книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Обобщенные координаты tp1( ф2, . . . , cpm и соответствующие им обобщенные силы Ф*, Фг, . . . , Фт связаны друг с другом линейными зависимостями, т. е. каждая обобщенная координата линейно зависит в общем случае от всех обобщенных сил

т

где коэффициенты у/к называются коэффициентами податливости. Из уравнений (в) можно выразить силы через координаты

Параметры Njk носят название обобщенных жесткостей. В мат­ ричной форме последние соотношения имеют вид

являются симметричными (Y/*= Yy> Njk = Nkj) и взаимно-обратными. Выражение потенциальной энергии через обобщенные координаты может быть получено, если рассматривать энергию как сумму работ

обобщенных сил на соответствующих перемещениях *

Таким образом, потенциальная энергия есть однородная функция второй степени от обобщенных координат.

Потенциальную энергию можно определить по отношению к не­ которому начальному состоянию, в котором она равна своему началь­ ному значению. Начальным состоянием удобно считать состояние устойчивого равновесия и полагать для него потенциальную энергию, равной нулю. Поскольку в положении устойчивого равновесия потен­ циальная энергия минимальна, из сказанного вытекает, что во вся­ ком другом положении она положительна.

Для того чтобы однородная функция второй степени с действи­ тельными симметричными коэффициентами была положительна, не-

* Множитель V2 введен ввиду того, что работа пропорциональна площади треугольника со сторонами Ф/ и <р/.

70

обходимо, чтобы все главные миноры * соответствующей матрицы же­ сткостей были положительными

Аналогичные условия должны выполняться и для обобщенных масс Mik, поскольку кинетическая энергия также всегда положительна.

Обобщенные жесткости могут быть в общем случае найдены из следующих соображений. Наложим на систему связи, запрещающие все перемещения, кроме одного — пусть все ср,- = 0 и только срЛ ф 0. Тогда из формул (г) находим

Фг = Аi/ефд;

Фг = А2*Фа>

Ф/ = А/*<р*; Фk= Nkkq>*.

Поэтому коэффициент Ааа численно равен силе Фк, способной де­ формировать систему с добавочными связями так, чтобы cpft = 1.

* Главными минорами называются все определители, выделенные из глав­ ного и содержащие левый верхний элемент, т. е. определители, выделенные из

Главных миноров у определителя m-го порядка (считая и сам главный оп­ ределитель) т

Например П =- 3q>f + ср| + 4ф1ср2 — вср^з — 4ф2ф3 не удовлетворяет ука­ занному условию, так как второй главный минор отрицателен

71

Коэффициент Njk численно равен реакции соответствующей до­ бавочной связи, запрещающей перемещение срупри прежнем условии, что все фу равны нулю, кроме фй = 1.

Взяв от выражений (2.5) и (2.8) для кинетической и потенциальной энергий

Уравнение (2.9) есть y-e уравнение системы m совокупных диффе­ ренциальных уравнений второго порядка, в каждое из которых вхо­ дят в общем случае все неизвестные функции ф* и все их вторые про-

и производные от кинетической энергии. 72

Значительно компактнее запись этих уравнений в матричной форме

Решение системы дифференциальных уравнений (2.9а) будем искать в форме гармонических функций, свойственных малым упругим ко­ лебаниям

Подставив эти решения в (2.9) после сокращения на неравный нулю множитель cos (kt + а), получим систему однородных уравнений относительно амплитуд

73

В развернутом виде эта система будет следующ ей:

(Nm1 — X2Mml) ax-f- (Nm2— X2Mm2) a2-f- . . .

т неизвестных амплитуд ак всегда удовлетворяется нулевыми реше­ ниями ах = а2 = . . . = ат = 0, но они нас не интересуют, так как при этом колебания отсутствуют и система находится в покое. Не­ нулевые решения, как известно, имеют место лишь при условии, что определитель системы (2.10) равен нулю

сительно Х2\ оно называется уравнением частот и позволяет найти т

отличающихся друг от друга значений: Л?, Х\, . . . , Хт2.

Если бы один из корней уравнений (2.11) оказался отрицательным (Х2< 0), это свидетельствовало бы о неустойчивости исходного равно­ весного состояния системы. Действительно, в этом случае значение X было бы мнимым, и гармонические функции синуса и косинуса, входя­ щие в решение (е), превратились бы в неограниченно возрастающие функции гиперболического синуса и косинуса.

Можно показать также, что случай нулевого корня (Ji.2 = 0) со­ ответствует безразличному состоянию равновесия. Однако эти исклю­ чительные случаи, а также случай равных корней,* мы рассматривать не будем и примем, что все значения X2, обращающие определитель (2.11) в нуль, положительны и различны.

Извлекая из найденных X2 квадратный корень, получим

±Ях, ±Х2........... +Хт.

Отбрасывая отрицательные значения, поскольку они отразятся лишь на значениях неопределенных пока параметров ак и ak, усло-

* О равных корнях, см. А. Н. К р ы л о в . Собрание трудов. Т. X. Вибра­ ция судов. Изд-во АН СССР, М.—Л., 1948.

74

вимся располагать частоты в порядке их возрастания

Правильность определения корней из уравнения частот обеспечи­ вает возможность удовлетворения системы однородных алгебраиче­ ских уравнений (2.10) не равными нулю значениями неизвестных аъ

Однако ввиду однородности уравнений одно из неизвестных в каж­ дой из вышеприведенных строк останется неопределенным. Усло­ вимся этими неопределенными величинами считать неизвестные с оди­ наковыми индексами * ап , а22, а33, . . . ,атт.

Тогда из уравнений (2.10) будут найдены не сами коэффициенты ajk (амплитуды колебаний), а лишь их отношения к коэффициенту с оди­

Каждая частота %дает решения для всех обобщенных координат

* Если эта величина в данной конкретной задаче не равна нулю.

75

Д л я частоты Я,2 получим

Таким образом, каждой частоте Я,у соответствует вполне определенная совокупность гармонических колебаний и изменение всех обобщенных

мент времени сохраняется неизменным, в связи с чем можно гово­ рить о форме колебаний, соответствующей данной частоте.

Складывая отдельные решения (ж), получим общие интегралы си­

Как указано выше, в каждом столбце правой части выражений (2.12а) лишь одна амплитуда остается неопределенной Оц, о22, . . . , атт, все же остальные выражаются через нее при помощи уравнений

(2. 10).

Решение (2.12) содержит, как это необходимо для системы т ли­ нейных уравнений второго порядка (2.9), 2т произвольных постоян­ ных

Оц, 0 22, O3J, . . . «mm ®1» ®2> ®8» • • ■ > ®т>

определяемых по начальным условиям, например по заданным в мо­ мент t = 0 отклонениям и скоростям

76

Итак, сложное колебательное движение системы с т степенями свободы состоит из т гармонических колебаний определенных частот. При каждом из колебаний определенной частоты изменяются с этой частотой все обобщенные координаты, причем соотношение амплитуд колебаний сохраняется неизменным. Между амплитудами двух раз­ ных форм колебаний (амплитудами колебаний разных частот Кг и Xs) существуют определенные зависимости, называемые условиями орто­ гональности форм главных колебаний. Опуская их вывод,* приведем эти зависимости

1=1 ft=i

Если число степеней свободы невелико, то и составление уравне­ ний движения (2.9) и уравнения частот (2.11) может быть выполнено и не прибегая к уравнениям Лагранжа.

Применение ЭЦВМ. При небольшом числе степеней свободы (два, три) определение корней уравнения частот относительно просто. Од­ нако, при большом числе степеней свободы и высокой степени уравне­ ния (2. 11) вычисления по определению корней этого уравнения и всех амплитуд ajk становятся настолько громоздкими, что целесообразно прибегнуть к расчетам на ЭЦВМ.

Для того чтобы определить частоты как собственные числа мат­ рицы, умножим уравнение (2.106) на обратную матрицу масс М ~ 1

(.M~lN — X2E )a = 0,

Матрица С = M~XN в общем случае является несимметричной. Собственные числа матрицы С находятся как корни уравнения, получающегося приравниванием нулю определителя системы однород­

ных уравнений (2.15),

Динамические расчеты прочности судовых конструкций. М., «Транспорт», 1965- А. А. К у р д ю м о в . Вибрация корабля. Л., Судпромгиз, 1961 и др.

77

а соответствующие им векторы в виде матриц-столбцов

fli

а%

а =

из (2.15).

Уравнение (2.16) проще уравнения (2.11), так как неизвестное А2 входит только в элементы главной диагонали, а не во все элементы, как в определителе (2.11).

Решение уравнения (2.16), т. е. нахождение собственных чисел, равных квадратам собственных частот колебаний и соответствующих им векторов, равных амплитудам колебаний обобщенных координат, выполняется по стандартным программам на вычислительных маши­ нах.*

Главные координаты и главные колебания. Приведенное выше об­ щее решение о колебаниях системы с т степенями свободы значительно упростилось бы, если выражения для кинетической и потенциальной энергий представляли бы собой суммы полных квадратов скоростей и координат и не содержали слагаемых с их произведениями. В этом случае, вместо выражений (2.5) и (2.8), мы имели бы

Обобщенные координаты, выбранные указанным образом, т. е. совокупность независимых величин, вполне и однозначно определяю­ щих положение системы и превращающих выражения для кинетиче­ ской и потенциальной энергий в суммы квадратов скоростей или ко­ ординат, называются главными или нормальными координатами. Бу­ дем обозначать эти координаты буквой it).

Уравнения Лагранжа при применении главных координат при­ нимают особенно простой вид:

/Иi^i + Ni% = 0;

М2Ф2+ N2ty2 = 0;

(2.18)

+|5m = 0.

Вместо системы т совокупных дифференциальных уравнений вто­ рого порядка, в каждое из которых могут входить все т неизвестных функций и все их вторые производные, в главных координатах мы имеем т отдельных, независимых друг от друга уравнений, в каждое из которых входит только одна неизвестная функция и ее вторая про-

* Например, на машине «Минск-22»; программа СП 0340 в режиме Т.

78

изводная. Решение таких уравнений, характерных для колебаний си­ стемы с одной степенью свободы, подробно изучено в главе 1. В част­ ности, собственные частоты системы определяются по формулам, ана­ логичным (1.4)

(2.19)

Разумеется, собственные частоты, определяемые формулами (2.19), будут точно такими же (для одной и той же системы), как и частоты, определяемые по уравнению частот (2.11), так как собственные частоты физически присущи системе и не могут зависеть от выбора той или иной системы координат.

тегрирования, определяемые по начальным условиям.

Применение в изучении вибрации главных координат, вместо обоб­ щенных, не только дает математические упрощения, но и вскрывает физический смысл явления.

Рассмотрим свободные колебания системы в главных координатах, т. е. уравнения (2.18). Можно всегда предположить начальные усло­ вия такими, что во время колебаний будет изменяться только одна какая-нибудь определенная главная координата, например фх. Коле­ бание будет простым гармоническим с одной вполне определенной частотой, присущей этому колебанию.

Рассматривая всю совокупность главных координат, придем к за­ ключению, что системы с т степенями свободы обладают т различ­ ными видами колебаний. Каждое из таких не зависящих друг от друга колебаний имеет вполне определенную, ему одному присущую форму колебаний, соответствующую изменению данной главной координаты, и определенную, ему одному присущую, частоту.

Мы снова приходим к выводу о том, что любое колебательное дви­ жение системы при отсутствии сопротивления может рассматриваться как состоящее из нескольких простых, главных, не зависящих друг от друга колебаний. В этом же можно убедиться, сравнивая уравне­ ние (2.12) с уравнениями (2.20). Главному колебанию с определенной частотой (например, А,у-) соответствуют вполне определенные соотно­ шения между амплитудами обобщенных координат, сохраняющиеся во все время движения. Иначе: совокупность изменений обобщенных координат с одной определенной частотой образует соответствующее главное колебательное движение.

Система обобщенных координат может быть выбрана не единствен­ ным образом. Можно наметить несколько групп по т независимых величин в каждой, определяющих положение системы.

79