книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Точно так же и систем главных координат может быть несколько. Однако все системы главных координат отличаются друг от друга не по своему физическому смыслу, а лишь постоянными множителями

Фх, Фг. • • • . фт ;

бхфх, M b . . . . £т Фт>

где kv k 2, . . . , km — любые числа.

Указанное отличие одних главных координат от других несущест­ венно, так как оно аналогично переходу от одних единиц измерения к другим (например, от сантиметров к миллиметрам, метрам и т. д.). Учитывая эту оговорку, можно считать, что система главных коорди­ нат единственная.

Вопрос о разыскании главных координат, физически присущих системе, математически сводится к замене выбранных более или ме­ нее произвольно координат ф1; <р2, . . . , <рт другими координатами, превращающими два однородных полинома второй степени (2.5) и (2.8), т. е. кинетическую и потенциальную энергии, в суммы, не содер­ жащие произведений. Эта операция всегда возможна, однако по тру­ доемкости эквивалентна решению задачи в обобщенных, а не в глав­ ных координатах. Поэтому, если не удастся сразу подметить, что, должны представлять собой главные координаты, решение выполняют в обобщенных. При этом решение в обобщенных координатах неиз­ бежно приведет к решению в главных координатах, из которых только и могут быть составлены всякие другие координаты, как это видно из выражений (2.12а), в которых первые слагаемые в правых частях пропорциональны первой главной координате, вторые — второй и т. д. Вскрыть физический смысл какой-нибудь главной координаты можно, полагая все главные координаты, кроме одной, равными нулю или выбирая начальные условия так, чтобы в выражении (2.12а) все сла­ гаемые, кроме соответствующих интересующей нас главной коорди­ нате, отсутствовали.

Теорема Рэлея. В заключение раздела о свободных колебаниях приведем без доказательства одну из теорем Рэлея, которая может в некоторых случаях облегчить разыскание собственных частот. Тео­ рема эта формулируется так: истинные формы главных колебаний си­ стемы обращают соответствующие им частоты в относительные экс­ тремумы.

Из теоремы вытекает важное для практики следствие. Поскольку вблизи своих экстремальных значений всякая функция изменяется медленно, допустимо, вместо точных форм главных свободных коле­ баний, которые для сложных систем иногда бывает трудно опреде­ лить, брать приближенные, так как это не вносит существенных ошибок.

П р и м е р . Определить собственные частоты колебаний двухмассовой си­ стемы, показанной на рис. 19, пренебрегая сопротивлениями и считая, что воз­

80

Если принять за обобщенные координаты величину опускания большой массы (фх) и величину удлинения пружины (<р2), то потенциальная энергия будет равна

u = - L n ^ + ± n24 .

81

При специальном выборе начальных условий могут иметь место либо коле­ бания низкой частоты Х1( при которых обе массы сдвигаются в одну сторону от положения равновесия (например, сначала обе вниз, затем обе вверх), причем

высокой частоты Х2, когда массы сдвигаются в противоположные стороны от равновесного состояния, причем амплитуды колебаний малой массы в ее абсо­ лютном движении 1 — 0,84 = 0,16 много меньше амплитуд колебаний большой массы 0,84.**

Каждое из описанных колебаний является главным.

§ 7

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Общее решение. Пусть в системе с т степенями свободы в какойлибо точке ее приложена гармоническая возмущающая сила F cos со/.

Давая согласно формуле (2.4) последовательно каждой из обоб­ щенных координат приращение бф;- и определяя работу, произведен­ ную силой F cos со/ на соответствующем перемещении, можно опреде­

Величины P j зависят от амплитуды F возмущающей силы, точки

ееприложения и выбора обобщенных координат.

*В этом случае, по существу, колеблется только малая масса и частота близка к частоте колебаний малой массы в предположении, что большая непо­

частоту.

82

Если бы к системе было приложено несколько гармонических сил, влияние каждой из них можно было рассмотреть отдельно и резуль­ таты воздействия всей совокупности сил получить суммированием отдельных влияний. Точно так же можно поступать, если заданная периодическая возмущающая сила — не гармоническая; в этом слу­ чае указанную силу следует разложить в гармонический ряд. По­ этому, не уменьшая общности постановки задачи, будем считать, что на систему действуют обобщенные силы (2.21) одной общей для всех них частоты со.

Если при определении частот свободных колебаний можно было пренебречь сопротивлениями, то при изучении вынужденных колеба­ ний, особенно вблизи резонансов, необходимо учитывать и силы сопро­ тивления колебаниям.

При учете сил сопротивления колебаниям удобно ввести функцию

частные производные которой по обобщенным скоростям, взятые со знаком минус, являются обобщенными силами сопротивления

Первая часть обобщенной силы обусловлена силами упругости и

обобщенной силы, обусловленная возмущающими силами (2.21). Подставив (2.24) и (2.23) в (а), получим

Подставив в это уравнение выражения для кинетической энергии К, функции рассеивания V и потенциальной энергии П по формулам

(2.5), (2.8) и (2.22), получим

k = \

или, при гармонических возмущающих силах (2.21),

т

k —\

83

Уравнение (2.26) или (2.27) есть /-е уравнение системы совокуп­ ных дифференциальных уравнений второго порядка, в каждое из ко­ торых входят в общем случае все неизвестные функции ц>к и все их первые и вторые производные.

Входящая в уравнения (2.26) или (2.27) обобщенная сила сопро­ тивления (2.23) при решении конкретных задач обычно получается непосредственно, а не через производную от функции рассеивания. Функция рассеивания является определенно положительной и, как правило, не содержит слагаемых с произведениями скоростей (т. е. все Rik = 0 при / ф k).

Применение уравнений Лагранжа не является единственным спо­ собом составления дифференциальных уравнений движения. В неко­ торых случаях (особенно когда вычисление коэффициентов жесткости Njk и потенциальной энергии оказывается громоздким) с успехом мо­ жет быть использован принцип Даламбера (см. §8 и приведенный ниже на с. 92 пример).

Что касается характера сил сопротивления, то, как мы видели при рассмотрении системы с одной степенью свободы, внутреннее со­

случае следует добавить величину, учитывающую внутреннее (гисте­ резисное) сопротивление

n I ^ikNjk

Решение уравнения (2.27) будем искать в виде частных интегралов

где ak, bk — постоянные, подбираемые так, чтобы система уравнений (2.27) удовлетворялась тождественно. Подставив (2.28) в (2.27), по­ лучим, учитывая и гистерезисное сопротивление

Чтобы последнее выражение было справедливо для любого момента времени, необходимо

Система 2m неоднородных алгебраических уравнений с 2т неиз­ вестными * alt а 2, . . . , ат, Ь1г Ьг, . . . , Ьт позволяет найти все эти

Уравнения (2.29) представляют /-ю пару уравнений системы.

84

параметры, а следовательно, по формулам (2.28) все обобщенные ко­ ординаты.

сопротивление считать отсутствующим, а коэффициент неупругого сопротив­

скание массы М± и ср2 — увеличение расстояния между массами.

Давая последовательно координатам приращения 6q>i и 6<р2, найдем обоб­

и, следовательно, все 12 величин, входящих в систему (2.29), равны

См. пример на с. 81.

85

= — 0,089 cos at + 0,376 sin at = 0,387 cos (at -f- 103°);

Ф2 = — 1,877 cos at + 9,555 sin at = 9,73 cos (at + 101°).

Итак, большая масса колеблется с амплитудой 0,387 см, а малая—с ампли­ тудой 9,73 см. Обе массы колеблются примерно в одной фазе (обе вниз, затем обе вверх и т. д.), т. е. «форма» колебаний соответствует колебаниям низкой частоты

(с. 82), что вполне естественно, так как частота возмущающей силы (со = 5 с-1 )

близка к низкой частоте собственных колебаний (Я-i = 1^24).

Ввиду близости к резонансу с низкой частотой сопротивление довольно сильно (в пять раз) снижает амплитуду. Без учета сил сопротивления мы полу­ чили бы

фх == — 2 cos at и ф2= — 50 cosat (см)**

§ 8,

ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ

Общее решение в матричной форме. В качестве иллюстрации ре­ шения без применения уравнений Лагранжа рассмотрим собственные и вынужденные колебания упругой невесомой балки с сосредоточен­ ными массами (рис. 20).

Выберем за обобщенные координаты перемещения масс вниз от положения равновесия фа, ф2, . . . , <р/, <-. . , фт .

На балку в местах расположения сосредоточенных масс действуют даламберовы силы инерции, силы сопротивления и, в случае вынуж­

*У второго и четвертого уравнений сменены знаки, чтобы система стала канонической.

**Амплитуда колебаний верхней массы равна 2 см, а нижней (поскольку

через ф2 было обозначено удлинение нижней пружины) —52 см.

86

Перемещение j-й массы под действием указанных сил равно

только одну обычно можно считать отличной от нуля;

87

В коэффициенты сопротивления Rk можно включить также и внут­ реннее сопротивление, и, как было установлено, внутреннее сопротив­ ление можно также при гармонических колебаниях считать пропор­ циональным скорости перемещения (см. с. 84).

Входящие в уравнение (2.31) коэффициенты податливости опреде­ ляются для рассматриваемой балки как прогибы под действием еди­

где Л4;изг, М Г — изгибающие моменты по длине балки от единичных усилий, приложенных в точках / и k.

Решение уравнения (2.31) в случае гармонических возмущающих сил (2.30) можно искать в форме

«Речной транспорт», 1958, с. 170. Для простейших балок б/к могут быть взяты из таблиц, помещенных в этой же книге, с. 194 и следующие.

*** То же, с. 166.

88

или в развернутом виде

Фх = ах cos соt + Ьгsin a t; ф2= а2cos со^ + b2sin со/;

(2.32a)

Фа= я* cos at + bk sin cot;

ц>т= amcos (at + bmsin (at.

Подставив (2.30) и (2.32) в (2.316), приравняв выражения с одина­ ковыми тригонометрическими функциями и сократив на скалярные множители cos (at и sin сat, получим систему 2т неоднородных алге­ браических уравнений относительно аъ а2, . . . , ат, blt Ь2, . . . , Ьт

(Е—АМа 2) а + A R ( a b = А Р ' ,

(2.33)

— A R ( a a + ( £ — АМа 2) b = А Р ",

которая в развернутом виде может быть представлена следующим об­ разом:

(1 - б пМ 1(о2) а 1- б 12М2(о2а2- • • • - М * « ® 4 , +

тт

89