книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

На базе коэффициентов податливости могут быть исследованы не только вынужденные колебания, но найдены и собственные частоты. Полагая в уравнении (2.316) внешние силы отсутствующими и не учи­ тывая при определении собственных частот сопротивлений, получим:

Считая, что прогибы являются гармоническими функциями вре­

и подставив (2.35) в (2.34), после сокращений на скалярный множи­ тель cos (Xt + а), найдем*

( £ - л т !) й = о

или

Задача свелась к определению собственных значений — матрицы

X2

AM и соответствующих им векторов а. Как известно, собственные зна­ чения являются корнями уравнения

Составив определитель и найдя его корни

тем самым найдем и частоты собственных колебаний, а из уравнения (2.36) и соответствующие им формы.

Изложенное решение совершенно идентично методу определения собственных частот и форм систем с несколькими степенями свободы [формулы (2.15) и (2.16), с. 77 ]. В случае большого числа сосредо­ точенных масс следует применять ЭЦВМ.

П р и м е р определения собственных частот. Определить частоты свобод­ ных колебаний и соответствующие им формы невесомой балки с тремя одинако­

Элементы матрицы податливости находим по формулам и таблицам строи­ тельной механики, например по Учебному справочнику [3].

*Единичная матрица£ появилась при вынесении в выражении а—АМХ2а = 0 матрицы а за скобки.

**Изображенная на рисунке возмущающая сила Р cos a t относится к сле­

дующему примеру.

90

Так, коэффициент податливости в точке, где расположена первая масса от силы, приложенной в той же точке, равен (В. В. Давыдов, Н. В. Маттес, И. Н. Сиверцев. Учебный справочник по прочности судов внутреннего плава­ ния. М., «Речной транспорт», 1958, с. 195)

бц = 1,172 • 10—2 — = 1,172В,

если обозначить

/L,=J$,5c"f

Xz-15lf

Tij =

Рис. 21. К примерам на с. 90 и 92

Аналогично находим остальные элементы матрицы податливости

Диагональная матрица масс в данном примере будет весьма простой

Нетрудно найти и входящее в уравнение (2.37) произведение матриц

91

Собственные значения х этой последней матрицы находятся на ЭЦВМ *

Впрочем, ввиду небольшого числа масс и симметрии, нетрудно найти собст­ венные частоты и не прибегая к машинам. Развертывая определитель (2.37)

получим — х3 + 4,427а;2 — 1,324967% + 0,062024 = 0.

Решая это кубическое уравнение, найдем те же корни

*! = 4,108154; х2 = 0,261; *3 = 0,057846,

следовательно, и те же частоты. Числа колебаний в минуту, соответствующие найденным частотам, равны

ЗОЯi- = 376, 1500 и 3180.

Собственные векторы матрицы, или, что то же, формы колебаний, можно найти из уравнения (2.36) при подстановке в них последовательно собственных чисел. Для Я* имеем

Итак, балка с тремя сосредоточенными массами может колебаться по форме одной полуволны, совершая 376 колебаний в минуту между положениями, по­ казанными сплошной и пунктирной линиями на рис. 21, б. Колебания с двумя и тремя полуволнами совершаются с числом колебаний 1500 и 3180 в минуту соответственно и показаны на рис. 21, в, г.

П р и м е р нахождения вынужденных колебаний. Определить вынужден­ ные колебания трех сосредоточенных масс М х = М 2 — Л43 = 1 т, расположен­ ных на равных друг от друга расстояниях на невесомой балке длиною 5м, по­ казанной на рис. 21, под действием гармонической силы Р cos соt с частотой <о =

* Например, по программе для симметричной матрицы СП 0127 машины

«Минск-22».

92

Элементы матрицы податливости находим, как и в предыдущем примере, по формулам и таблицам Учебного справочника [3]

где В = 1,56-10—4 м/кН.

Матрицы масс, сопротивлений и возмущающих сил имеют вид

0

Р = Р cos со/ — матрица возмущающих сил.

0

Учитывая, что в данной задаче матрицы масс и сопротивлений особенно просты, составляем матрицы ЛЛ4со2, A R со и АР, входящие в систему (2.33)

0,45708 0,55848 0,35529 *

Ввиду симметрии конструкции и нагрузки ср3 = фх; поэтому можно соста­ вить не шесть, а всего четыре уравнения системы (2.33а).

Первое уравнение этой системы имеет вид

(1 — 0,45708) аг — 0,55848 а2 — 0,35529 а3 +

+ 0,09142 />! + 0,11170 Ь2 + 0,07106 Ь3 = 1,432 ВР.

Учитывая, что а3 = aL и Ь3 = blt и объединяя слагаемые с одинаковыми неизвестными, получим первое, а аналогично и остальные уравнения **

0,37526 а2 — 1,11696 а2 + 0,32496 Ьг + 0,22340 Ь2 = 2,864 ВР;

— 1,11696 а2 + 0,18763 а2 + 0,22340 Ьг + 0,16247 Ь2 = 2,083 ВР;

*0.45708 = 1,172-1,56-10~4-502 и т. д.

**Чтобы сделать коэффициенты уравнений симметричными, первое и третье уравнения удвоены.

93

Найдя корни этих уравнений

щ — — 1,9003.6Р = — 1,9003-7,8-10~4 = — 1,482- 1(Г3 м = — 1,482 мм;

и подставив их в (2.32а), получим

Все три массы колеблются по первой форме колебаний (рис. 21, б), что вполне естественно, поскольку частота возмущающей силы со = 50 с-1 близка

к частоте колебаний этой формы = 39,2 с-1 . Так как частота возмущающей силы превышает собственную, отклонения находятся почти в противофазе с си­ лой.

Сопротивление довольно значительно уменьшает амплитуды колебаний. Аналогичный расчет без учета сопротивлений (R 1 = R 2 = R 3 = 0) дал бы

9 i = Фз = 2,44 cos (со/ — 180°);

ср2 = 3,40 cos (со/ — 180е).

Отклонения ввиду отсутствия сопротивлений и со£>Х находятся точно в про­ тивофазе с силой.

Г Л А В А

3

ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ БАЛКИ

Упругая призматическая балка, масса которой учитывается в рас­ чете ее колебаний, состоит из бесконечно большого числа материаль­ ных точек, соединенных внутренними упругими связями, и имеет бесконечноё число степеней свободы.

Если к балке приложить периодические динамические усилия или импульсы, искривляющие ее в одной из главных плоскостей изгиба, то возникают поперечные колебания балки, соответствующие дефор­ мации изгиба.

Приложение динамического скручивающего момента или динами­ чески изменяющихся осевых сил вызывает крутильные или продоль­ ные колебания. После прекращения действия указанных выше перио­ дических сил или импульсов колебания некоторое время продол­ жаются — это свободные или собственные колебания указанных выше видов, поперечные, крутильные или продольные.

Каждый вид свободных колебаний балки представляет собой со­ вокупность бесконечного числа главных колебаний, каждое из кото­ рых характеризуется своей формой и частотой.

94

Вынужденные колебания любого типа также могут быть состав­ лены из колебаний, формы которых соответствуют формам свободных главных колебаний, частоты же, как и в системах с одной или несколь­ кими степенями свободы, всегда равны частотам возмущающих сил, вызвавших эти вынужденные колебания.

В§ 9—12 рассматриваются свободные и вынужденные поперечные колебания, а в § 13 продольные и крутильные колебания.

В§ 14 дается понятие 6 методе парциальных откликов, а в § 15 из­ лагается сущность метода конечных элементов. Оба эти метода могут

быть применены к расчетам не только призматических балок, но и Других конструкций.

§ 9

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Общие положения. Прибавляя к действующим на выделенный эле­ мент балки (рис. 22) длиной dx срезывающим силам и изгибающим моментам, даламберову силу инерции (направленную обратно уско­ рению) и проектируя все усилия на нормаль к оси балки, получим

— dx-j-m ---- dx = О,

дх dt2

где w (х, t) — прогиб оси балки, зависящий как от положения се­ чения по длине х, так и от времени t,

т — масса балки, приходящаяся на единицу длины ее. Учитывая, что срезывающая сила V и изгибающий момент Мизг

связаны с прогибом зависимостями

получим уравнение

момент инерции поперечного сечения балки и распределение ее массы по длине считать переменными I (х), m (х), т. е. не только для призма­ тической, но и для непризматической балки, в том числе, как мы уви­ дим ниже, и для общих поперечных изгибных колебаний корпуса судна. Первое слагаемое уравнения (3.1) представляет собой интен­ сивность сил упругости, второе — сил инерции. Поэтому уравнение (3.1) справедливо также не только для свободных (собственных), но и для вынужденных колебаний, если только возмущающие силы яв­ ляются сосредоточенными силами или моментами (интенсивность ко­ торых по длине балки равна нулю), а не распределенными.

Решение в форме бесконечного ряда. Изучая в настоящей главе колебания призматических балок, возьмем уравнение (3.1) в упрощен-

95

ном виде, полагая / и т постоянными

Общий интеграл уравнения (3.2) будем разыскивать в виде беско­ нечного ряда

(3 . 3 )

1=1

Первые множители каждого члена ряда /у (х) (в дальнейшем будем обозначать иногда их просто /у, опуская подчеркивание зависимости от х) — функции только абсциссы х, описывают форму колебаний /-го тона, а вторые фу (t), зависящие от времени, в случае упругих свобод­ ных колебаний, носят гармонический характер, т. е.

Рис. 2 2 . К выводу дифференциального уравнения коле­ баний балки

Как будет показано ниже, каждый из коэффициентов Лу не зави­ сит от остальных и, следовательно, колебания с любой из частот Xj могут существовать отдельно, не сопровождаясь колебаниями других частот.

Таким образом, фу являются главными координатами балки. Подставив (3.4) в (3.3)

а затем (3.5) в дифференциальное уравнение (3.2), получим

00

2 [EIf)v — mX2jfj) Aj cos (Xjt + ay) = 0. i=i

Последнее равенство должно быть справедливым при любых зна­ чениях t, поэтому необходимо, чтобы коэффициент при каждом

96

т. e. каждая форма колебаний f,- определяется из своего дифференци­ ального уравнения.

или, что то же,

Формулы (3.7) и (3.8) показывают, что каждой собственной ча­ стоте %j соответствует своя, присущая ей форма колебаний /у (х) и обратно.

Постоянные ay, bjt Cj, dj должны быть определены так, чтобы удов­ летворялись граничные условия на концах балки. Так как граничные условия должны удовлетворяться в любой момент времени, т. е. при любых значениях множителей Ау cos (Kjt + a y) в уравнении (3.5), необходимо чтобы каждая функция /7 (х) в отдельности удовлетворяла на концах балки граничным условиям, таким же, как при статическом ее изгибе. Таким образом, формы колебаний в граничных условиях разделяются. Для каждого конца балки можно написать по два гра­ ничных условия.

Так, например, для опертого на ножевую опору конца балки про­ гиб и изгибающий момент должны быть равны нулю. Если такая опора находится на левом конце балки (х = 0), необходимо, чтобы в любой момент времени

Аналогично условие о равенстве нулю изгибающего момента при­ водит к требованию, чтобы ff (0) = 0.

Так же могут быть составлены условия и для других закреплений концов балки, приведенные в табл. 2.

Граничные условия приводят к системе четырех однородных ал­ гебраических уравнений относительно неизвестных a7, bj, Cj, dj.

Т а б л и ц а 2

Граничные условия по концам балки (начало координат на левой опоре)

Л/\

П р и м е ч а н и е . ПoлoжитeJтьными считаются прогибы, гели они направлены вниз;

срезывающие силы, если они наг1 равлены вниз при действие их на правую отсеченную часть; изгибающие моменты, есл я они направлены против хо ца часовой стрелки при дей-

ствии на правую отсеченную часть.

Для того чтобы не все неизвестные одновременно равнялись нулю (т. е. для того, чтобы существовали колебания), определитель системы указанных четырех уравнений должен быть равен нулю.

Составляя этот определитель и приравнивая его нулю, получим трансцендентное уравнение относительно ц/ или так называемое урав­ нение частот, так как найдя р;-, можно определить по соотношению

(3.8) и частоты А,,.

Правильность решения уравнения частот обеспечит совместность однородных уравнений, т. е. превратит одно из четырех уравнений в следствие трех остальных. Это обстоятельство приведет к произволь­ ности одного из коэффициентов, из каждой четверки ah bh ch dj. Этот коэффициент можно взять произвольно или определить из начальных

98

условий движения. Мы рекомендуем принимать его равным единице,

аиз начальных условий движения (из условий о том, как была изо­ гнута балка в момент t = 0 и какие скорости имели отдельные ее точки) будем находить постоянные А ,и ау. Впрочем, обычно сами соб­ ственные колебания нас не интересуют и исследование заканчивается определением лишь собственных частот и форм свободных колебаний,

апостоянные же А/ и а} вообще не разыскиваются.

Покажем путь нахождения частот свободных колебаний на при­ мерах.

Балка, свободно опертая на жесткие опоры. Произвольные постоян­ ные ah bh Cj, dj, входящие в выражение для формы свободных коле­ баний (3.7), должны удовлетворять четырем граничным условиям со­ гласно табл. 2

при х = 0 /у (0) = 0, // (0) = О

при х = i fj (l) = 0, fi (l) = 0.

Первые два условия (на левом конце) дают

bj -Ь dj = 0;

—ц2.Ь. + 11^. = 0.

Подчиняя функцию (3.7) условиям на правом конце балки (/) =

= fj (/) = 0, получим еще два уравнения, которые вместе с предыду­ щими образуют систему *

—aysin py— bj cospy+ Cj sh p;- + dj ch p;- = 0.

Приравнивая нулю определитель этой системы,** получим урав­ нение частот

Развертывая определитель, получим

*Второе и четвертое уравнения сокращены на неравный нулю мно­ житель р^.

**В рассматриваемой простой задаче можно было из первых двух уравне­

ний сразу найти, что by = dj = 0 и составить определитель только из последних двух уравнении

4*

99