Прогиб Y (у, t) должен удовлетворять условиям сопряжения в уз ловых точках, где действуют узловые реакции Rh [формула (б)], вызывающие разрыв в третьей производной упругой линии балки главного направления. Подставляя равенство (в) в формулу (б), учи тывая равенство (г) и сокращая полученное выражение на Xh (х), найдем
|
EI d3Y[(yh + 0)t] Е! |
d3Y[(yh-0)t] |
|
|
|
ду3 |
ду3 |
|
|
~cEIh |
d*Y (yh, t) - |
( Ж ) |
|
L* |
K Y (Уи> О + cmh |
dt2 |
|
|
|
Ищем решение для |
Yh (у, t) в виде |
|
|
|
|
Y (у, t) = Y (у) cos (It -fa ), |
(з) |
где Y (у) — форма колебаний балки главного направления, зависящая только от у.
Подставляя (з) в (е) и (ж) и сокращая полученное выражение на
cos (Xt -f а), |
найдем дифференциальное уравнение для |
форм свобод |
ных колебаний балки главного направления |
|
|
|
Е1ГЛY 1V (у)—mrnX2Y (у) = 0 |
|
(6.32) |
и условие сопряжения в узловых точках в виде |
|
|
£ / глУ >и(^ + |
0 ) - £ / глКШ(УЛ- 0 ) = - cEIh |
cmh№Y (yh) |
|
L* V-iY Ы ~ |
Совокупность формул (6.32) и (и) показывает, что определение сво бодных колебаний перекрытия эквивалентно определению свободных колебаний весомой балки главного направления, нагруженной в уз ловых точках сосредоточенными массами cmh и подпертой в тех же точках упругими опорами с коэффициентами жесткости
kh |
cEIh |
К ’ |
|
L* |
|
|
|
|
или, учитывая (д), |
|
|
|
kh = cmh‘k2. |
(6.33) |
Весомую балку главного направления можно приближенно рас сматривать как невесомую с массами, сосредоточенными в узлах (см.
рис. 52),
( « „ ) . = |
[ ( % „ ,- » * ) + ( « , - & - , ) ] = |
0 . (6.34, |
Тогда массы в узлах балки равны |
|
|
Mh = cmh + (MTn)h. |
(6.35) |
Задача о колебаниях перекрытия сводится к более простой задаче о колебаниях балки, показанной на рис. 52 справа
Вводим обобщенные координаты фл, равные перемещению массы Mh и зависящие только от времени. Если в узлах приложены силы
Р г, Р 2, . . . , Рк, . . . , Рп, то
П
VhkPPk
E I г
k = \
Здесь yhk — отвлеченные коэффициенты в выражении прогиба балки в точке h от силы, приложенной в точке k * Это выражение можно записать короче
ФA = il ft=i
На балку в местах расположения сосредоточенных масс действуют даламберовы силы инерции — Мнсрл и силы упругости податливых опор — cmh№. Силы сопротивления при определении свободных ко лебаний не учитываем.
Перемещение h-й массы под действием указанных сил равно
Фл = |
2 j |
8hk(— Mkq>— cmkl \ k) . |
(6.36) |
Обозначим |
k=i |
|
|
|
|
|
|
|
cmk= Dk. |
(6.37) |
Ищем решение для |
<рА в виде |
|
|
фА= ahcos (It + а ), |
(6.38) |
где ah — амплитуды колебаний h-й массы. |
а), получим п |
Подставляя (6.38) в (6.36) и сокращая на cos (It + |
однородных уравнений, из которых h-e уравнение имеет вид |
аЛ+ 2 |
&hk (Mk—Dk) A,2 akk= 0. |
(6.39) |
|
л=1 |
|
Собственные значения найдутся из условия равенства нулю опреде лителя системы (6.39), а амплитуды колебаний балки — из системы однородных уравнений (6.39). В эти уравнения поочередно надо под ставить все найденные А,2 и найти п значений ahk. Поскольку системы (6.39) однородные, одна из амплитуд в каждой группе остается произ вольной. Условимся амплитуду, соответствующую частоте Хк, считать
равной единице йкк = |
1. |
|
Уравнение (6.36) в матричной форме будет иметь вид |
|
|
|
Ф= Л ( - М ф —/>А.г?) |
(6.40) |
* |
Эти коэффициенты можно найти, например, по книге В. В. |
Д а в ы д о в , |
Н. В. |
М а т т е с, И. |
Н. С и в е р ц е в . Учебный справочник по прочности |
судов внутреннего плавания. М., «Речной транспорт», 1958. |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
АМу |
ADk2y ср = О, |
(6.41) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
Оц |
°12 |
■• |
■ °1л |
|
|
^21 |
$22 |
• • |
. |
62л |
|
|
|
|
|
|
—матрица податливости; |
|
|
«Л1 ®л2 • • • 8пп |
|
|
Ml |
0 |
. . |
|
0 |
|
|
0 |
м 2 |
. . |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
-диагональная матрица масс; |
|
|
0 |
0 |
. . . м п |
|
Dx |
О . . . |
О |
|
|
|
|
О |
D2 . . . |
О |
|
-диагональная матрица жесткостей подат |
D = |
|
|
|
ливых опор.
ОО . . . D„
Считая, что прогибы являются гармоническими функциями вре мени
9 = a cos (kt -f а) |
(6.42) |
и подставив (6.42) в (6.41) после сокращения на скалярный множитель cos (kt + а), найдем
[ E - A ( M - D ) k * ] a = О
или
^ A ( M - D ) - j ^ £ j a = 0. |
(6.43) |
Задача сводится к определению собственных значений — |
и соот- |
|
|
X2 |
|
ветствующих векторов а матрицы А (М —D). |
|
Как известно, собственные значения являются корнями уравнения |
Det |^Д (М — D) — ^ |
Z:j = 0. |
(6.44) |
Составив определитель |
и найдя его корни |
|
1 |
1 |
1 |
|
тем самым найдем и частоты свободных колебаний кк. Затем из урав нений (6.43) найдутся амплитуды перемещений масс, полагая, что одно из значений, например, акк = 1.
Все это выполняется на ЭЦВМ. Затем, если это необходимо, можно найти прогиб перекрытия в любой точке по формуле (в), зная иА по формуле (д) и Хл (х).
Вынужденные колебания регулярных перекрытий с частотой ко лебаний со находятся проще. Дифференциальное уравнение балки главного направления может быть написано с учетом вязкого сопро тивления
w-., d*w |
, |
I d2w„ |
n |
(к) |
£ /гл — + ^ Т Г + /П ГЛ— = 0. |
ду4 |
dt |
dt2 |
|
|
Силы сопротивления приближенно считаются приложенными только к балкам главного направления. Влияние перекрестных свя зей учитывается реакциями перекрестных связей по формуле (б). Перемещение перекрытия при вынужденных колебаниях в узле пере сечения балки главного направления с h-й перекрестной балкой при решении в замкнутом виде находится по формуле (в)
wh{x, t) = X h (x)Y (yh, t),
где
Y (у, t) — прогиб балки главного направления, имеющий размер ность длины, зависящий от координаты у и времени 7; Xfi (x) — форма колебаний h-й перекрестной балки, приближенно
удовлетворяющая уравнению
X lhv ( x ) - ^ r X:h(x) = 0
|
или |
|
|
|
|
X ? { x ) = ^ X h(x), |
(л) |
|
где |
|
|
|
|
..4 - Ути®2 |
(6.45) |
|
h~ |
Efh |
’ |
|
|
|
и тогда функция Xh (х) равна |
|
|
|
|
X h (x)=ahsin vh-j- + bhcos vh |
+ |
chsh vh -j- + dh chvh-j~, |
(6.46) |
|
где ah, bh, ch, dh находятся из граничных условий на концах |
пере |
крестных балок, причем одно из них берется произвольным, напри
мер ah = 1. |
выражение |
(в) для wh в дифференциальное уравнение |
Подставив |
(к) и сократив на Xh (х), |
получим уравнение колебаний балки глав |
ного направления, |
содержащее только функцию Y (у, t), |
|
EL |
d*Y (у, t) |
R |
дУ (У, t) |
d2Y (у, о |
=0.* |
(6.47) |
|
ду* |
|
dt |
тг ' |
dt2 |
|
Функция |
Y |
(у, |
f) |
должна |
удовлетворять |
условиям сопряжения |
в точках пересечения |
балок, где приложены узловые реакции |
[фор |
мула (б)], выражающие разрыв в третьей производной упругой линии
* Уравнение (6.47) справедливо не только для узловых точек балки глав ного направления Y (уь, t), но и для любой точки этой балки Y (у , t).
балки главного направления. Учитывая равенства (в) и (л) и сокра щая на Xh (х), получаем
E I |
» Y |
[(yh + 0) t] Е ! |
d*Y[(yh - 0 ) t ] __ |
|
|
|
ду3 |
|
ду3 |
|
Ищем решение для |
Y (у, t) |
в виде |
|
|
|
У {у, t) — Y {у) cos (оit + а ), |
(м) |
где Y (у) — форма |
колебаний |
балки |
главного направления, |
завися |
щая только от у и имеющая размерность длины.
Условие сопряжения в узловых точках при этом получится вида
EIT]iY™ (yh + 0 ) - E I rnY'"(yh- 0 ) =
cE!hvh |
Y{yh) - c m h^ Y ( y h) |
(н) |
L4 |
|
|
Совокупность формул (6.47), (м) и (н) показывает, что определение вынужденных колебаний перекрытия эквивалентно определению вы нужденных колебаний весомой балки главного направления, нагру женной в узловых точках сосредоточенными массами cmh и подпер той в тех же точках упругими опорами с коэффициентом жесткости
Учитывая формулу (6.45), получим, что
kh — cmh(a2.
Но согласно (6.37)
cmh —Dh,
и, следовательно, коэффициент жесткости h-й опоры равен
Итак, определение вынужденных колебаний перекрытия сводится к определению вынужденных колебаний весомой балки главного на правления с сосредоточенными массами cmh на упругих опорах жест кости kh = Dhiо2. Переходя от весомой балки к невесомой с массами в узлах, получим по формуле (6.35)
Mh = cmh + {Mгл)л>
где (Мгл)й находится по формуле (6.34).
Задача о вынужденных колебаниях перекрытия сводится к более простой задаче о вынужденных колебаниях балки с сосредоточенными массами в узлах, подпертой в тех же узлах податливыми опорами (см. рис. 52 справа).
Колебания, вызванные перемещением контура. Для регулярных перекрытий характерен случай, когда колебания происходят под действием колебания контура перекрытия.
В этом случае задача сводится к невесомой балке главного направ ления с сосредоточенными массами на упругих опорах, показанной на рис. 53.
Перемещение срЛ под действием даламберовых сил, сил в пружинах под массами и сил внешнего сопротивления при колебаниях крайних
опор tp0cos со t |
равно |
Фн = |
— 2 «А* м , & (Фа+ Фо cos со/) + Dkiо2фй + |
|
ft=i |
|
+ Д*-£-(ф*+ФоС08ЮО . |
|
at |
Рис. 53. Вибрация перекрытия, вызванная колебаниями его контура
Произведя указанные дифференцирования, получим
Фа= —2 |
^Фа) + |
|
к=1 |
|
|
п |
п |
(6.49) |
+ ф„(02 cos со/ 2 |
6ftfcMft + cpoCosinco/ 2 8 h k R k - |
k = i |
k = i |
|
Решение (6.49) можно искать в форме
Фл = Лйсо5со/-{-Вл5тсо/; 1
(6.50)
(f>k = A kcos(otJr Bk sinbit. I
Подставив выражения (6.50) в формулу (6.49), приравняв выра жения с одинаковыми тригонометрическими функциями нулю и со кратив на множители cos со/ и sin to/, получим 2п неоднородных ал гебраических уравнений относительно всех Ah и Bh вида
Л - “>22 |
бhk(Mk- D k) Ak+ < o ^ 8 hkRkBk^ ^ |
2 |
bhkMh |
Фо; |
k= i |
k= i |
fe=l |
(6.51) |
|
n |
n |
|
B„— C O 2 2 |
bkkRk |
|
h k6 { M k — D k) Bk— c o 2 бййЯйЛй = |
с о 2 |
Фо- |
A=1 |
k=l |
k= l |
|
|
Решить систему уравнений (6.51) на ЭЦВМ не составит труда. Обобщенную координату срй по формуле (6.50) можно представить в виде
<fh = Ehcos (со/ P/j)i |
(6.52) |
где |
_______ |
|
Ел= У а 1 + Вл2 |
(6.53) |
и |
|
|
sinp„ = !* , |
cospft = ^ . |
(6.54) |
Eh |
Eh |
|
Амплитуда перемещения балки главного направления, определяе мой координатой х, в точке пересечения с h-й перекрестной балкой равна
Рис. 54. К примеру расчета регулярного перекрытия
Изгибающий момент в балке главного направления, расположен ной при х = d, найдется как изгибающий момент от сил Qftcos (со/ — Р) (см. рис. 53)
Qh —2 |
[М*®2 (Eh-|- ф0) -f Rk© (Ek-f фо)] X h (d.). |
(6.56) |
a=i |
|
|
|
В перекрестной балке h |
амплитуда изгибающего момента равна |
|
M r |
= EIhEhX"H{x), |
(6.57) |
где Хн находится по формуле (6.46).
П р и м е р . Найти частоты свободных колебаний и определить амплитуду
вынужденных колебаний, |
вызванных колебаниями контура с амплитудой <р0 = |
= 0 , 1 см при частоте со = |
)/"з0 0 0 с-1 , посредине перекрытия, показанного на |
рис. 54. Все балки свободно оперты |
|
|
|
|
с = 1 ,2 |
м; |
L — 8,4 |
м; |
# = |
1,5 кгс-с/см; |
/ = 8 ,1 |
м; |
/ гл = |
3000 |
см4; |
<р0 = |
0,1 см. |
to® = |
3000 с- 2 ; |
/ п = |
6000 |
см4. |
Интенсивность массы балки главного направления |
|
|
|
|
|
|
|
тгл = 0,508-10—3 |
кгс-с2 /см2 |
[~ |
50 |
кг/м]. |
|
|
Интенсивность |
массы перекрестной |
балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mh = mk — 0,610-10 |
3 |
|
кгс-с2/см2 |
[~ |
60 кг/м]. |
|
По формуле (6.34) |
|
|
|
|
|
|
|
_ з (810 -270). |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
— |
— 1 |
|
|
|
|
|
|
( 6 |
4 г |
л |
) д |
Уft |
|
у h |
|
= 0,508-10' |
|
|
|
|
|
|
|
т —т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,1375 кгс-с2 /см. |
|
|
|
|
|
Массы |
в узлах балки главного направления по формуле (6.35) |
|
M h = cmh + |
(Мгл)п = |
120-0,610-10“ 3 + |
0,1375 = 0,2108 кгс-с2 /см; |
—— = |
— — ----- = |
0,0885 см/кгс; |
Yu = |
Y22 = |
0,01646; |
у1а = |
у2 1 = |
0,01440*. |
Е1ГЛ |
2- 10е-3000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как dhk — — — упь то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI гл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 п = |
б22 |
= |
0,14671-10-2 |
см/кгс; 6 1 2 |
= |
6 2 1 = |
0,1277-10_ 2 |
см/кгс; |
|
Dx = |
D2 |
= cm1= cm2 = |
120-0,610-10- 3 = 0,0733 кгс-С2 /см. |
Согласно (6.39) напишем для нашего перекрытия систему следующих урав |
нений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£?х -|- бц (Mj — D х) Х2#х "I- бх2 (642 — D 2) Х2а2 = |
0; |
|
|
|
|
а 2 + |
б2х (Л4г - |
|
Dx) Х Ч + 622 (642 - |
D2) Х2а2 = |
0. |
|
Подставив числа, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аг + |
0,14671 ■10~ 2 (0,2108 — 0,0733) К \ |
+ |
0,12744-10“ 2 (0,2108 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 0,0733) Хаа2 = |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
а2+ |
0,1277-10~2 (0,2108 — 0,0733) X2 ах + |
0,14671 • 10~ 2 (0,2108 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 0,0733) Х2 а2 = |
0 . |
|
|
|
|
|
Приведя подобные члены, получим следующую систему однородных урав |
нений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 +0,20117-10—3 X2) |
|
|
+ 0,1752-10“ 3Х2а2 = |
0; |
|
|
|
|
0,1752-10—3 X V + (1 + |
0,2017-10“ 3 X2) а2 |
= |
0- |
|
Равенство нулю определителя этой системы даст следующее характеристи |
ческое |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 -Ь 0,2017-10—3 X2 ) 2 — 0 ,17522-10~6 X4 = |
0 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 10— 8 + 0,4034-10 -3 X2 + |
1 = |
0. |
|
|
|
* |
По табл. |
26 |
в работе В. |
|
В. |
Д а в ы д о в а , |
Н. |
В. |
М а т т е с. Учебный |
справочник по прочности судов внутреннего плавания. М., «Речной транспорт», 1958, с. 194—197.
О б о зн а ч и в к 2 = г , п о л у ч и м
г2+ 0,4037-10*2+ 10»= 0.
Откуда
гх = к\ = 2700 с- 2 ;
г2 = я | = 37 300 с- 2 .
Составим уравнение вынужденных колебаний. Заданная частота о 2 = = 3000 с- 2 близка к частоте свободных колебаний первого тона Я2 = 2700 с-2 .
Уравнения вынужденных колебаний (6.51) следующие: |
|
Л, - <о2 |
[би (Afj - |
Dx) А х + б1 2 (М 2- |
D2)A2] + |
а (бn RB 1+ б,*/?£,) = |
|
|
|
|
— <й2 (б!!^! + |
б12Л42) ф0; |
|
|
А 3— (о2 |
[б2 1 (Mi — Z)j) j4j — б22 (M2— D2) А 2] -f- о) (6 2 i $ Вх -f- &22RB 2) = |
|
|
|
|
= w2 (д21м 1 + |
д22м 2) ф0; |
|
|
5 i — о) 2 |
[бц (Mi — Di) Bi -)- 6 1 2 (M2— D2) B2) — (o (61 1 /?y41 |
-f- 612R A 2) = |
|
|
|
|
= to (6n R + |
612tf) ф0; |
|
|
|
B 2— to2 |
(6 2 1 (Mi — Z)j) Bi -)- 6 22 (M2— D2) B2] — to {6 2 i/?>41 |
б2 2 /?Л2) = |
|
|
|
|
= <o (621tf -f 622R ) ф0. |
|
|
|
Подстановка в уравнения численных значений приводит их к виду |
|
Ai — 0,6051 Ai — 0,5256 Л2 + |
0,1210 |
+ |
0,1052 fi2= |
0,1734; |
|
А 2— 0,5256 Ai — 0,6051 А 2+ |
0,1052 Вг + |
0,1210 В2= |
0,1734; |
|
Вх — 0,6051 Bi — 0,5256 В2— 0,1210 А г — 0,1052 А г = |
0,0226; |
|
В2— 0,5256Вх — 0,6051 В 2— 0,1052 А х — 0,1210 4 2 = |
0,0226. |
|
Получатся окончательно канонические |
уравнения |
относительно четырех |
неизвестных |
вида * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3949 А г — 5256 Л2 + 1210 |
+ |
1052 В2= |
1734; |
|
|
— 5256 Ai + 3949 Л 2+ |
Ю52 Вх + 1210 В2= 1734; |
|
|
1 2 1 0 ^!+ |
1052 А 2— 3949 |
+ |
5256 В2= |
— 226; |
|
|
1052 |
+ |
1210А 2+ 5256 Вх — 3949 В 2= |
— 226, |
так |
как Л 1 = А 2 и В г — В 2, получается система двух |
уравнений вида |
|
|
|
|
— 1307 Аг + 2262 Bi = 1734; |
|
|
|
|
|
|
2262 Ai + 1307 Bi = |
— 226. |
|
|
|
Решение этих уравнений дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А х — 0,40692 см; |
|
|
|
|
|
|
|
Bi = — 0,53143 см. |
|
|
|
туду |
Полагая, что X (х) посредине перекрытия равно единице, получим ампли |
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = Y |
A \ + в \ = 1/0,406922 -h 0,53143s г |
0,670 |
см. |
* Все уравнения увеличены на 104, а у последних двух сменены знаки.
9 В. В. Давыдов, Н. В. Маттес |
257 |
|
Собственные частоты колебаний перекрытия с большим числом (пять и больше) одинаковых и равноудаленных балок обоих направле ний (бирегулярные перекрытия, рис. 55).
Если отбросить перекрестные связи, то дифференциальное уравне ние свободных колебаний любой балки главного направления может быть написано в виде
г , , d*w , |
d2w п |
, . |
^ / г л — |
+ / И г л — = 0 - |
(О) |
ду1 |
|
at2 |
|
Влияние перекрестных балок можно учесть, если в узлах балки главного направления приложить реакции, состоящие из сил упруго сти и сил инерции перекрестной балки,
с г d*w , |
d2w |
(п) |
Rh= — с Е1п— |
+ тп |
dF, |
дх4 |
|
|
Рис. 55. Бирегулярное перекрытие
Прогиб перекрытия можно написать в виде ряда
00 |
00 |
|
ш= 2 |
2 fk (х) fj (у) aki cos ( V + “ */)• |
(6-58) |
k= l j= 1 |
|
Здесь fk (х) — форма свободных поперечных колебаний призмати ческой балки, закрепленной по концам так, как крепятся перекрест ные связи на контуре (см. табл. 3), удовлетворяющие уравнению (3.6), а следовательно, условию
|
(р) |
Параметры |
берутся для балок перекрестных из той же табл. 3. |
Функции fj (у) |
для балок главного направления, удовлетворяющие |
уравнению (3.6), |
= ( “ -)* ? ,(»). |
f/v M |
как и р;-, берутся тоже из табл. |
3. |
