книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Подставляя значения k x, k 2 в выражение (а), получим

где D x и D 2— другие произвольные постоянные, которые легко могут быть выражены через Сг и С2.

Сумму косинусоиды и синусоиды одинаковых аргументов, но раз­ ных амплитуд можно объединить в синусоиду или косинусоиду того

в уравнение (1.7), или постоянные С, а или |3, входящие в уравнения (1.8), определяются по начальным условиям. Например, если известно, что в начальный момент времени t — О отклонение и скорость были

соответственно равны ф0 и ф0 ,то **

Ф = е rt ( ф0cos ф°г^~.<Ро sin ) . (1.9)

Движение по уравнениям (1.7) — (1.9) представляет собой затухаю­ щие гармонические колебания (рис. 6).

иприравнивая коэффициенты, получим

а= с sin а , Ъ = с cos а.

Откуда

20

Круговая частота колебаний Ац измеряемая в с-1 и представляю щая собой число колебаний за 2я секунд, как и связанные с нею пе­ риод колебаний (в секундах)

колебаний и, что особенно важно, не зависит от начальных условий движения [см. формулу (1.6)].

Рис. 6. Затухающие гармонические колебания

Быстрота затухания колебаний характеризуется отношением двух соседних отклонений в одну и ту же сторону. Поскольку аргумент двух соседних отклонений отличается на 2я, множитель, зависящий от тригонометрических функций в выражениях (1.7) — (1.9), будет одним и тем же, поэтому отношение последующего наибольшего от­ клонения к предыдущему отклонению в ту же сторону (отношение CD : АВ, см. рис. 6) будет зависеть только от первого множителя

2лг

(<P/+l) макс __ ё~г (< +т,) _ е—гх1

(ф/)макс е

Указанное отношение

сохраняется постоянным во все время колебаний и не зависит от на­ чальных условий. Амплитуды убывают согласно закону убывающей геометрической прогрессии, коэффициент £ является знаменателем прогрессии, а показатель степени гс1 называется логарифмическим декрементом колебаний.

Следует заметить, что сопротивление, довольно значительно влияя на уменьшение амплитуд колебаний и обусловливая затухание, обычно сравнительно незначительно уменьшает круговую частоту колебаний и увеличивает период. Частота колебаний без сопротивления А, опре­

21

деляемая формулой (1.4), обычно лишь немного больше частоты при наличии сопротивления 'к1, определяемой формулой (1.6). Так, напри­ мер, при g = 0,7, т. е. при довольно большом сопротивлении (прибли­ зительно этот коэффициент принят при построении графика на рис. 6) можно, пользуясь формулой (1.12), найти, что частота без сопротив­ ления была бы всего на 0,17% больше.

П р и м е р . Найти уравнение движения груза массой М = 1т (или по ста­

рой технической системе весом 1 тс или массой 0,102 тс-м—1с2), закрепленного в середине свободно опертой стальной балки, массой которой можно пренебречь, если известно, что в начальный момент времени груз был отклонен вниз на 5 мм от своего положения равновесия, а скорость в этот момент равнялась нулю

(рис. 7), коэффициент сопротивления колебаниям г = 2 с- 1 . Найти также на­ пряжения в балке.

Коэффициент жесткости iV, входящий в уравнение (1.3), является коэффи­ циентом пропорциональности между перемещением и соответствующим ему уси­ лием, или, что то же, есть усилие, соответствующее перемещению, равному еди­ нице.

1000кг

у 1=2000см* W=Шсм3

А. ^5

2500мп 2500пп

Г

Рис. 7. К примерам на стр. 22 и 38

Как известно, прогиб свободно опертой балки под действием силы Р, при ложенной к середине пролета,

Следовательно, силу воздействия балки на груз при прогибе w можно найти по формуле

N = 1536 кН/м [157 тс/м].

Собственную частоту колебаний груза на балке (без сопротивления) опре­ делим по формулам (1.4)

Последнему выражению можно придать и другой вид, если объединить обе тригонометрические функции в одну, по формуле (1.8а).

Зависимость отклонения ф от времени / графически изображена на рис. 6. Колебания затухают довольно быстро. Отношение двух последовательных ам­

Гистерезисное сопротивление. Свободные колебания затухают не только от рассмотренных выше сил сопротивления внешней среды, зависящих от скорости движения. Колебания упругих тел затухают и от внутренних сил сопротивления — внутреннего трения в мате­

риале.

Изменение формы тела при наличии сил внутреннего сопротивле­ ния сопровождается поглощением телом энергии и рассеиванием поглощенной энергии в виде теплоизлучения. Поглощение энергии ма­ териалом объясняется отступлением от идеальной упругости и неод­ нородностью материала, взятого в микрообъемах. Вследствие неодно­ родности материала на границах зерен возникают, даже при малых внешних нагрузках, пики напряжений и пластические (точнее микропластические) деформации, всегда сопровождающиеся затратой энер­ гии, не возвращающейся при разгрузке. Первое нагружение растяги­ ваемого элемента идет по линии ОАВ (рис. 8, а) с некоторым превы­ шением нагружающего усилия Р + АР над его значением Р = Мр, соответствующим закону Гука. При разгрузке же усилие оказывается несколько меньше этого значения. При последовательных полных

23

ляющая собой работу, поглощаемую испытываемым образцом за один цикл, составляет всего несколько процентов от максимальной потенциальной энергии образца в процессе данного колебания. Эта максимальная энергия оценивается площадью OBG.

Отношение поглощенной за цикл (а затем потерянной в виде тепло­ излучения) энергии к полной энергии цикла называется коэффици­ ентом поглощения энергии или относительным рассеиванием энергии.

Коэффициент поглощения энергии сильно зависит от величины наи­ большего напряжения цикла, возрастая с увеличением напряжения.

Коэффициенты поглощения ф для отдельных материалов и для конструкций *

* Большой справочный материал по коэффициентам поглощения сталей, алю­ миниевых сплавов и других материалов в зависимости от напряженного состояния приведен в книге Г. С. П и с а р е н к о , А. П. Я к о в л е в , В. В. Ма т в е е в . Вибро­ поглощающие свойства конструкционных материалов. Киев, «Наукова думка», 1971.

24

Сила упругого сопротивления прямо пропорциональна отклоне­ нию

При гармонических колебаниях

<p(0 = q w s i n ^ ;

Р (i) = ЛГ<рмакеsin Xt.

Последняя синусоидальная зависимость показана на рис. 8, б линией OBD.

Силы дополнительного неупругого сопротивления АР в соответст­ вии с гистерезисным эллипсом максимальны при нулевой деформации (точка Н на рис. 8, а и б), затем по мере роста деформации уменьша­

ются, через четверть периода колебаний t = — исчезают (точка В

4

на рис. 8, а и точка В 1 на рис. 8, б), потом снова достигают максимума (но с обратным знаком), что соответствует точкам С на рис. 8, когда q>, убывая, проходит через нуль, и т. д.

Следуя Е. С. Сорокину [15], силы неупругого сопротивления можно считать подчиненными тому же гармоническому закону (линия НВгСН на рис. 8, б), но со сдвигом (опережением) на четверть периода

Отношение максимальной силы неупругого сопротивления к мак­ симальной силе упругого сопротивления называется коэффициентом неупругого сопротивления

и выражая косинус через синус другого аргумента, получим

АР (/) = иМрмакс sin X (t +

или при любой другой зависимости ср (t)

т. е. сила неупругого сопротивления, соответствующая моменту вре­ мени t, пропорциональна отклонению, которое будет иметь место че­ рез четверть периода.* Коэффициент поглощения ф равен, как указы­

* Их было три четверти периода тому назад

25

валось выше, отношению площади гистерезисного эллипса к площади треугольника OBG (см. рис. 8, а)

. п О Е - О В

*= 1 ------------ *

—- O G - B G

2

Выражая полуоси ОЕ и ОВ через ОН и 0G

т. е. между коэффициентами поглощения и неупругого сопротивления имеется простая связь.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний при наличии гистерезисного сопротивления в отличие от уравнения (1.3), справед­

где С и р — произвольные постоянные интегрирования, которые на­ ходятся по начальным условиям движения, а частота определяется формулой (1.4).

Решение (1.18) показывает, что колебания являются гармониче­ скими затухающими с частотой X, не зависящей от сопротивления. Последнее обстоятельство противоречит физической сущности явле­ ния (частота должна уменьшаться с возрастанием сопротивления) и есть следствие приближенности решения.

Амплитуды убывают по закону геометрической прогрессии со зна­

26

Следует подчеркнуть, что логарифмический декремент колебаний хл не зависит от частоты колебаний, что хорошо подтверждается опы­ том.

Постоянная сила сопротивления. Как указывалось выше, возможны случаи колебаний, когда сила сопротивления не зависит ни от скоро­ сти движения, ни от отклонения, а является постоянной.

Такой случай будет иметь место, например, при скольжении по негладкой горизонтальной плоскости груза, связанного упругой не­

«¥

Если груз массой М передвинуть вправо из положения А, при ко­ тором пружина находится в ненапряженном состоянии, в положение В, то на него начнут действовать реакция пружины Nip, направлен­ ная влево, и сила трения Q (часто называемая силой сухого трения), направленная вправо.

Если начальной скорости нет (ср0 = 0), начальное отклонение ф0 невелико и сила упругости пружины jVcp0 не превышает максималь­ ного значения силы трения, равного

Q = fP, ,

где / — коэффициент трения, Р = Mg — вес груза, то движения не будет. Но при значительном начальном отклонении начнется движе­

ние справа налево (т. е. с <р<0) по уравнению Мер = Q—iV<p

27

или

Таким образом, чтобы груз начал двигаться (без придания ему на­ чальной скорости), необходимо, чтобы начальное отклонение удовлет­ воряло условию

Интеграл уравнения (1. 20) при указанных начальных условиях равен

ф = -0- + (ф° — ■jp j cos It.

Движение по последнему уравнению будет продолжаться, пока

скорость движения

№ '

Ф = ( — ф0^ ) sin

не станет равной нулю, т. е. до момента t1 = -^~ и отклонения

Если NфАпо абсолютной величине окажется больше максимальной силы трения, чему соответствует неравенство

| ф 1 | > | г .

то начнется движение слева направо (ф> 0 ) по уравнению

Далее следует проверить, достаточно ли велико отклонение

ф2 = ф0 —4 ^ - ,

чтобы началось движение справа налево по уравнению (1.20) и т.д. График движения показан на рис. 9, б.

Колебания продолжаются до тех пор, пока груз не окажется при очередной остановке в заштрихованной зоне малых отклонений.

28

Колебания при постоянном сопротивлении совершаются с постоян­ ным периодом, причем этот период равен периоду колебаний системы при отсутствии сопротивления. Абсолютные значения отклонений при постоянном сопротивлении убывают в арифметической прогрессии

^разность прогрессии равна — 2 -0 -j.

§ 3

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания при гармонической возмущающей силе и комбинирован­ ном сопротивлении. Рассмотрим вынужденные колебания массы под действием гармонической возмущающей силы при наличии комбини­ рованного сопротивления, состоящего из вязкого, гистерезисного со­ противлений и постоянной силы трения ± Q. Дифференциальное уравнение такого колебательного движения имеет вид

Мф (/) + Ry (t) + x.N<p (t + j ± Q+ Nф (t) = F cos со/. (1.21)

Слагаемые левой части этого уравнения представляют собой сле­ дующие величины, взятые с обратным знаком:

Мф (t) — даламберова сила инерции;

R(p (/) — вязкое сопротивление, пропорциональное ско­ рости;

При гармонических вынужденных колебаниях, всегда происходя­ щих с частотой возмущающей силы, перемещения выражаются следую­ щей зависимостью:

Поэтому для отклонения с опережением в четверть периода будем иметь

ф(^+т)=ас05[^(^+Т')+Р]=ас05('^1+Р+^)’

29