книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Итак, выражения (1.55) и (1.55а) определяют отклонение массы в любой момент времени под действием произвольно меняющейся воз­ мущающей силы. При выводе формул (1.55) и (1.55а) предполагалось, что в начальный момент масса находилась в равновесном положении

и не имела скорости (ср0 = ср0 = 0 при t — 0). Если бы масса имела начальные отклонение и скорость, необходимо было бы к правым ча­ стям выражений (1.55) и (1.55а) добавить член по выражению (1.9); например, вместо (1.55) мы получили бы

Ф (t) — e~ri ^ф0 cos kxt + Ф°-- sin Я]/j -f

е—ft t

+ —:— J erxf (x) sin Ях (t—x) dx. A1 о

При приближенном взятии интегралов следует весь изучаемый от­ резок времени разбить на я равных интервалов времени At и заменить интегрирование «суммированием с переменным верхним пределом». Такой порядок суммирования дает, как известно,* удвоение, и потому для любого момента времени t,- = jAt вместо (1.55а) получим

личной форме,** но гораздо удобнее прибегнуть к вычислениям на ЭЦВМ. Расчет настолько несложен, что даже на небольшой машине «Проминь» требуется всего 47 команд.***

Если сопротивление отсутствует, достаточно в формулах (1.55) и (1.55а) положить г = 0. При этом для нулевых начальных условий получим в интегральной форме следующее решение:

**См. В. В. Д а в ы д о в , Н. В. М а т т е с. Динамические расчеты прочности судовых конструкций. М., «Транспорт», 1965, с. 40.

***Программа ГИИВТ Д-1 «Интегрирование дифференциального уравне­

ния Л4ф + Л<р + Мр = Р (t) при М, R, N — постоянных».

В связи с небольшой памятью этой машины число моментов времени огра­ ничено 60-ю.

50

При приближенном же взятии интегралов вместо (1.57а) получим

Как и ранее, если начальное отклонение и начальная скорость не равны нулю, к выражениям (1.57) — (1.58) необходимо добавить

Качественный анализ действия произвольно меняющейся силы по­ зволяет сделать вывод о том, что если продолжительность действия внешней силы, возрастающей от нуля до максимума и затем убываю­ щей до нуля, мала по сравнению с периодом свободных колебаний си­ стемы, то отклонение и дальнейшее колебание системы около положе­ ния равновесия после прекращения действия силы определяется ве­ личиной импульса силы за полное время ее действия и не зависит от наибольшего значения силы или характера ее изменения.

Под действием импульса 5 масса получит скорость

и движение согласно формуле (1.59)

Формула (1.60) является точной при мгновенном импульсе (Т -* 0), но ею можно пользоваться с ошибкой в безопасную сторону и при не очень кратковременном действии силы. Анализ показывает, что фор­ мула (1.60) преувеличивает отклонение не более чем на 5%, если про­ должительность импульса менее одной шестой периода собственных

колебаний: Т <. — .

6

Как будет показано ниже, если время нарастания силы, которая затем остается постоянной, достаточно продолжительно и превышает шесть периодов собственных колебаний 7»>6т, нагрузку можно рас­ сматривать как статическую и отклонение вычислять по формуле

_ Р

Фмакс — pj •

Между этими двумя крайними случаями заключены все остальные, для которых необходимо выполнять подробные динамические расчеты.

Мгновенное приложение постоянной силы. Рассмотрим случай мгновенного нарастания силы, которая некоторое время Т остается постоянной, а потом мгновенно же исчезает (рис. 15).

51

Считая, что масса вначале находилась в равновесном состоянии в покое (фо = Ф0 = 0 при t = 0) и не учитывая сопротивления, от­

клонение массы для периода действия силы получим по уравнению

р

жения может быть получено из того же уравнения (1.57) при значении верхнего предела интеграла, равном Т

Уравнение (1.61а) показывает, что колебания продолжаются после прекращения действия силы с той же собственной частотой %, но около

52

отклонение может достичь двух статических (коэффициент динамич­

ности равен двум). При 7 < - j - отклонения всегда будут меньше 2аст.

Сила, линейно возрастающая и остающаяся далее постоянной.

Пусть сила, действующая на находившуюся в покое (ср0 = ср0 = 0) массу, возрастает по линейному закону в течение промежутка вре­ мени Т

Р —Р 0~^г при ^ < 7 \

а затем остается постоянной и равной Р 0 (см. пунктирную линию ОАВ

на рис. 1,6).

В этом случае до t = Т, пренебрегая сопротивлением, согласно

(1.57), имеем

Ф = — с Р0 — sinh(t—x)dx.

В период нарастания силы движение представляет собой наложе­ ние колебаний с собственной частотой К на возрастающее пропорцио­ нально силе отклонение.

Для t > 7 можно получить

После того как сила достигла своего максимального значения и остается постоянной, движение представляет собой гармоническое колебание с частотой К около отклоненного на астположения равно­

Максимальным и равным двум этот коэффициент будет в случае мгновенного нарастания силы, т. е. когда Т 0. Во всех остальных случаях коэффициент динамичности меньше двух и весьма сильно

53

зависит от величины Т. Если точное значение Т, как это часто бывает на практике, неизвестно, осторожнее коэффициент динамичности при­ нять равным

Формула (1.62) справедлива, конечно, только при условии, что вычисленный по ней коэффициент динамичности будет меньше двух,

т. е. при

Формула (1.62) позволяет сделать весьма важный вывод о влиянии времени нарастания нагрузки на коэффициент динамичности, а именно:

с ошибкой, не превышающей 5%, нагрузку можно рассматривать как прилагаемую статически, если время ее нарастания Т раз в шесть

иболее превышает собственный период колебания системы т.

Действительно, коэффициент динамичности при этом будет не

более г } = 1 + — = 1,05, и, следовательно, деформации, напряжебя

ния и другие параметры колебательного процесса будут отличаться от статических не более чем на 5%.

Этот вывод, полученный для системы с одной степенью свободы, справедлив, как правило, и для сложных систем с несколькими сте­ пенями свободы, и для упругих конструкций с бесконечно большим числом степеней свободы, только под т следует в этих случаях пони­ мать низшую из собственных частот системы.

Та же задача о линейно возрастающей силе, а затем сохраняющей постоянное значение, может быть решена и при учете сопротивления. Для этого следует воспользоваться формулами (1.55) или (1.55а), но для конкретных числовых данных проще воспользоваться ЭЦВМ с про­ граммой применительно к формуле (1.56). Ординаты кривой на рис. 1,6 получены на машине «Проминь» по следующим исходным данным:

М = 1,2 т = 0,0012 кН -с2/мм; N = 0,2 кН/мм; г = 1 с-1; Р 0 =

=1,4 кН; Т = 0,25 с.

Всоответствии с этими данными

54

Падение груза на балку. Определим движение груза массой 1000 кг, если он падает на показанную на рис. 7 невесомую балку с высоты 0,1 м. Будем считать, что сопротивление отсутствует.

Движение можно разделить на два периода: период падения, когда груз двигается равноускоренно, и период после соприкосновения груза с балкой. Скорость в момент удара груза о балку, как известно, равна

]/^2gh 2-9,81 -0,1 =1,40 м/с.

Если для второго периода отсчитывать время от момента соприкос­ новения груза с балкой, то движение груза после удара должно быть подчинено уравнению

Л4ф = Р — Мр,

поскольку на массу, кроме силы веса, действует еще и реакция пру­ жины — Nср. Последнему дифференциальному уравнению можно при­ дать вид

ф-f Х2ф = £

иприменить для его решения формулу (1.57а), полагая в ней / (t) = g. Учитывая начальные условия движения по уравнению (1.59), в кото­

и соответствует силе, во столько же раз превышающей вес груза

МРмакс= 1 >536-0,0427 = 65,5 кН [6,7 тс].

Если бы требовалось найти лишь наибольшее отклонение, а не урав­ нение движения, то можно было бы приравнять работу опускания груза Р энергии прогнувшейся балки

Р{h-\- фмакс) = — Л/ф2акс

ирешить квадратное уравнение относительно фмакс.

55

В случае, если бы та же задача решалась для балки, жестко заде­ ланной по концам, частота Кдля нее была бы вдвое больше (поскольку жесткость iV в 4 раза больше), отклонение, обусловленное ударом, приблизительно вдвое меньше (0,0196 м), сила, соответствующая от­ клонению, приблизительно вдвое больше (120 кН), а изгибающие мо­ менты и напряжения лишь немного меньше. В динамическом отноше­ нии обе конструкции оказываются приблизительно равнопрочными, тогда как при статическом нагружении жестко заделанная балка вдвое прочнее.

§ 5

ЭНЕРГИЯ

Вряде рассмотренных задач о колебаниях вносились допущения

сцелью упростить решения и свести более сложную задачу к простой задаче о колебаниях системы с одной степенью свободы. Так, рассмат­ ривая колебания тяжелого груза на балке (см. рис. 7), мы пренебре­ гали массой самой балки, не учитывали массу спиральных пружин (см. рис. 4, б и 11) и т. п. Подобные упрощения во многих случаях за­ кономерны и не вносят существенной погрешности. Однако иногда необходимо точнее решить задачу или хотя бы оценить возможную по­ грешность от принятых допущений. Сделать это можно путем рассмот­ рения энергии колебаний и энергетических зависимостей. Учет при решении задач энергии колебаний позволяет иногда проще получить собственные частоты системы или приближенно учесть некоторые факторы, которые на базе дифференциальных уравнений точно учесть вообще невозможно. Изучение энергии колебаний дает возможность осветить такие явления, как стремление системы задержаться на ре­ зонансе или различие в максимальных амплитудах при прохождении резонанса с постепенным возрастанием и снижением мощности источ­

ника вибрации. Системы с несколькими степенями свободы иногда можно на основе энергетических соотношений свести с известной сте­ пенью приближенности к простейшей системе с одной степенью сво­ боды.

Энергия колеблющейся массы состоит из кинетической энергии движения, равной половине произведения массы на квадрат скорости, и потенциальной энергии, которую будем считать в положении стати­ ческого равновесия равной нулю.

Как известно, жесткость N упругой связи есть коэффициент про­ порциональности между ее деформацией <р и возникающей при этом ее реакцией Р = iVcp. Потенциальная энергия, равная по абсолютной величине работе внутренней силы при ее статическом нарастании,

ния жесткости упругой связи на квадрат отклонения массы от поло' жения равновесия. Поэтому полная энергия равна

Э = — Л4ф2 + — Уф2 2 ^ 2

56

если учесть, что, согласно (1.4), N = Х2М.

Для крутильных колебаний под М, ср, N и <р следует понимать мо­ мент инерции массы, угловую скорость, жесткость при кручении и угол закручивания соответственно.

Формула (1.63) справедлива для любых колебаний — как собст­ венных, так и вынужденных.

В моменты крайних отклонений, когда ф = 0, остается только по­

тенциальная энергия МХ2ср2; в моменты прохождения через равно­

2

весное положение, т. е. при ф = 0 — только кинетическая.

При отсутствии сопротивлений эти энергии равны, так как накоп­ ление потенциальной энергии к моменту крайнего отклонения проис­ ходит только за счет расходования равного запаса кинетической энер­ гии, имевшегося в момент прохождения через равновесное положение. В любой другой момент времени сумма потенциальной и кинетической энергий остается неизменной.

При наличии сопротивления собственные колебания затухают и энергия их непрерывно, но неравномерно уменьшается. В периоды относительно больших скоростей происходит интенсивная затрата энергии на преодоление сопротивлений и резкое падение энергии; на участках с малыми скоростями (когда масса меняет направление дви­ жения) падение суммарной энергии незначительно.

При отсутствии сопротивления раз возбужденные колебания про­ должались бы неопределенно долгое время и для их поддержания не требовалось бы затраты энергии. Следовательно, энергия, затрачивае­ мая на установившиеся вынужденные колебания при наличии сопро­ тивления, полностью идет на преодоление этого сопротивления и по абсолютной величине равна работе сил сопротивления.

- Мощность, необходимая для поддержания колебаний. Определим работу сил сопротивления за один период установившихся вынужден­ ных гармонических колебаний, происходящих в соответствии с урав­ нением

Сила внешнего сопротивления, пропорциональная скорости Rep —

— 2гМц> на элементарном пути dep = epdt, совершает работу

—2rMepdep = —2rMep2dt,

авеличина работы возмущающей силы, затраченной на преодоление силы внешнего сопротивления, будет отличаться от нее лишь знаком.

57

За полный период колебаний, учитывая, что ф = —a©sin-=^- за

траченная работа будет равна

Работа, необходимая для преодоления сил внутреннего сопротив­ ления, равна за один цикл площади гистерезисного эллипса (см. рис. 8)

cos a

или, учитывая, что фмакс есть амплитуда колебаний а и что согласно (1.14) АРмакс = иРмакс = xNa, получим

W2(т) = псРЫк.

Наконец, на преодоление силы Q сухого трения необходима работа

UMt) = 4aQ.

Суммарная работа равна

W (т) = W1+ W 2 + W3^ а2Мп(л2 + ncPNn + 4aQ.

Последнему выражению после несложных преобразований можно придать вид

W = nh!(2- ^ - + %+ Л - ) а*.

Средняя мощность, т. е. работа, отнесенная к единице времени,

Найдя динамическую амплитуду колебаний а по формулам (1.30) или (1.31), можно определить по последней формуле (1.64) и мощность. В случае отсутствия сухого трения и постоянной амплитуды возму­ щающей силы получим

а когда амплитуда силы пропорциональна квадрату частоты, средняя мощность равна

2га

58

Прохождение через резонанс. При разгоне машины, вызывающей возмущающие силы и вынужденные колебания конструкции, ее число оборотов и мощность постепенно повышаются. Когда частота возму­ щающих сил окажется близкой к собственной частоте колебаний кон­ струкции, наступает явление резонанса — резкого увеличения ам­ плитуд вынужденных колебаний. После прохождения резонанса, как мы видели (см. рис. 10), амплитуды вынужденных колебаний умень­ шаются.

Когда нормальный эксплуатационный режим работы машины на­ ходится в зарезонансной области и достаточно далек от резонанса, опасности при прохождении резонанса не возникает, если это прохож­ дение осуществить достаточно быстро. Значительные амплитуды не успевают развиться.

Однако, если режим полного хода машины лишь незначительно выше резонансного, то прохождение через резонанс становится за­ труднительным; машина «стремится» задержаться на резонансе, вво­ димая для повышения числа оборотов мощность расходуется не на повышение оборотов, а на увеличение амплитуд колебаний, т. е. на усиление вибрации. Мощности может и не хватать для прохождения через резонанс, но, если резонанс все же будет пройден, то это про­ хождение сопровождается обычно резким скачкообразным увеличе­ нием числа оборотов.

То же явление происходит и в случае, если режим нормального полного хода машины лишь немного ниже резонансного и требуется перейти на форсированный режим, находящийся в зарезонансной об­ ласти.

Авторы лично наблюдали на одном из судов с паровой машиной особенно яркий случай прохождения резонанса крутильных колебаний коленчатого вала паровой машины. По мере открытия паровпускного клапана машина соответственно увеличивала число оборотов. Однако при приближении к резонансному числу оборотов (180 в минуту) по­ вышение числа оборотов начало замедляться, а затем и почти совсем прекратилось. Дальнейшее непрерывное открытие клапана, увеличи­ вающее поступление пара в машину и ее мощность, практически не сопровождалось повышением числа оборотов, а лишь вызывало уси­ ление вибрации самой машины, ее фундамента и валопровода. Вибра­ ция стала настолько сильной, что контуры неподвижных частей ма­ шины потеряли четкость, начали казаться расплывчатыми и мутными. Паровой клапан продолжали медленно, но безостановочно открывать. Внезапно число оборотов машины резко увеличилось (до 230 в минуту), вибрация прекратилась и машина снова начала работать нор­ мально.

При постепенном снижении числа оборотов машины явление про­ текало не просто в обратном порядке, а иначе. Машина устойчиво ра­ ботала при 220, 210, 200 об/мин — при тех самых оборотах, на кото­ рых машина не задержалась в процессе их повышения. При снижении оборотов снова наблюдалась повышенная вибрация машины, однако амплитуды колебаний не достигали значений, наблюдавшихся при раз­ гоне машины.

59