты, приведенные в § 22 (см. формулы (22.15) — (22.21)). Они приводят к выражению

V V

Используя (25.25) в (25.22), получим:

р,а

Штрих над знаком суммы по к означает, что из суммы (25.26) иск­ лючено слагаемое, отвечающее к = 0. Подставим в выражение (25.26) представление функции Ѳр(к):

np

229