книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Каноничность полученной системы уравнений достигается умножением пер­ вого из них на два. Вычисляем по формуле (6.12) входящие в уравнения коэффи­ циенты податливости

239

Аналогично вычислены и остальные коэффициенты,* записанные ниже в том же порядке, в котором они входят в уравнения (а), только увеличенные в 1 0 * раз,

Подставив Р = 1000 кгс, получим амплитуду колебаний рассматриваемой точки, равную 0,203 см.

Энергетический метод. Расчет перекрытий методом приравнивания прогибов при большом числе узлов пересечения балок, в особенности, если учитывать сопротивления, а это бывает необходимо при колеба­ ниях вблизи резонансов, достаточно громоздок.

Ниже излагается приближенный метод расчета нерегулярных пе­ рекрытий, т. е. перекрытий с различными балками, расположенных на различных расстояниях, основанный на подборе функций формы

* Тригонометрические и гиперболические функции, входящие в выражения коэффициентов, равны

240

колебаний, близких к действительным, с применением в дальнейшем аппарата Лагранжа.

мую с одной стороны водой (днищевое перекрытие). В общем случае метод может быть применен к перекрытию с балками, сечение и масса которых меняется по их длине, однако в дальнейшем мы будем счи­ тать балки призматическими — с неменяющимися по длине жестко­ стями и интенсивностями масс. Учет непризматичности, не нарушая идеи метода, вызывает лишь дополнительные вычисления.

Введем следующие обозначения:

mf и If — интенсивность распределения массы по длине и мо­

должны быть выбраны близкими к действительным и удовлетворять граничным условиям на кромках перекрытия. В частности, можно принять функции формы в виде произведений двух функций

причем каждую из них выбрать в виде формы колебаний призматиче­ ской балки с соответствующими граничными условиями на концах, т. е. по табл. 3.

Поскольку формы изгиба в обоих направлениях могут сочетаться произвольным образом, индексы / в правой части последнего выраже­

241

ния могут быть различными и вместо (6.20) мы получим двойной ряд

о о о о

w{x, J , 0 = 2S // М Fk (у) ajkcos ( V + aik)•

l= i k = i

Однако, если ввести сплошную нумерацию всех сочетаний форм колебаний в обоих направлениях, можно двойной ряд записать и в виде одинарного

только в этом случае под индексом / следует понимать не номер формы изгиба в том или другом направлении, а номер комбинаций форм

L

и т. д.

Чтобы применить уравнения Лагранжа для свободных колебаний без учета сопротивлений

подготовим выражения для кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия балок главного направления (параллельных оси у), перекрестных, обшивки и сосредоточенных масс равна

Ч I

где q, r, s — число балок главного направления, перекрестных и со­ средоточенных масс.

242

Если бы выбранные координаты были главными, то выражения для кинетической и потенциальной энергии не содержали бы слагае­ мых с произведениями функций разных номеров, которые получаются при возведении соответствующих сумм в квадрат, и выражения для кинетической и потенциальной энергий приняли бы следующий вид:

оо ( q I г L

243

Для того, чтобы выражения кинетической и потенциальной энер­ гий не содержали слагаемых с произведениями обобщенных скоростей и координат, необходимо, как указано выше, чтобы координаты были главными и формы колебаний удовлетворяли условиям ортогональ­ ности. Однако нахождение таких форм и координат представляет большие трудности. Дальнейшее решение основывается на допущении, что выражения для кинетической и потенциальной энергии могут быть представлены формулами (6.23) — (6.26), хотя формы колебаний вы­ браны произвольно и условия ортогональности не соблюдены. Срав­ нение частот, полученных методом, основанным на указанном допу­ щении с действительными частотами, наблюдаемыми на судах или найденными экспериментально, показывает достаточную сходимость— отличие в низших частотах не превышает 10% даже в случае, если формы колебаний не только не удовлетворяют условиям ортогональ­ ности, но даже не вполне удовлетворяют и граничным условиям.

Составив уравнения Лагранжа на базе выражений (6.23) и (6.24), получим для каждой координаты свое отдельное, не зависящее от дру­ гих координат, дифференциальное уравнение

М/ф/ + Nj<pj = 0,

из которого найдем [см. формулу (1.4)1 собственную частоту колеба­ ний

где Nj, М,- определяются выражениями (6.25) и (6.26).

Нахождение М,- и N,- оказывается особенно простым, если балки перекрытия свободно оперты по концам и функции формы (6.21) представляют собой в обоих направлениях синусоидальные волны.

Вынужденные колебания. После того как выбраны формы колеба­ ний и найдены собственные частоты, может быть выполнен и расчет вынужденных колебаний. Уравнение Лагранжа, если не учитывать сопротивления, в правой части будет содержать обобщенную силу

равную множителю в выражении работы сил, приложенных к пере­ крытию при приращении обобщенной координаты.

В случае, если к перекрытию в точке с координатами хР, ур, при­ ложена пульсирующая сила (см. рис. 51) и если прогиб в этом месте получит приращение [см. формулу (6.20) ]

//(■^р > Ур)&Ф/>

сила Р cos at совершит работу

Pfi (хР, £/р) cos (0% . ,

следовательно, обобщенная сила, соответствующая /-й координате,

равна

Ф .г=Р/.(Хр, ур) cos at.

244

Если в той же точке хР, ур был бы приложен возмущающий мо­ мент Мхcos со/ (пара в плоскости уг) или Муcos со/ (в плоскости гх), обобщенные силы были бы равны

как мы видели, изучая системы с одной степенью свободы [см. фор­ мулу (1.26)], имеет решение

Подставив найденное решение в (6.20), получим окончательное выражение для вынужденных колебаний перекрытия в случае прило­ жения к нему сосредоточенной возмущающей силы

Аналогичные выражения получаются и в случае приложения воз­ мущающих моментов:

При учете сил сопротивления колебаниям (внешнего, характери­ зуемого параметра г, или внутреннего, учитываемого коэффициентом неупругого сопротивления и) аналогично формулам (1.25) или (3.44) мы получили бы для случая сосредоточенной силы ряд

245

а в случае возмущающих моментов

Фазовые углы j3;- в последних выражениях определяются по форму­ лам (3.45).

П р и м е р . Определить, применяя энергетический метод, амплитуду вы­ нужденных колебаний перекрытия, показанного на рис. 50 в точке 4, в которой

приложена возмущающая сила Р cos tot (Р=9,8 кН=1000 кгс, ш = 130 с-1 ). Массы и жесткости балок даны в примере на с. 238.

Форму колебаний перекрытия взять в виде синусоидальной чаши

пх . пу f(x, 0 ) = sin — sin — ,

учитывая в ряде (6.27) лишь один первый член. Расчет выполнить с учетом ги­ стерезисного сопротивления я = 0,25 и без него.

Находим сначала частоту свободных колебаний первого тона; для этого по формулам (6.25) и (6.26) вычисляем обобщенную массу М г и обобщенную жест­ кость Ni

246

Затем по формуле (6.28), удерживая в ней приближенно лишь одно слагае­ мое, находим амплитуду колебаний в любой точке перекрытия

13580

Та же амплитуда без учета сопротивления была бы несколько больше (0,195 см). Методом приравнивания прогибов получена без учета сопротивления амплитуда 0,203 см. Ошибка приближенного энергетического метода при сохра­ нении только одного члена ряда равна 4%.

Регулярные перекрытия. Условимся считать регулярным перекры­ тие, у которого все балки призматические, балки главного направле­ ния одинаковые, равноудаленные и число их более пяти, сосредото­ ченные грузы отсутствуют, перекрестные связи могут иметь различные моменты инерции и интенсивности масс, но должны быть одинаково закреплены на прямоугольном контуре перекрытия (рис. 52).

247

Покажем, что задача о свободных колебаниях такого перекрытия может быть приведена к более простой задаче о колебаниях балки с сосредоточенными массами на податливых опорах. Если отбросить перекрестные связи, то дифференциальное уравнение свободных коле­ баний балки главного направления может быть написано так:

Влияние перекрестных связей может быть учтено, если в узлах балок главного направления приложить реакции, состоящие из сил упругости и сил инерции перекрестных связей. Для h-x узлов этихбалок реакции равны

Величины ah, bh, ch, dhнаходятся из граничных условий на концах пере­ крестных балок и зависят от аргумента pft, который для свободных колебаний определяется выражением (д).

Если выражение (в) подставить в дифференциальное уравнение (6.31) и сократить на X h (л:), то получится уравнение свободных ко­ лебаний балки главного направления, содержащее только функцию

248