книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

ходим к выводу о том, что т <; р. Заметим при этом, что такое свой­ ство, как независимость строк (или столбцов) матрицы, характеризует только сами строки (или столбцы); оно не зависит от расположения строк (или столбцов) в матрице. Поэтому, если мы предположим, что независимы первые k строк (а также первые т столбцов), то это не ока­ жет никакого влияния на все выводы, предполагающие линейную не­ зависимость определенного числа строк (или столбцов) матрицы. Такое предположение позволяет упростить наши рассуждения. В матрице А выделим подматрицу, имеющую размеры k X т. В эту подматрицу входят элементы, находящиеся на пересечении k независимых строк и т независимых столбцов. Тогда А будет иметь вид:

где соответствующие и представляют собой векторы порядка k, a v — векторы порядка р — k.

Покажем, что к = т. Допустим, что столбцы подматрицы X линей­ но-зависимы, или, другими словами, что существует такой ненулевой набор чисел А,!, А2, ..., Хт, при котором

*

Тогда, поскольку первые k строк матрицы А (т. е. строки, образую­ щие подматрицу X) линейно-независимы, строки подматрицы Z пред­ ставляют собой линейные комбинации строк Х\ в таком случае суще­ ствует матрица К , такая, что оказывается справедливым следующее равенство:

160

Но из этого следует, что т столбцов матрицы А, входящих в подматри­ цы X и Z, зависимы между собой, что противоречит исходному усло­ вию. Следовательно, неверно предположение, что столбцы подматри­ цы X зависимы между собой и т векторов и независимы. Однако поря­ док векторов и равен k, поэтому в соответствии с теоремой 1 они могут быть независимы лишь в том случае, если т ^ к. Проведя аналогичное доказательство, можно показать также, что и k строк подматрицы X, каждая из которых насчитывает т элементов, независимы и, следова­ тельно, k ^ т. Поэтому k — т и число независимых строк в матрице

Аравно числу содержащихся в ней независимых столбцов.

6)РАСЧЛЕНЕНИЕ МАТРИЦ

Допустим, что строки матрицы Q представляют собой линейные комбинации строк матрицы Р, тогда существует такая матрица X, что справедливо равенство Q = ХР. Это вытекает из определения опе­ рации умножения матрицы на матрицу. Аналогичным образом, если столбцы матрицы R представляют собой линейные комбинации столб­ цов матрицы S, то существует такая матрица Y, что справедливо равенство R = SY.

Предположим, что в матрице MpXq ранга г независимы первые г столбцов и первые г строк. Тогда матрицу М можно представить в сле­ дующем виде:

Ho [C D] можно записать таким образом:

[С D] = А (р -л )Хг [А В] = [КА КВ],

и, следовательно,

К А КВ

Можно записать аналогичным образом:

В этом равенстве подматрица / имеет порядок г, подматрица К — размеры (р — г) х г, подматрица L — размеры rX(q — r), а А пред­ ставляет собой квадратную матрицу порядка г. Ранг матрицы М равен г, такой же ранг и у матрицы А. (Если бы ранг матрицы А не был ра­ вен рангу матрицы М, некоторые из столбцов А представляли бы ли­

нейные комбинации других столбцов, и, следовательно, в матрице ' А

КА

содержались бы не только те столбцы матрицы М, которые являются независимыми.) Из этого можно заключить, что существует А 1.

Вприведенном доказательстве предполагается, что первые г строк

ипервые г столбцов матрицы М независимы. Но ведь расположение

строк и столбцов в матрице может быть иным; в этом случае можно с помощью элементарных ^-операторов менять местами строки (и столб­ цы) М до тех пор, пока независимые строки (и столбцы) не займут на­ чального положения. Обозначим матрицу, получаемую в результате подобных преобразований, через N, а произведение соответствующих

Из сказанного можно сделать следующие выводы: если ЛКх? представ­ ляет собой матрицу полного строчного ранга г, тогда

причем существует А 1. Кроме того, существует (ММ')”1. Дело в том, что из соотношения (16) следует, что

ММ ’ = А (I + LL’)A’.

Предположим, что (/, + LL') не является матрицей полного ранга, тогда существует некая линейная комбинация ее столбцов, равная нулю, т. е. существует ненулевой вектор X, при котором

Каждое слагаемое в левой части равенства (18) представляет собой сум­ му квадратов, поэтому соотношение (18) может быть справедливым лишь в том случае, если X = 0, иными словами, если X — нулевой вектор. Но такой вывод противоречит предположению, которое было сделано при составлении равенства (17) и согласно которому X представляет собой ненулевой вектор. Следовательно, (/ + LL’) — это матрица полного ранга. Поэтому и ММ' — матрица полного ранга (| ММ' \ =

162

= | A | \I + LL'| | A'\ Ф 0, поскольку перемножаются ненулевые опре­ делители). Таким образом, мы доказали, что если М представляет со­ бой матрицу полного строчного ранга, то произведение ММ' имеет обратную матрицу. Аналогичным образом можно показать, что если некоторая матрица N представляет собой матрицу полного столбцо­ вого ранга, то и произведение N'N имеет обратную матрицу.

Полученными результатами можно пользоваться при доказатель­ стве многих теорем матричной алгебры. Например, если А представля­ ет собой матрицу полного строчного ранга, то из АВА = А следует, что АВ = I.

простым делом. Поскольку М = М ', между независимыми строками и остальными строками существует то же соотношение, что и между независимыми столбцами и остальными столбцами, следовательно, соотношение (15) принимает теперь следующий вид:

причем существует обратная матрица Л-1.

Приведение матриц к каноническому виду также предполагает их расчленение; нетрудно показать, в частности, что квадратная матрица полного ранга может быть представлена в виде произведения двух тре­ угольных матриц. Таким образом, если

Пусть А представляет собой квадратную матрицу полного ранга г = п\ тогда R = Р -1 и S = Q-1. В тех случаях, когда Р и Q — это нижние треугольные матрицы (т. е. все элементы, расположенные над диаго­ налью, равны нулю; см. параграф 6 главы I), такой же вид будут иметь и их обратные матрицы. В этом случае А = T’-1Q~1 представляет собой произведение треугольных матриц р - 1 и Q 1, точно так же A~X=QP.

т. е. она равна произведению нижней треугольной и транспонирован­ ной нижней треугольной матриц.

в) ЛЕВАЯ И ПРАВАЯ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

В параграфе 9 главы V уже кратко упоминалось о левом и правом обращениях прямоугольной матрицы. Было показано, что для матри­ цы Агхс не существует такой матрицы ВсХг, которая могла бы одно­ временно удовлетворять обоим равенствам: АВ = 1Г и ВА = / с. Рассмотрим условия, при которых оказывается верным одно из этих равенств. В соответствии с теоремой 3 соотношение А гХсВсХг = = 1Гможет иметь место только в том случае, когда ранг обеих матриц по крайней мере равен г. Аналогичным образом матрица DcXr, удов­ летворяющая соотношению Dcxr A rXc — I с, может существовать толь­ ко в том случае, если ранг матрицы А по крайней мере равен С.

Однако при г =f=с ранг А не превосходит наименьшего из двух чисел—

Упражнения

164

е) £ = £ - ! = £ ' , Я = Я ';

5. Выразите матрицы A, D и Е, приведенные в упражнении 4, в виде про­ изведения XY, где число строк множителя Y равно рангу матрицы.

Докажите справедливость следующих утверждений:

а) все миноры третьего и большего порядков матрицы А равны нулю; б) ранг матрицы А равен 2;

в) выберем две линейно-независимые строки; тогда любую из остальных трех строк можно выразить в форме линейной комбинации выбранных двух строк;

г) матрицу А можно следующим образом представить в виде произведения XY; размер матрицы X — 5 X 2, а матрицы Y — 2 X 4 :

165

10. Компания, которая объединяет четыре магазина, торгующие спортив­ ными товарами, должна установить единые цены на следующие товары: лыжи, лыжные палки, ботинки, крепления. Объем предполагаемых продаж по различ­ ным магазинам указан в приводимой матрице; по строкам в ней группируются данные, относящиеся к различным товарам (в том порядке, в каком они перечис­

166

лены в начале упражнения), а по столбцам — данные, относящиеся к различным магазинам,

'1 2 3 2 ^

Предполагается, что объем продаж не зависит от цены товаров. Общая выручка от продажи товаров по четырем магазинам должна составить соответственно 2 0 0 ,

где Yt обозначает национальный доход, gt — правительственные расходы, Ct — потребительские расходы, /* — производные частные инвестиции, а индекс t характеризует период времени, к которому относятся указанные величины*.

* Характеристику употребляемых в западной экономической литературе тер­

167

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ VI1 И ОБОБЩЕННОЕ

ГЛАВА ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ

Мы видели, что линейные уравнения, содержащие несколько неизвестных величин, могут быть следующим образом представлены в матричной форме: Ах = у, где х представляет собой вектор неизвест­ ных величин, у — вектор известных нам значений и А — матрицу коэф­ фициентов. Эта форма записи (Ах =у) относилась в нашем изложении лишь к тем случаям, когда число уравнений равно числу неизвестных. Тогда А представляет собой квадратную матрицу; если А — матрица полного ранга, тогда существует А~х и, следовательно, решением сис­ темы будет х = А^у. Однако до сих пор еще не рассматривался слу­ чай, когда А представляет собой квадратную матрицу неполного ранга. Не рассматривалась также следующая возможность: число уравнений не равно числу неизвестных величин, и А представляет собой прямо­ угольную матрицу. Любая из перечисленных трех возможностей пред­ ставляет собой просто частный случай при более общей постановке задачи, когда требуется разрешить систему, состоящую из р уравне­ ний с q неизвестными. Эту задачу можно записать в следующей форме:

A p x q X q x l ~ Урх Ь

причем ранг матрицы А равен г. Если р = q = г, А представляет собой квадратную матрицу полного ранга; если р = q я г ф р, А — квад­ ратная матрица неполного ранга; если р ф q, А — прямоугольная матрица (причем г не превышает меньшего из двух чисел р и q).

В этой главе мы рассмотрим решение общей задачи A pxq X xgXi = = урХ\. Если А представляет собой квадратную матрицу полного ранга, решением системы будет х = А~1у, если же А — квадратная матрица неполного ранга или прямоугольная матрица, тогда не суще­ ствует обратной матрицы Л -1. Тем не менее, если выполнены определен­ ные условия, решение системы все же может быть найдено. В этой гла­ ве будут рассмотрены указанные условия; мы покажем, почему удовле­ творение этих условий обеспечивает решение системы уравнений. Затем будут изложены более совершенные методы решения уравнения Ах = у, основывающиеся на обобщенном обращении матрицы Л;

169