книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

чисел, расположенных слева от них. Значения этих столбцов отно­ сятся к шпангоутам.

Схема вычислений, предусмотренная табл. 14, пригодна для вы­ числений функции формы в первом приближении любого тона. Отли­

Числовые данные таблицы относятся к первому тону, т. е. присое­ диненная вода вычислена по формуле (5.9).

Для второго или третьего тона присоединенная вода определяется формулами (5.10) и (5.11).

В столбце 13 помещены синусы для середин соответствующих шпа­ ций при первом тоне:*

Определив приближенную функцию формы колебаний, т. е. найдя параметры б/, в выражении (5.24), можно по общей формуле (3.27),

с. 116,

] E l [ f i ( x ) f d x

определить обобщенную жесткость Njt обобщенную массу и частоту колебаний X/.

Найдя вторую производную

188

В формулу (5.27) аналогично относительной массе введен относи­ тельный момент инерции площади поперечного сечения /,.//„. Суммы, входящие в формулы (5.27) и (5.28), вычисляются в столбцах 21—22 табл. 14. Расчет может быть выполнен также на ЭЦВМ.*

Числовые данные табл. 14, как и следующих табл. 15—18, отно­ сятся к судну со следующими элементами:

Необходимые для определения присоединенной воды данные (ор­ динаты ГВЛ, осадки, площади шпангоутов) приведены в столбцах 2—4, а интенсивность распределенных масс корпуса — в столбце 6 табл. 14, причем средняя интенсивность масс корпуса равна

Квадрат среднего радиуса инерции р о ^ — = 0,75 м2.

Средняя площадь поперечного сечения корпуса, воспринимающего срез, F0 = 0,13 м2.

Модули упругости

£ = 1,96-108 кН/м2 [2-106 кгс/см2];

G= 7,55-107 кН/м2 [7,7-105 кгс/см2].

В расчетах принято также

пг0 — 10 т/м, /„ = 1 м4.

Ортогонализация функции формы с низшими тонами. Возможность независимого существования одного вида колебаний (5.21) из беско­ нечного их числа, отображаемого рядом (5.20), имеет место лишь в слу­ чае, если координаты являются главными, для которых выражения для кинетической и потенциальной энергий не содержат слагаемых с произведениями скоростей и перемещений. Только в этом случае, как мы видели в главе третьей, переменные в уравнениях Лагранжа разделяются (что указывает на независимость колебаний). Но для этого необходимо, чтобы формы колебаний удовлетворяли условиям орто­ гональности (3.20), с. 115

—■ - - - - - - - - - -'o-

* Например, по программе ГИИВТ для машины «Проминь» Д-3 «Опреде­ ление частоты свободных вертикальных колебаний корпуса судна в первом при­ ближении» (без дополнительных команд), 1970.

189

В приближенном методе Рэлея — Папковича форма колебаний пер­ вого тона принимается за основную, и все высшие формы ортогонализируются с низшими: форма второго тона с первой, третья — с формой первого и второго тонов и т. д. При этом считается возможным огра­ ничиться лишь первым из условий (г), т. е. с ортогонализацией только по кинетической энергии. Таким образом, для функций формы /-го тона должны выполняться условия

1низших по отношению к /-му то­ нов, которые предполагаются най­ денными ранее и прошедшими (кроме 1-го тона) ортогонализацию

иуточнение по основному диффе­ ренциальному уравнению (см. ниже).

Подставляя (5.30) в систему уравнений (д)

J т (Yj гц/i 1^2/2 • • . — i\i-ifi-i)hdx= 0-,

J т (fj—ru/i—т]2/2 — . . •—ni-ifj-i)hdx= 0;

I m (fj—rii/i—TI2/2— • • . — r \ i - i f i - i ) f i - i d x = 0

и учитывая, что все низшие формы уже ортогонализированы друг с дру­ гом, получим

От интегралов, входящих в формулы (5.31), нетрудно перейти к их приближенным значениям в виде сумм2

19C

Следует указать на одно осложнение, которое возникает при поль­ зовании формулами (5.31а).

Неясно, что следует принимать в ней в качестве т\ величина эта различна для разных тонов, так как для них по-разному учитываются присоединенные массы воды. К сожалению, неясность эта не может быть устранена полностью, потому что она вытекает из допущений, заложенных в методе расчета.

Независимое рассмотрение главных колебаний судна — только приближенный подход к задаче, так как при наличии забортной воды главные колебания в уравнениях Лагранжа, строго говоря, не разде­ ляются.

Приходится брать интенсивности масс т как средние значения интенсивностей mi и mk из расчета колебаний /-го и k-ro тонов, т. е.

mik= у (mr \-mk)*

Табл. 15 может служить для получения коэффициента при ортогонализации формы любого /-го тона с одним из низших по отношению к нему, но приведенные в таблице числовые данные относятся к ортогонализации второго тона по первому,*** форма которого получена в табл. 14.

Уточнение формы колебаний и частоты по основному дифферен­ циальному уравнению. Получаемая из условий динамического равно­ весия форма колебаний удовлетворяет граничным условиям по изги­ бающему моменту (х) = 0 при х = 0 и х = L], но, как сказано

выше, не удовлетворяет, вообще говоря, основному дифференциаль­ ному уравнению (а), с. 183, и граничным условиям по срезы­ вающей силе.

Для того чтобы уточнить форму колебаний, подставим (5.21) в диф­ ференциальное уравнение (а)

[EIAjf'j (х) cos (>.у/+ ссу)] —mAjfj (х) cos (Kjt -f aj) = О

и сократим полученное уравнение на неравный нулю множитель,

Лусоэ (%jt -|- aj)

чески совпадают. В книге А. А. Курдюмова издания 1961 г. [9] дана более слож­ ная рекомендация, в соответствии с которой условия динамического равновесия (5.22) и (5.23) не будут нарушены при последовательной ортогонализации.

Однако самые поправки на ортогональность невелики: разница в присоеди­ ненных массах для разных тонов общей вибрации незначительная, и поэтому можно с достаточной точностью ограничиться рекомендацией, данной в тексте.

**Расчет может быть выполнен также по программе ГИИВ'Г Д-6 «Уточне­ ние функции формы колебаний по условиям ортогональности» для машины «Про-

минь», 1971.

***Здесь и далее по соображениям компактности записей индекс / у функ­ ций fj (х) и fj (х) опущен, поскольку все выкладки относятся к любому тону.

192

Уточненное значение f (л:) можно получить, если в правой части считать эту функцию / (х) известной из предыдущего приближения — например, взяв ее для первого тона по формуле (5.24), а для высших тонов с учетом ортогонализации — по формуле (5.30).

Произведя первое интегрирование, получим

ДL

Для того чтобы функция f (х) удовлетворяла граничным условиям по срезывающей силе при х = 0, необходимо, чтобы А = 0. При этом будет удовлетворено условие по срезывающей силе и на другом конце судна при х = L, в силу того что / (х) удовлетворяет условию (5.22).

Вторичное интегрирование уравнения (5.32) дает

Чтобы функция f (х) удовлетворяла граничному условию по мо­

Шпация AL введена с целью сделать выражения в квадратных скоб­ ках безразмерными.

Обозначим также расстояние от миделя до середины рассматривае­ мого отсека, выраженное в шпациях, через | £

Заменив в выражениях для f", Г и f интегралы суммами, полу­ чим:

если ввести обозначение

m0X*\L*

Pi-

EIo

Постоянные С и D можно найти, подчинив разыскиваемую функ­ цию условиям динамического равновесия

J mf dx = J J mi dx2 = 0.

оoo

Заменяя, как и ранее, интегралы суммами, получим два алгебраи­ ческих уравнения для определения неизвестных С и D

Решив систему (5.37) и найдя С и D, можно вычислить по формуле (5.36) уточненные значения функции формы.

Если значения уточненной функции f (х), находящейся в левой части уравнения (5.32), не будут сильно отличаться от принятой за исходную / (х) и находящуюся в правой части этого же уравнения, то можно считать уравнение (5.32), а следовательно, и основное диф­ ференциальное уравнение (а) или (5.8) удовлетворенным. В противном случае следует повторить уточнение, взяв за исходную форму f {х) по выражению (5.36).

Впрочем практические расчеты показывают, что прибегать к по­ вторному уточнению никогда не приходится. Более того, для первого тона уточнение не вносит заметных коррективов в значение частоты колебаний, полученной по приближенной форме (5.24).

Вычисления по уточнению функции формы удобно выполнять по форме табл. 16. Сами вычисления не сложны, но довольно трудоемки и, конечно, удобнее передать их на ЭЦВМ.*

Одновременно с уточнением функции формы оказывается уточнен­ ной в графе 14, как это видно из формулы (5.34), и кривизна f", необ­ ходимая для вычисления обобщенной жесткости [см. формулу (в)]

194

Подставив в последнее выражение значение кривизны (5.34), по­ лучим

/п2Я4Д£6

Р2 =

Е10

Табл. 16 предусматривает получение в графе 15 необходимых сла­ гаемых, входящих в формулы (5.39).

Для определения уточненной по основному дифференциальному Уравнению частоты

помимо обобщенной жесткости нужна еще обобщенная масса

которая легко вычисляется в табличной форме (см. табл. 18) примени­ тельно к формуле

;=i

Учет вращения элементов корпуса и сдвигов. Выражение для обоб­ щенной массы (е) было получено в главе 3 (с. 114) при учете в кинетичес­ кой энергии только поперечных перемещений элементов корпуса, прене­ брегая энергией вращения этих элементов. В выражении обобщенной жесткости учитывались лишь деформации изгиба, вызванные нормаль­ ными напряжениями, а деформации, обусловленные сдвигом, т. е. касательными напряжениями, не учитывались. Если учесть дополни­ тельную энергию вращения, то кинетическая энергия будет больше

где Mp2JHdx — момент инерции элемента корпуса относительно попе­ речной горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести этого элемента;

м — погонная масса корпуса;

Продолжение табл. 16

2498,61

196

на полусумму крайних слагаемых. 2. Значения «по отсекам» равны полусуммам двух соседних значений «по ординатам». 3. Суммы контрольных граф 2 (25) и 2 (26) не должны превышать 3—5% от максимальных чисел соответствующих граф.

197