книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Bv{x), от изгибающего момента М cos со/— прогиб А'м (х) и угол поворота Вм (х). Соответственно для правой части парциальными от­ кликами будут прогибы A v {x), Ам (х) и углы поворота B v {х) и

Вм (х).

На рис. 29 показан случай, когда для правой части статическая податливость благодаря наличию шарнирной опоры равна бесконеч­ ности. Динамическая же податливость при гармонической пульси­ рующей силе может иметь конечное значение и зависит от распреде­ ления массы по балке и от ее гибкости

Парциальные отклики характеризуют динамическую податливость балки; их удобно вычислять последовательно, присоединяя парциаль­ ные системы длиной А/, от х = А/, до некоторой координаты х = /А/, где / —любое число, меньшее или

Pcoscot равное числу участков балки.

Парциальные отклики состоят из двух частей: из части, характе­ ризующей упругие свойства конструкции, приведенной к безынер­ ционным связям, и части, учитывающей инерционные свойства послед­ него звена парциальной системы.

Для получения парциальных откликов можно применить решения дифференциальных уравнений колебаний рассматриваемой конструк­ ции (глава 3, § 10—11).

При учете внутренних или внешних сопротивлений удобно поль­ зоваться комплексной формой решения.

Интегрирование дифференциальных уравнений непризматического стержня выполняют численным методом (Рунге—Кутта, Эйлера и др.). Парциальные отклики можно получить и способом замены балки дис­ кретной системой масс и жесткостей, как это будет показано ниже.

Каждая внешняя сила, действующая на балку в некотором сече­ нии х = /А/, равная Р,- cos ср/, разделяется на две части: силу, дейст­ вующую на левую часть балки, a'.P^cos со/, и силу, действующую на

правую часть балки, ocJPeos со/.

145

Коэффициенты а', и а", находятся совместным решением двух урав­

нений, а именно: из условия, что сумма сил равна силе Pjcos со/, при­ ложенной в сечении, и из условия равенства перемещений левого и правого концов балки в этом же сечении.

Перемещение в некоторой точке х находится как сумма произведе­ ний сил, лежащих сперва слева, затем справа от сечения, на соответст­ вующие парциальные отклики.

Когда найдены перемещения, не составляет труда найти усилия и напряжения в балке.

Система масс, совершающих вынужденные колебания. Рассмотрим систему масс M lt М 2, . . . , М/, . . . . Мп, соединенных друг с другом и с концевыми неподвижными точками О и В пружинами различной жесткости N lt N 2...........Njt . . . , Nn+i (рис. 31, а). Сопротивление учитывать не будем.

Пусть к какой-нибудь массе, например к массе Му, приложена внешняя заданная сила Р cos tol и требуется найти вынужденные ко­ лебания всех масс.

К такой схеме может быть приведена задача о продольных колеба­ ниях призматической балки. Для этого заданную балку следует раз­ бить на достаточно большое число участков и каждый участок заме-

EFi

нить массой М/ = т/I/ и пружиной жесткости Nj — —jL , где тп;- —

интенсивность распределения массы заданной балки в районе /-го участка, a Ft — ее поперечное сечение.

146

Рассмотрим первый участок 0—1 с массой М х на конце (рис. 31,6) и найдем левый парциальный отклик под действием единичной гармо­

Перемещения точки 1, в которой расположена масса М х под дейст­ вием силы F cos со t были бы точно такими же, если бы массы М х не было, а пружина, соединяющая эту точку с неподвижной опорой О обладала бы жесткостью N x — М хсо2 (рис. 31, в). Пружина без массы такой жесткости «отзывается» на действие силы F cos со/, также как масса М х, на пружине жесткости N x.

Случай двух масс (рис. 31, г) полностью эквивалентен случаю, изо­ браженному на рис. 31, д, если считать, что часть 0—1 обладает ди­ намической жесткостью N х — М хсо2, а другая часть 1—2 жесткостью

N 2.

были бы такими же, если бы в точке 2 не было бы этой массы (рис. 31 ,е), а жесткость связи 0—2 была бы равна

N'2— M2a)2.

Продолжая указанный процесс, т. е. присоединяя последовательно парциальные системы (пружины с массами на концах), а затем избав­ ляясь от масс путем введения приведенных жесткостей, получим две

147

группы формул для последовательно приведенных жесткостей и пар­ циальных откликов

N,_x -

Подобным же образом определяют приведенные жесткости и пар­ циальные отклики для правой части системы, идя справа налево от правого конца балки В,

N"j+2- M j+xto2

Переходим к определению перемещений, вызванных силой Р cos со/, приложенной к массе Mj. Суммарная жесткость пружин, между ко­ торыми находится масса Mj, равна

К массе М, приложена возмущающая сила Р cos со/, две реакции пружин, пропорциональные отклонению ujt и даламберова сила инер­ ции (рис. 31, ж). Поэтому ее движение определяется уравнением

148

f

Идея метода. Всякая сложная конструкция может быть разделена на некоторое количество простейших конструкций, для которых зна­ ние усилий в сечениях, выделяющих эту простейшую конструкцию, позволяет получить для нее напряжения и деформации в любых ее точках.

Например, при расчете статически неопределимой рамы мы раз­ биваем ее на отдельные стержни и, применяя метод сил или переме­ щений, определяем усилия (обычно изгибающие моменты) или пере­ мещения (обычно углы поворота узлов) в точках соединения стерж­ ней — узлах рамы. Найдя эти усилия (или перемещения), можно по элементарным формулам однопролетных балок определить изгибаю­ щие моменты, срезывающие силы или упругие линии в составляющих раму стержнях.

Конечность размеров выделенных из конструкции элементов обус­ ловило название схематически описанного ниже расчетного приема— метода конечных элементов. Этот метод может быть применен не только к рамным конструкциям, но и к пластинам, оболочкам и сплошным упругим телам.

При практической реализации метода конечных элементов, при раскрытии статической неопределимости за неизвестное предпочитают принимать перемещения, так как при этом матрица коэффициентов при неизвестных составляется проще и часто оказывается ленточной (коэффициенты группируются около главной диагонали).

Если элементы конструкции представляют собой стержни, то в раз­ деляющих элементы сечениях в общем случае действует шесть ориен­ тированных по главным осям инерции сечений усилий (продольная сила, две поперечные силы, два изгибающих момента и крутящий мо­ мент). Ниже мы ограничимся рассмотрением только двух простых слу­

150

чаев: случаем, когда между элементами действует только одно про­ дольное усилие (продольные колебания) и случаем изгибных колеба­ ний, при которых в разделяющих сечениях действуют лишь срезываю­ щая сила и изгибающий момент. За основные неизвестные в обоих случаях будут взяты перемещения.

Продольные колебания. Рассмотрим сначала более простой случай продольных вынужденных колебаний тяжелой в общем случае непри­ зматической балки. Рассекая мысленно балку на элементы длиной 1ъ ^2>. . . и сосредоточивая массы этих элементов в местах примыка­ ния элементов друг к другу,* можно получить систему сосредоточен­ ных масс, упруго соединенных друг с другом, изображенную на рис. 31, а. Жесткости пружин, соединяющих массы, очевидно, равны

где Fj, F2, . . . — площади поперечных сечений балки на соответст­ вующих участках, а Е — модуль упругости.

Если к одной из масс (/-й) приложена возмущающая сила Pcos шt, то при отсутствии сопротивления все массы получат перемещения:

и указанная выше сила инерции, направленная в сторону, противо­ положную ускорению, т. е. вправо. Приравниваем согласно условию динамического равновесия сумму этих сил нулю:**

— Nihcos at + N2(/2—/i) cos at-\-Mxfia2cos at = 0

или

{Ni + N2- M i a 2) h - N 2h = 0.

*Половину массы участка балки следует сосредоточить на левом конце участка, а другую — на правом.

**Все перемещения, ускорения и силы условимся считать положительными, направленными вправо.

151

Составив условия равновесия остальных масс, получим систему алгебраических уравнений относительно амплитуд перемещений

иограничиться первыми /-уравнениями этой системы.

Вслучае свободных концов следует считать в системе уравнений <(3.83) соответствующие жесткости (Nl или vVn+1) равными нулю.

Метод конечных элементов и, в частности, уравнения (3.83) могут быть приспособлены и для определения собственных частот и форм колебаний. Для этого нужно приравнять определитель, составленный из коэффициентов при перемещениях f1; f2, , fn системы (3.83), нулю и найти его корни ©!, w2, . . . , которые и будут собственными частотами.

Для рассмотренного в конце предыдущего параграфа примера (см. также рис. 19, с. 81) система (3.83) имеет вид

Поперечные колебания. Как и в задаче о продольных колебаниях, массы элементов балки будем считать сосредоточенными в сечениях, разделяющих элементы.

Ради общности возьмем непризматическую балку со ступенчато меняющимися по длине жесткостями (но не меняющимися на протя­ жении каждого элемента).

Пусть на балку в каком-нибудь /-м сечении, разделяющем эле­ менты h—/ и /—к, действует гармоническая возмущающая сила Р cos at или момент М cos со^. В результате этого возникнут колеба­ ния и отдельные сечения получат гармонически меняющиеся смещения

Амплитуды указанных перемещений и усилий для элемента h— показаны на рис. 32, а. Будем считать прогибы и поперечные силы по­ ложительными при направлении их вниз, моменты же положитель­

152

ными при действии их против часовой стрелки, углы поворота поло жительными при повороте по часовой стрелке. На рис. 32, а все эти величины показаны положительными.

Составим выражения для прогиба и угла наклона правого конца элемента h —/, считая, что левый его конец имеет смещение f h и угол поворота ah.

Под действием момента M!h и сосредоточенной силы Vth на правом конце прогиб равен

Решив эти уравнения относительно Mih и Vjh, получим

Систему уравнений относительно перемещений / и а можно полу­ чить из рассмотрения равновесия узлов — бесконечно малых участ­ ков балки, в которых предполагаются сосредоточенными массы.

Если в узле / сосредоточенная масса Mt- совершает колебания по уравнению

W,- = f j cos (tit (причем Wj = —/;ю2 cos ( at ),

153

то силы Vihcos a t , Vjkcos (sst, даламберова сила инерции /W;-(o2/;cos ( a t

Аналогичное условие можно получить, если учесть, что внешний возмущающий момент М cos ( a t распределялся между внутренними

Mih+ M lk = M. (б)

Подставив в условия (а) и (б) **выражения (3.84) и (3.84а), получим

По соображениям компактности записей введем новые неизвестные

*В уравнение (б) может быть введен также и момент сил инерции массы, возникающий при угловых колебаниях (JftjVi2). Однако при небольших попе­ речных размерах балки по сравнению с ее длиной и достаточно большом числе элементов, на которые разделена балка, учет инерции вращения практически не отражается на результатах расчета.

**Здесь / 0, /„ — произвольные величины, имеющие размерность момента

инерции и длины.

154