книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

лий, передающихся корпусу от винта), граничные условия имеют вид

Интегрирование методом Рунге—Кутта. Дальнейшие преобразо­ вания уравнения (5.73) направлены к тому, чтобы свести задачу к: двум системам дифференциальных уравнений второго порядка в форме,, удобной для их численного интегрирования методом Рунге—Кутта.

Заменим абсциссу х ее относительным значением g = -j- и по со­

ображениям компактности записей обозначим

где /„ — произвольная величина, имеющая размерность момента инер­ ции площади (м4).

При указанных обозначениях уравнение (5.73) примет вид

получим вместо (5.76) систему двух уравнений второго порядка от­ носительно функций /(g) и Т) (|)

^" + Y -y-s— 6ф| A +(u" + V-j-u — 6ф|в = 0.

21»,

В скобках заключены переменные функции, зависящие от £ и при­ нимающие различные значения; А, В — величины постоянные. Для того чтобы А и В имели ненулевые значения, необходимо, чтобы в по­ следних уравнениях все четыре выражения в скобках равнялись нулю

ф" —- у - s = 0;

(5.79)

s"-f y-y-s—8ф = 0;

ф" — = 0;

(5.80)

и" + Y -у -и —бф = 0.

Полученные две независимые друг от друга системы дифференци­ альных уравнений, одна относительно функций ф, s, другая относи­ тельно функций ф, и, могут быть решены методом численного интег­ рирования, например методом Рунге—Кутта — одним из наиболее употребительных методов повышенной точности.

Для применения метода необходимо знать исходные значения функ­ ций и их первых производных при нулевом аргументе. Для функций Ф (?) и ф (|) эти значения можно задать произвольно, причем удобно взять

Первому из этих условий, как это видно из (5.77), соответствует

г) (0) ■= As (0) + Ви (0) = 0,

второму же

т)' (0) = As' (0) + Ви' (0) = 0.

Обоим этим условиям можно удовлетворить, положив

Выполнив на ЭВЦМ интегрирование в пределах от | = 0 до I = 1 с достаточно малым шагом (0,05 и меньше), причем для всех промежу­ точных значений в память машины должны быть введены значения

220

■, у и б, получим численные значения всех функций и их первых

‘о

производных для любых £ в указанном диапазоне.* Для получения функции формы / (£) по первой из формул (5.78)

нужно найти постоянные А, В. Для нахождения их воспользуемся граничными условиями (5.74) при х = 1

нием значения функций s (£) и и (£) и их производных при £ = 1, по­ лучим [см. второе из уравнений (5.78) ]

s (lM + и(1)В = 0;

(5.83)

s'(l)A + u'(l)B = -

Решив полученную систему и найдя А и В, можно по первой из формулы (5.78) найти искомую функцию формы колебаний f (£), обу­ словленную изгибом (кормальными напряжениями),

Форма колебаний от сдвига (от касательных напряжений) связана

сформой от изгиба уравнением (5.53)

/, = —2(1 + ^ ~ Г

Fo

чения судна в любой момент времени, которое вызвано гармонической силой, приложенной в оконечности корпуса

В случае необходимости может быть найден и изгибающий момент,

* Для машины БЭСМ-4 применительно к методу Рунге—Кутта в модифика­ ции Мерсона по специальной программе предусмотрено решение задачи о вынуж­ денных колебаниях с учетом сдвига при наличии гистерезисного сопротивления. Рассматриваемая в тексте задача является ее частным случаем. Для ее рещения при вводе данных в память машины коэффициент сопротивления следует поло­ жить равным нулю.

221

Вынужденные колебания скоростных судов с учетом гистерезисного сопротивления. У скоростных судов преобладает гистерезисное со­ противление, так как присоединенная масса воды либо мала (суда на подводных крыльях), либо вообще отсутствует (суда на воздушной подушке). В этом случае, считая, что на судно действуют либо перио­ дические сосредоточенные силы, либо моменты, которые входят в гра­ ничные условия или условия сопряжения, будем иметь следующие уравнения, полученные из уравнений (5.4) и (5.5):

Решение в замкнутой форме этих уравнений при наличии сопротив­ лений было получено В. В. Бородачевым* в виде

где f и / а — комплексные значения форм колебаний.

Подставляя (5.89) в уравнения (5.88) и сокращая на неравный нулю множитель е1(Ш+а\ получим два уравнения относительно форм главных колебаний f и

Подвергая систему уравнений (5.90) тем жепреобразованиям, которые применялись в расчете без учета сопротивлений (с. 218), и учитывая, что Е = 2 (1 + ц) G, получим дифференциальное уравне­ ние, аналогичное (5.73),

222

Г Л А В А

6

СУДОВОЙ НАБОР

Вэтой главе рассматриваются методы определения свободных и вынужденных колебаний стержневых конструкций более сложных, чем рассмотренные в главе 3 двухопорные балки. К таким конструк­ циям относятся многопролетные балки, бимсы, карлингсы, кильсоны, флоры, а также шпангоутные рамы и перекрытия.

Врасчетах на вибрацию стержневых систем есть аналогия с рас­ четами их на статическую нагрузку, так разыскание вынужденных колебаний балок математически идентично расчету их на изгиб, а оп­ ределение частот свободных колебаний — разысканию критической силы. Это позволяет в расчетах вибрации применять известные приемы строительной механики.

Путем введения специальных функций, как табулированных (функ­ ции фх, ф2 в табл. 8 и 9), так и иных, удается распространить методы раскрытия статической неопределимости сложных конструкций (ме­ тод трех моментов, приравнивания прогибов, угловых деформаций и др.) на случаи приложения динамических нагрузок — гармонически меняющихся сил или моментов. Некоторые из этих методов, в частно­ сти теорема трех динамических моментов, изложены в настоящей главе.

§ 24

БАЛКИ

Метод трех динамических моментов. Определение амплитуд вынуж­ денных колебаний многопролетных балок, как и разыскание частот их свободных колебаний, может быть выполнено методом трех динамиче­ ских моментов.

Предположим, что в одном или нескольких пролетах многопролет­ ной балки (рис. 45) с разными в отдельных пролетах интенсивностями распределенных масс и разными моментами инерции сечений дейст­ вуют периодические усилия, вызывающие колебания. Усилия могут быть различными (силы, моменты, распределенные по длине пролета нагрузки), но будем рассматривать только гармонические имеющие одинаковую частоту нагрузки. Нагрузки, имеющие другую частоту, следует объединять в другую группу, рассматривать отдельно, и ре­ зультаты расчетов потом следует алгебраически сложить. Силы со­ противления колебаниям сначала будем считать отсутствующими, а затем приведем указания, каким образом можно учесть сопротивление колебаниям.

Обозначим усилия, действующие в произвольном пролете fg через Qig (х) cos со/, причем Qfg (х) — некоторая заданная функция от х. При изгибных колебаниях балки у опор появляются неизвестные пока динамические изгибающие моменты, гармонически меняющиеся во времени Mfcos со/, Afgcos со/,... аналогично статическим изгибающим

223

моментам, появляющимся при нагружении балки постоянными, не меняющимися во времени усилиями.

Если произвести мысленные разрезы балки над опорами, то дейст­ вие соседних пролетов должно быть заменено указанными изгибаю­ щими моментами.

Необходимые уравнения для определения амплитуд неизвестных опорных моментов Mf, Mg, . . . можно составить, приравняв углы

поворота двух соседних пролетов балки слева и справа от любой опоры, рассматривая каждый из пролетов, поскольку произведены мыслен­ ные разрезы балки над опорами, как свободно опертую на две опоры балку. Углы поворота свободно опертых на жесткие опоры балок под действием периодических усилий (опорных моментов, сосредоточен­ ных или распределенных сил, действующих в пролете) вычисляют ме­ тодами, изложенными в § 10.

Приравняв углы поворота слева и справа от g -й опоры (см. рис. 45)

и использовав формулы (3.35), получим

от возмущающих нагрузок в пролетах f g и g h , зависящие от вида этих нагрузок и от аргументов v [см. формулу (3.32) ]

224

в левую часть, получить следующее уравнение трех динамических моментов:

Уравнений вида (6.2) можно составить столько, сколько имеется неизвестных амплитуд опорных моментов. Аналогичным образом можно составить уравнение и в случае, если концы балки (или один из концов) жестко заделаны. Угол поворота от двух надопорных мо­ ментов крайнего пролета и нагрузки на него в случае жесткой заделки надо приравнять нулю.

Решив систему уравнений (6.2), т. е. найдя амплитуды всех над­ опорных моментов, можно, имея заданные возмущающие усилия в про­ летах, определить амплитуды вынужденных колебаний и другие эле­ менты изгиба балки в любой точке в любой момент времени, в любом ее пролете. Решение уравнений (6.2) не сложнее обычного расчета на изгиб при статической нагрузке и, если уравнений много, легко может быть выполнено на ЭЦВМ.

Метод трех динамических моментов может быть применен не только к разысканию вынужденных колебаний многоопорных балок, но и к определению частот их свободных колебаний.

При расчете свободных колебаний многоопорных балок возмущаю­ щих сил нет, и в уравнении (6.2) правая часть будет отсутствовать. Соответствующая система уравнений относительно опорных моментов Mg станет однородной, причем аргументы v, связанные с возмущаю­ щей частотой со, следует заменить аргументами р, связанными с собст­ венной частотой Я,

Система уравнений (6.4) однородна относительно опорных мо­ ментов. При изгибных колебаниях балки опорные изгибающие мо­ менты, как правило, не равны нулю.* Однородная система уравнений может иметь неравные нулю корни лишь в случае, если определитель этой системы равен нулю.

Приравнивая определитель уравнения (6.4) нулю и развертывая его, получим уравнение частот, поскольку в это уравнение войдут величины pgft, связанные с частотами равенством (6.3).

* Нулевые опорные моменты возможны только при кратных отношениях длин пролетов. См. В. В. Д а в ы д о в , Н. В. М а т т е с. Динамические расчеты прочности судовых конструкций. М., «Транспорт», 1965.

Элементы указанного определителя содержат трансцендентные функции фх и ф,, поэтому и уравнение частот будет трансцендентным уравнением, позволяющим получить бесконечное число корней, как и должно быть для балки, обладающей бесконечным числом степеней свободы.

Развертывание определителя и главное решение соответствующего трансцендентного уравнения частот представляют значительные труд­ ности. Однако обычно у судовых балок число промежуточных опор бывает невелико, а разыскание корней значительно облегчается воз­ можностью предугадать пределы, в которых они заключаются. Для назначения пределов, в которых находится, например, низшая частота многоопорной балки, можно вычислить частоту наиболее гибкого (длинного, тяжелого, с малым моментом инерции) пролета в предпо­

лета жестко заделаны (р = 4,73). Очевидно, что низшая частота балки должна заключаться между указанными частотами.

При решении уравнения частот надо предварительно все аргументы

взяв в качестве I, т, I элементы какого-нибудь одного из пролетов балки или, вообще говоря, любые удобные для вычислений числа. Тогда аргументы всех остальных пролетов равны

(6.6)

После.такой замены трансцендентное уравнение частот будет со­ держать лишь одно неизвестное р. Найдя ряд значений этого параметра (Pi, р 2) . . .), можно по формуле (6.5) определить и соответствующие частоты, т. е. если найден для какого-либо тона аргумент р/, то

(6.7)

После того, как частота какого-либо /-го тона найдена, можно, если это необходимо, определить и соответствующую ей форму коле­ баний. Для этого в систему однородных уравнений (6.4) следует под­

опорных моментов можно выбрать произвольно, например равным единице. Когда моменты найдены, можно найти и форму колебаний каждого пролета (пользуясь формулами главы 3), а значит, и всей балки в целом

226

Учет сопротивления. Как мы видели ранее, сопротивление мало отражается на частотах свободных колебаний. Поэтому при определе­ нии собственных частот сопротивлениями всегда пренебрегают. Иначе обстоит дело с вынужденными колебаниями.

Если в результате расчета вынужденных колебаний без учета со­ противлений амплитуды колебаний оказываются значительными из-за близости возмущающей частоты к одной из собственных частот, же­ лательно учесть сопротивление колебаниям, и такой расчет может быть выполнен.

Укажем путь расчета в случае учета только внутреннего гистере­ зисного сопротивления, основанный на замене во всех формулах мо­ дуля упругости Е его комплексным значением

Возмущающие силы следует взять первоначально также в комплек

а в результативных выражениях в конце расчетов выделить действи­ тельную часть.

В рассматриваемом случае уравнение трех динамических моментов (6.2) примет вид

Функции ф1; ф2 комплексных аргументов следует вычислять по формулам (3.36), но входящие в них тригонометрические функции при­ ходится заменить по формулам (3.52). Так же следует поступать и с углами поворота от пролетных нагрузок.

Систему уравнений (6.10) решают относительно амплитуд момен­ тов. Таким образом раскрывается статическая, точнее динамическая, неопределимость, после чего каждый пролет можно рассматривать отдельно как однопролетную балку, свободно опертую на жесткие опоры.

* В общем случае его можно взять и различным.

Составление и решение системы трех динамических моментов (6.10), учитывая комплексность аргументов, представляет довольно значи­ тельные вычислительные трудности, однако принципиально вполне преодолимые.

Выделять из комплексных выражений действительную часть нужно лишь на последнем этапе, чтобы не упустить действительных слагае­ мых, получающихся от перемножения мнимых. Задачу о вынужден­ ных и свободных колебаниях многопролетных балок можно решать, раскрывая неопределимость не только методом моментов, но и другими

методами: методом приравнивая про­

П р и м е р . Определить для изображенной на рис. 46 двухпролетной балки амплитуду вынужденных колебаний в середине правого пролета, где приложена возмущающая сила Р cos со/ при следующих числовых данных:

Сопротивление колебаниям не учитывать.

Для заданной балки необходимо составить всего одно уравнение вида (6.2). При составлении его учитываем также формулы (3.38)

* О применении метода угловых деформаций и приравнивания прогибов см. В. В. Д а в ы д о в , Н. М. М а т т е с. Динамические расчеты прочности судовых конструкций. М., «Транспорт», 1965.

228