книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Амплитуда передаваемого фундаменту усилия равна

со

(1.40)

Отношение этой амплитуды к амплитуде силы при отсутствии амор­ тизатора

носит название коэффициента амортизации,, и, конечно, для эффек­ тивной амортизации г) должен быть много меньше единицы. Из фор­ мулы (1.41) видно, что Tf меньше еди­

ницы будет лишь в случае, если

Вынужденная частота значительно выше

40

К о эф ф и ц и ен т а м о р т и з а ц и и по ф о р м у л е (1 .4 1 )

Следовательно, на фундамент передается пульсирующая сила, амплитуда которой

Ра= 160-0,0075= 1,2 кН [-120 кгс].

Колебания, вызванные гармоническими перемещениями точки под­ веса. Вынужденные колебания могут возникнуть, когда точка закреп­ ления упругой связи совершает заданные установившиеся колебания. Пусть масса М соединена невесомой пружиной с точкой А. В спокой­ ном состоянии масса займет указанное на рис. 12 слева положение. Но если предположить, что точка подвеса пружины А совершает гар­ монические колебания

i|)(() = &cosco(, (л)

то и масса М также начнет совершать гармонические колебания около своего равновесного положения

Ф (() = a cos -f Р). (м)

Помимо восстанавливающей силы со стороны пружины, равной произведению жесткости пружины N на ее удлинение и направленной

на массу могут действовать и силы сопротивления. Пусть сила вязкого сопротивления (ее происхождение на рис. 12 имитировано поршень­ ком в цилиндре с вязкой жидкостью) пропорциональна относительной скорости массы (скорости поршенька относительно стенок цилиндра) и направлена против этой скорости

сопротивлению и удлинению пружины, опережающемудействитель­ ное, как мы видели (с. 25) на четверть периода

Аналогично и для функции ф.

41

(р(^+т)==^‘ф(0 и'К/+т)=т гИ0*

Поэтому силу гистерезисного сопротивления можно считать про­ порциональной скорости в данный момент

Собирая приложенные к массе силы (н), (о), (п), можно получить дифференциальное уравнение ее колебаний

Мф ( t ) = - N [ср (t) -ф (01 - R [ф(t) - Ф(01—^ [ф (0— Ч>(01 •

Опуская подчеркивание зависимости функций от времени, по­ скольку все они относятся к одному и тому же моменту, и учитывая (л), получим

Мер + ^R -f <р + Nep — Nb cos со/— (^R + beо sin eat. (1.42) *

От выведенного ранее уравнения (1.23) полученное уравнение отличается лишь неучетом силы постоянного трения (которое при не­ обходимости можно было бы и учесть) и более сложным выражением

правой части.

Впрочем, стоящие в правой части функции синуса и косинуса раз­ ных амплитуд, но одного аргумента, можно объединить в одну функ­ цию синуса или косинуса с амплитудой, равной геометрической сумме амплитуд составляющих гармоник, и некоторым фазовым углом

Мф + (я + - ^ ) ф + Мр=М> | / " 1+ (^ Г + х)2 cos (eat+ у)

или при прежних обозначениях

R = 2rM, N = №M,

* Если бы сила вязкого сопротивления была пропорциональна не относи­

тельной, а абсолютной скорости массы (ф), то правая часть уравнения (1.42) была бы следующей:

. . . — Nb cos a t —г nNb sin at

и вместо (1.45) мы получили бы

1 Л + х»

Т] =

42

Частный интеграл последнего уравнения может быть получен тем же путем, каким ранее мы получили (1.25), и будет иметь следующий вид:

Итак, вынужденные колебания массы, упругосвязанной с точкой, совершающей гармонические колебания с амплитудой Ъ и частотой to, будут происходить с той же частотой и амплитудой

где

(1.45)

Упругую подвеску отдельных судовых приборов и деталей судо­ вого оборудования иногда применяют для ослабления их колебаний. Коэффициент т) в этом случае должен быть меньше единицы и носит название коэффициента амортизации. Подвеска прибора при этом

характеризует не только отношение амплитуд перемещений массы М и точки подвеса А, но также и отношение амплитуд их скоростей и ускорений.

П р и м е р (виброизоляция прибора). Определить коэффициент жесткости амортизатора для прибора массой 10 кг, если в районе установки прибора имеет место вибрация с амплитудой 0,5 мм при числе колебаний 1500 в минуту. При­ бор не должен испытывать ускорений более 1500 мм/са (15% земного). Коэффи­

43

н е с л о ж н ы м п о д б о р о м н а х о д и м ч а с т о т у %= 50 с *, п р и к о то р о й

0,119.

Коэффициент жесткости

N = ЛШ = 10-502 = 25 000 Н/м = 25 кН/м [~ 25 кгс/см].

Колебания с нелинейной восстанавливающей силой. В ряде инже­ нерных задач, как об этом было упомянуто на с. 17, нельзя считать, что восстанавливающая сила линейно зависит (как мы принимали выше) от перемещения массы; нелинейность может быть обусловлена как свойствами материала, не подчиняющегося закону Гука, так и конструкцией упругой связи. Рассмотрим один из довольно часто встречающихся случаев такой нелинейности, а именно будем считать, что восстанавливающая сила выражается двучленом

Ф3(ф) = Л/ф+ Nxф3,

причем коэффициент N t может быть как положительным (жесткая связь), так и отрицательным (мягкая связь).

Уравнение вынужденных колебаний под действием гармонической силы (1.1) при учете лишь вязкого сопротивления, линейно завися­ щего от скорости, в рассматриваемом случае примет вид

Амплитуда силы может быть постоянной, но может также зависеть, как это часто бывает, от квадрата частоты возмущающей силы

44

значительно отличается от линейного закона (б мало), можно прибли­ женно частный интеграл искать в виде

где а — неизвестная амплитуда вынужденных колебаний. Подставив

(1.50) в (1.49), получим

целое число, т. е. решение (1.50) не удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.49). Чтобы возможно точнее удовлетворить этому урав­ нению, умножим (р) последовательно на cos со/ и sin со/ и проинтегри­ руем полученное уравнение в пределах одного цикла колебаний, т. е.

О д

от / = 0 до t = т = — , предварительно заменив

т. е. взяв уравнение (р) в виде

6a3-f-(Л,2 — со2) a — f cose|cosco/ + ( —2rcoa + /sine) sin co/-f

+ — 6a3 cos Зсо/ = 0.

4

Выполнив указанную операцию,* эквивалентную условию обра­ щения в нуль среднего значения виртуальной работы за цикл, полу­ чим два уравнения

— ба3 -f (А,2— со2) а = / cos е.

4

2rcoa = f sin е.

Исключив из них фазовый угол е, получим для амплитуды колеба­ ний уравнение

45

При неучете вязкого сопротивления (г = 0) уравнение (1.51) пре­ вращается в неполное кубическое уравнение относительно а

(1.52)

Уравнение (1.51) всегда имеет один вещественный корень, поло­ жительный или отрицательный, а при определенном соотношении ко­ эффициентов — один положительный и два отрицательных. Уравне­ ние (1.52) всегда имеет один положительный корень, а иногда еще и два отрицательных.

Рис. 13. Амплитудно-частотная кривая для конкретно числовых данных

Задаваясь определенной частотой со можно из уравнений (1.51) или (1.52) получить соответствующие этой частоте значения а, как корни указанных уравнений. Если не учитывать знаки корней, а ин­ тересоваться лишь амплитудами колебаний, можно построить в пло­

ром показаны кривые, построенные по уравнению (1.52) для случая отсутствия сопротивления, сплошной линией — кривые, построенные с учетом вязкого сопротивления, т. е. по уравнению (1.51).

рактер кривых остался бы примерно таким же и при f = — = const, только

М

в первом случае нижняя ветвь кривой при больших со асимптотически прибли­

46

По кривым видно, что при некоторых частотах (например, при ча­

стоте 130 с-1) возможны колебания с тремя различными амплитудами в соответствии с тем, что уравнение (1.51) дает при со = 130 три ве­ щественных корня, один положительный и два отрицательных. Однако фактически при определенной частоте наблюдается только одна ам­ плитуда, что объясняется тем, что участок 3—4 кривой является об­ ластью неустойчивости. При постепенном возрастании частот ампли­ туды меняются в соответствии с линией 1—2—3. В точке 3, соответст­ вующей максимальной возможной амплитуде колебаний при данном сопротивлении * происходит «срыв» — резкое падение амплитуд (3—5) и дальше с ростом частоты амплитуды будут уменьшаться в соответст­ вии с участком кривой 5—6. При уменьшении частоты амплитуды меняются по линии 6—5—4—2—1.

Аналогичное явление происходит и при мягкой связи (б <0), для которой выступ 2—3—4 амплитудно-частотной кривой будет наклонен не вправо, а влево. При б = 0, т. е. при линейной зависимости жест­ кости системы от перемещения, выступ 2—3—4 был бы направлен вверх, как на рис. 10.

Изложенное решение о вынужденных колебаниях позволяет уста­ новить связь и между частотами и амплитудами свободных колебаний. Действительно, предположив в уравнении (1.52) / = 0, мы получим связь между амплитудами и частотами колебаний при отсутствии воз­ мущающей силы

" + Ы г - 1 Г а = 0 ' <с)

т. е. между амплитудами и собственными частотами.

Обозначив собственную частоту колебаний при нелинейной восста­

Собственная частота при нелинейной восстанавливающей силе и при 8 > 0 больше К и увеличивается с увеличением амплитуд колеба­

* Эту амплитуду можно найти, приравняв подкоренное выражение формулы

(1.51) нулю

2гамякс

и решив это уравнение совместно с уравнением (с), не прибегая к построению амплитудно-частотной кривой, т. е. найти амакс из выражения

47

ний. Графически связь Л |а | может быть изображена на рис. 13 ли­ нией 7—3—8, если по оси абсцисс откладывать Л.

Кривые со | а | группируются около линии 7—3—8 и расположены тем ближе к ней, чем меньше амплитуда возмущающей силы f. Поэ­ тому часто эту линию называют скелетной кривой.*

§ 4

ДВИЖЕНИЕ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИНАМИЧНОСТИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ИЗМЕНЕНИИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ ВО ВРЕМЕНИ

Общее решение. В тех случаях, когда возмущающая сила не яв­ ляется гармонической, дифференциальное уравнение движения при вязком сопротивлении и силе упругости, линейно зависящих соот­ ветственно от скорости и переме­ щения, необходимо взять в виде

жет выражаться любой функцией или может быть задано графически (см. кривую АВ на рис. 14).Для оп­ ределения искомого перемещения заменим непрерывное действие силы действием элементарных импульсов длительностью dx каждый. Один из таких импульсов в момент времени х изображен на рис. 14 заштри­ хованной полосой. Определим перемещение массы в момент t спустя время t—х после приложения импульса, считая импульс настолько кратковременным (dx -> 0), что за время его действия масса не успе­ вает изменить своего положения и лишь скорость массы внезапно ста­ новится равной **

dv = F(x)dx, _ f до

М

Искомое перемещение можно найти по формуле (1.9), полагая в ней

Фо = 0 ф0 = f(x)dx,

т. е.

*Подробнее о нелинейных колебаниях см. С. П. Т и м о ш е н к о . Ко­ лебания в инженерном деле. Пер. с англ. М., «Наука», 1967.

**Изменение количества движения Mdv равно импульсу силы F (х) dx

48

или

.—rt

dtp = ------erxf (jc) sin kx (t—x) dx. kl

Это перемещение возникает только от одного элементарного им­ пульса. Для получения полного перемещения массы, вызванного всеми импульсами, или, что то же, непрерывным действием силы, необходимо суммировать все элементарные перемещения

е—rt t

Ф = ~ :— [e xf (х) s in ^ !^ —х) dx. (1.55)

А1 о

Заменяя

sin ^ (t—х) = sin kxt cos кхх —cos kxt sin kxx

и вынося из-под интегралов не зависящие от переменной интегрирО' вания sin и cos k xt, вместо (1.55) можно получить и иной вид ре шения

циях t изменяется от нуля до текущего значения, а вне интегралов и в верхних пределах их под t понимается текущее значение, для ко­ торого формула дает значение ср

Формулы (1.55) и (1.55a) полностью эквивалентны друг другу. Если по истечении некоторого времени Т сила перестает действо­

вать [/ (0 = 0 для t^>T], то оба интеграла, входящие в уравнение (1.55а), становятся постоянными и само уравнение приводится к виду (1.7), отображающему свободные затухающие колебания, вызванные прекратившей действие внешней силой

г

sin kjt J e ‘f (t) cos kjtdi—

о

т

—cos kit J ertf (t) sin kjtdt .

о

Впрочем, выражения (1.55) и (1.55a) охватывают и этот случай, необходимо лишь считать, начиная с момента Т, значение силы, равной нулю.

49