книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Полученная формула (1.66) позволяет объяснить описанные яв­ ления.

На рис. 16 приведена кривая Ofgh амплитуд колебаний в зависи­ мости от частоты, построенная по формуле (1.35). На том же рисунке приведена и другая кривая OFGH, построенная по формуле (1.66) при к = 0, отображающая связь между мощностью U и частотой со.

Задаваясь определенными значениями мощностей, можно, пользуясь кривыми рис. 16, определить соответствующие значения частоты и амплитуды колебаний. Например, при мощности и г простым построе­ нием можно получить соответствующие этой мощности частоту сох = = ОБ и амплитуду ВС.

Последовательно задаваясь все более высокими значениями мощ­ ностей, подойдем к точке F, при этом окажется, что значительному

Рис. 16. Амплитуда колебаний а и мощность U в за* висимости от частоты со

росту мощности соответствует сравнительно незначительное увели­ чение частоты, но значительное возрастание амплитуд. Так будет про­ текать колебательный процесс вплоть до момента, соответствующего точке F. Дальнейшее, даже небольшое повышение мощности сверх ее значения, соответствующего точке F, приведет к резкому скачко­ образному увеличению частоты до значения со 2, поскольку горизон­ тальная линия для этого значения мощности пересечет кривую OFGH только в точке Я, и столь же резкому уменьшению амплитуд колеба­ ний: со значения tnf до значения tih.

После отмеченного скачка дальнейшее повышение мощности будет сопровождаться плавным увеличением частоты и уменьшением ампли-» туд. Амплитуды будут стремиться к своему пределу ат.

В процессе медленной остановки машины (медленного уменьшения подводимой к машине мощности) на участке HG вплоть до точки G частота будет плавно уменьшаться, а амплитуда — плавно увеличи­ ваться (от значения nh до значения rg). Однако дальнейшее уменьше­ ние мощности приведет к резкому скачкообразному падению частоты до значения со3 и возрастанию амплитуды от значения rg до значения

60

pi. Режим работы машины, соответствующий участку FG кривой мощ­ ности и участку fg кривой амплитуд, неустойчив.

При дальнейшем уменьшении мощности и частота, и амплитуда будут уменьшаться.

В случае внутреннего сопротивления явление прохождения через резонанс качественно будет таким же.

Энергетический метод определения собственных частот. Идея энер­ гетического метода определения собственных частот основывается на том, что при отсутствий сопротивлений энергия колебаний остается постоянной, и всегда наибольшее значение кинетической энергии (при прохождении системы через равновесное состояние) равно наиболь­ шему значению потенциальной энергии (которое будет в моменты наи­ больших отклонений при нулевых скоростях)

К макс == Пмакс-

Это обстоятельство, а также возможность в более простых случаях предвидеть формы колебаний позволяют определять собственную ча­

Принимая зависимость колебаний от времени во всех случаях гар­ монической и задавшись приближенной формой колебаний (в этом состоит приближенность метода), вычисляем наибольшие значения кинетической и потенциальной энергий и из условия их равенства находим собственную частоту колебаний, соответствующую принятой их форме. Точность решения, очевидно, зависит от близости выбран­ ной формы колебаний к действительной.

При выборе формы колебаний надо следить за тем, чтобы она удов­ летворяла всем кинематическим связям, наложенным на систему (на­ пример, условиям обращения в нуль прогибов или углов поворота балок в некоторых сечениях и т. п.).

Принятие любого приближенного закона деформации упругой си­ стемы, вместо истинного, всегда приводит к некоторому завышению частоты: приближенная частота всегда больше действительной. В са­ мом деле, выбор определенного закона деформации равносилен введе­ нию некоторых дополнительных ограничений, приводящих систему со многими степенями свободы к системе с одной степенью свободы. Такие дополнительные ограничения могут только увеличить жест­ кость системы, т. е. увеличить частоту колебаний.

Сделанное замечание справедливо лишь в отношении систем с од­ ной степенью свободы и для частоты первого (низшего) тона колеба­ ний систем с несколькими степенями свободы. При определении выс­ ших частот принятие приближенных форм колебаний может привести и к занижению частот.

Рэлей доказал теорему о том, что истинные формы колебаний об­ ращают соответствующие им частоты в относительные экстремумы.

Следовательно, поскольку вблизи экстремумов функция меняется незначительно, принятие приближенной формы колебаний вместо действительной не вносит существенной погрешности.

61

Поясним на примерах изгибных колебаний простейших балок, как применять описанный метод, называемый методом Рэлея.

П р и м е р 1. Определить, пренебрегая сопротивлением, собственную ча­ стоту колебаний груза на свободно опертой балке (см. рис. 7), приближенно учтя и массу т самой балки, считая ее равномерно распределенной по всей длине.

Ранее (с. 22) была определена частота колебаний груза на балке без учета массы балки

Теперь постараемся учесть, кроме массы груза, и массу самой балки. В ка­ честве функции колебаний возьмем наиболее удобную зависимость для матема­

тических операций — функцию синуса. Функция sin — , т. е. синусоидальная

полуволна, удовлетворяет условиям на концах балки (отсутствие прогиба при х = 0 и х = I) и дает максимальный прогиб в середине пролета, что весьма прав­ доподобно для основного тона колебаний. При гармонической зависимости ко­ лебаний от времени выражение для прогиба в любом месте балки в любой момент времени будет иметь вид

составим выражения для кинетической и потенциальной энергий колеблющейся балки.

62

Приравняв друг другу максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, получим уравнение для нахождения частоты

л*а*Е1

— aW (m + 2M)

41*

откуда

£/

X —я2 (1.67)

(т + 2М) Р

Из формулы (1.67) можно получить значение собственной частоты при­ зматической балки без груза с равномерным распределением массы балки по длине ее (при М = 0),

Х= л2

атакже значение собственной частоты для невесомой балки с сосредоточен ной массой в середине пролета

48,7EI

Я, = л2

МР

Первая из них случайно (выбранная форма колебаний является истинной формой колебаний первого тона призматической балки) оказалась, как мы убе­ димся ниже (см. с. 100), абсолютно точной, вторая же завышает истинную ча­ стоту а на 0,7%.

П р и м е р 2. Определить, пренебрегая сопротивлением, собственную ча­ стоту колебаний массы М, подвешенной на спиральной пружине, масса кото­ рой равна т, а жесткость N (рис. 17).

Рассмотрим последовательно три состояния системы.

Состояние А, в котором система находится в покое в равновесном положении. Натяжение пружины в ее нижнем конце равно при этом весу груза Mg, а сила, приложенная к верхнему концу пружины, будет уравновешивать также и вес пружины, т. е. равна Mg + mg. Поскольку вес пружины равномерно распреде­

Рассмотрим также состояние В, одно из состояний в процессе колебаний, характеризующееся отклонением на величину <р от равновесного состояния. В состоянии В несколько уменьшится по сравнению с состоянием А энергия по­ ложения (масса М опустится на величину ср, а центр тяжести пружины на ве­ личину 0,5 ф), но энергия пружины будет больше

п в = п 0 — М^ф— Ю£ф + - i - ЛГ(фст + ф)2.

Раскрывая скобки и пользуясь соотношением (б), можно получить

n B = n o + - f V ct+ Y ^ 2

63

и л и

Последняя формула показывает, что независимо от знака отклонения (опу­ скания массы М вниз от равновесного состояния или подъема вверх) потенци­ альная энергия увеличивается, или, что то же, в состоянии статического равно­ весия потенциальная энергия минимальна. В частности, в положении С, когда пружина не напряжена, по сравнению с положением А увеличится энергия по­ ложения и исчезнет энергия пружины

Пс = ПА + [Mg + Y mg) Фст - -L N(flT= UA + -L N& .

Hr

Рис. 17. К примеру на с. 63

Итак, если в процессе колебаний около положения статического равнове­ сия масса М получит отклонение ф от этого положения, система приобретает энергию

Рассмотрим теперь кинетическую энергию. Пренебрегая влиянием массы пружины на форму колебаний, можно принять, что перемещение любого эле­ мента пружины, расположенного на расстоянии г от неподвижного конца, бу­

64

щение от положения равновесия нижнего конца пружины (груза М), а I — длина пружины. Поэтому кинетическая энергия системы, состоящей из груза М и пружины, равна

откуда

__ N_

( 1.68)

М + •

Таким образом, чтобы учесть массу пружины, нужно к основному колеблю­ щемуся грузу прибавить одну треть массы пружины.

Формула (1.68) дает по сравнению с точным решением* несколько завышен­ ные значения для частоты низшего тона, но погрешность ее незначительна; даже для предельного случая (М ->-0) ошибка составляет всего 10%, а при массе пружины, не превышающей массы груза, ошибка менее одного процента.

ГЛАВА

2

СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§ 6

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Всякая упругая система состоит из нескольких отдельных мате­ риальных точек, так или иначе связанных друг с другом. Положение каждой из этих точек может быть определено тремя декартовыми ко­ ординатами Xj, у,-, Zj, которые при колебаниях изменяются во вре-

* См., например, С. П. Т и м о ш е н к о . Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. М., «Наука», 1967.

мени. Как и в случае системы с одной степенью свободы, мы в теории колебаний интересуемся преимущественно не самими координатами точки, а изменениями этих координат — так называемыми перемеще­ ниями щ , V/, Wj (рис. 18).

Любое перемещение точки из одного положения в другое (напри­ мер, из положения А в положение В) можно считать состоящим из этих трех перемещений.

Примем, что в положении равновесия перемещения отсутствуют,

все Uj = Vj = Wj = 0.

Если упругая система состоит из п материальных точек, то поло­ жение в любой момент определяется Зя перемещениями, которые в за­ дачах упругих колебаний играют роль координат: ul7 vlt wx, и 2, v2, w2, . . . , ип, v n , wn.

Если все Зя перемещений независимы, то говорят, что система об­ ладает Зя степенями свободы. Если же перемещения отдельных точек

висящими явно от времени) и идеальными (работа реакций связей на возможных перемещениях равна нулю). В этом случае уравнения свя­ зей имеют вид

fi(ult vu wlt и2, . . . , wn) = 0\

M “i. vx, ®[, u2,. . . , wn) = O';

vlt wu u2, . . . , wn = 0.

Этими уравнениями можно воспользоваться, чтобы часть переме­ щений (s) выразить через остальные (3п—s). Иными словами, для того, чтобы определить положение всех материальных точек системы, не обязательно задать 3п величин — можно ограничиться меньшим чис­ лом и недостающие вычислить по уравнениям связей.

Сложность решения отдельных вопросов теории колебаний сильно зависит от удачного выбора координат, определяющих положение системы. Все вопросы значительно упрощаются, если удается характе­ ризовать положение системы возможно меньшим количеством коорди­

66

нат. Минимальное число таких координат, очевидно, равно числу сте­ пеней свободы

т = 3/г — s.

Совокупность независимых величин, вполне и однозначно опреде­ ляющих положение системы, называется обобщенными координатами. Обобщенными координатами могут быть самые разнообразные вели­ чины: те же декартовы координаты, углы, расстояния до некоторых центров и т. п.

Условие, чтобы обобщенные координаты исчерпывающим образом и однозначно определяли положение системы, аналитически может быть выражено как требование, чтобы декартовы перемещения точек могли быть выражены через обобщенные координаты

где Xp Y Z;-— проекции на соответственные оси всех сил, действую­ щих на /-ю материальную частицу, обладающую массой mjt т. е. сил упругости, сил сопротивления (и возмущающих сил, если рассматри­ вались бы вынужденные колебания).

Уравнения (2.2) должны решаться совместно с уравнениями свя­ зей (2.1), что сильно затрудняет решение. Поэтому во многих случаях удобнее вести решение с помощью обобщенных координат (при ис­ пользовании которых уравнения связей автоматически выполняются).

Применение уравнений Лагранжа. Необходимые дифференциальные уравнения движения можно составлять, применяя непосредственно закон Ньютона, т. е. составлять уравнения в форме, аналогичной урав­ нениям (2.2), но обычно для составления уравнений в обобщенных ко­ ординатах пользуются уравнениями Лагранжа второго рода

где ф;- — обобщенная координата;

ФI — ее производная по времени, т. е. обобщенная скорость; К — кинетическая энергия всей системы;

Фу — обобщенная сила, соответствующая той обобщенной коор­ динате, для которой составляется уравнение, равная отно­ шению величины работы всех сил, действующих на систему при приращении соответствующей координаты на величину бфу к этому приращению

Общие уравнения Лагранжа применительно к изучению малых упругих колебаний могут быть несколько упрощены. Рассмотрим для этого подробнее выражение для кинетической энергии и обобщенной силы.

Кинетическая энергия системы из п материальных точек, как из­ вестно,

™аш,- •

щ= 2 г 1

*=1 дч>к

иподставляя их в (б), получим

сами.

На практике обычно удается выразить кинетическую энергию сразу через обобщенные скорости, т. е. получить значения всех обобщенных масс и выражение (2.5), не прибегая к переходу к обобщенным скоро­ стям от декартовых.

Если уравнения (а) являются линейными, т. е. декартовы переме­ щения линейно зависят от обобщенных координат, то все производные

как и величины Mjk, будут величинами постоянными. В общем случае произвольного вида зависимостей (a) MIk будут функциями обобщен­ ных координат. Однако при изучении малых колебаний можно и в этом последнем случае (разлагая Mjk в ряды по степеням малых ве­ личин — обобщенных координат и пренебрегая членами высших по­ рядков малости) приближенно считать обобщенные массы Mjk вели­ чинами постоянными, не зависящими ни от обобщенных координат, ни от обобщенных скоростей. Таким образом, кинетическая энергия системы выражается однородной функцией второй степени от обоб­ щенных скоростей (2.5) и не зависит от обобщенных координат. Сле­ довательно, в общем уравнении Лагранжа (2.3) мы можем второе сла­ гаемое левой части считать равным нулю, и уравнение это примет вид

68

Заметим попутно, что формула (2.5) всегда дает положительное значение К, как это отвечает физической сущности явления, хотя от­ дельные слагаемые могут быть и отрицательными. Это следует из вида выражения (б), исходного для (2.5).

Обобщенные массы M jk можно считать, не ограничивая общности, удовлетворяющими условиям взаимности

М ik= Мы-

Действительно, если бы при фактическом составлении выражения для кинетической энергии этого не оказалось и мы получили бы два различных коэффициента в ряде

. . . +М'1кф/фА+ . . . +М*/Ф/Фь то заменой Mjk = MkJ = - y (М ^ + M'kj)

всегда можно добиться соблюдения условия взаимности.

При рассмотрении свободных колебаний, их собственных частот и форм силами сопротивления колебаниям можно в большинстве слу­ чаев пренебречь. Как и в случае системы с одной степенью свободы сопротивление несколько уменьшит собственные частоты и влечет за собой затухание колебаний.

Поэтому, пренебрегая сопротивлениями, под обобщенной силой Фу в уравнении (2.6) следует понимать лишь восстанавливающие силы упругости. Их можно получить из рассмотрения потенциальной энер­ гии системы.

Работа сил потенциального поля при приращении координаты ф; на величину бфу равна падению потенциала (уменьшению потенциаль­ ной энергии) при том же приращении. Поскольку приращение потен­

циальной энергии П равно -|2-6фу, уменьшение П будет равно такой

же величине, но взятой с обратным знаком

Таким образом, обобщенная сила, рассматриваемая как отношение работы сил к приращению обобщенной координаты, будет* в этом слу­ чае равна

Следовательно, для свободных колебаний без учета сил сопротив­ ления уравнения Лагранжа принимают вид

которыми мы будем пользоваться для составления дифференциальных уравнений движения.

69