книги из ГПНТБ / Баклашов, И. В. Расчет, конструирование и монтаж армировки стволов шахт

стемы с неоднородными параметрами в следующем виде:

где Да0 и Дй0 — соответственно отклонения амплитуды и фазы слу­ чайного колебательного процесса в стационарном режиме от значений амплитуды ап0 и фазы й по, описывающих колебания системы с однородными параметрами.

Используя представление (IV.56), определим среднее значение

фазового сдвига

Я

Из выражения (IV.64) следует, что стационарная плотность рас­ пределения w (ер) зависит от величины расстройки

Поэтому проанализируем зависимость среднего значения фазового сдвига (й о ) в стационарном режиме от величины относительной расстройки

д2А*

равно нулю, а среднее значение фазового сдвига согласно (ІѴ.88)

будет равно .

При наличии расстройки (Д* =± 0) среднее значение (й о ) находится в результате численного интегрирования. На рис. 69 пред­ ставлены зависимости среднего значения <йо) от величины от­ носительной расстройки qlz, а на рис. 70 — соответствующие за­ висимости для среднего значения отклонений фазового сдвига < Д$ 0 > •

Анализ полученных результатов позволяет утверждать, что мак­

стремятся к нулю, не превышая по абсолютной величине 0,03л в пре­ дельном случае z = 1 при

Рис. 69. Зависимость среднего значения фазового сдвига < й,, > от величины относительной расстройки qjz

при значениях частоты возбуждения ѵ, определяемых неравенством

систематическое расхождение фаз O'по и 'б1о в0 времени для всего возможного диапазона интенсивностей случайного воздействия не­ значительно, и можно положить < Дфо ) = 0. В этом случае можно произвести линеаризацию, положив в уравнении (ІУ.85) cos 2Ай' 0 —

-1, sin 2Ай’ о = äA# о-

Далее, учитывая, что отклонения Дд0 в этом случае малы, рас­

кладываем преобразованное выражение (IV. 19) в степенной ряд в окрестности апо и ограничиваемся двумя членами в разложении. Затем усредним преобразованное таким образом уравнение (IV.85). После дополнительных несложных преобразований получаем рас­ четную зависимость для среднего значения амплитуды случайного

со— 2'V+-4 "-COS2 ® n 0

4

162

ний с погрешностью не более 12%, если частота возбуждения си­ стемы V удовлетворяет условию

2м—іѵ ^ ^ Лгм

Используя (IV.91), можно согласно (III.96) записать параметры unij стационарных колебаний сосуда в окрестности резонансных областей і = 1, 2, соответствующих частотам с о (j = 1, 2, 3, 4, 5). Общее выражение для указанных параметров применительно

К А і9д0)1

Рис. 70. Зависимость среднего значения отклонений фазового сдви­ га I < Д^о ) I от величины относительной расстройки qjz

с переменным шагом. При замене регулярного шага армировки на

переменный с указанными выше статистическими характеристиками ширина зоны параметрического резонанса, реализация которой

аупо/Ду ,(a!/otßy

16

I

1Z

8

4

О

0 ,5 1,0 1,5 2 ,0 Ѵ/й^

Рис. 71. Относительные амплитудно-частотные характери­ стики лобовых поступательных стационарных колебаний сосуда в дорезонансной области при его движении по провод­ никам армировкп с однородными и неоднородными деформа­ ционными параметрами

возможна в первую очередь при увеличении скорости подъема, может быть уменьшена примерно на 40%. Соответствующее умень­

в системе с регулярным шагом, определяемыми выражением (IV.20),

164

показывает, что при малых скоростях подъема (іѵ <£ 2со) влия­ ние переменного шага армировки на величину амплитуды колебаний незначительно. При одной и той же скорости подъема в системе с переменным шагом средние амплитуды колебаний сосуда снижа­ ются не более чем на 4%. Это объясняется тем, что при малых ско­ ростях подъема влияние переменной жесткости системы на попереч­ ные колебания сосуда мало.

С увеличением скорости подъема влияние переменного шага на колебательный процесс в системе становится все более существен­ ным. Например, при скоростях, удовлетворяющих условию

наличие переменно.го шага армировки снижает средние амплитуды колебаний сосуда в 1,5—1,65 раза.

В качестве иллюстрации на рис. 71 пунктирной линией (2) по­

границы зоны параметрического резонанса в системе с переменным и регулярным шагом. На рис. 72 выполнены аналогичные ностроения для боковых поступательных колебаний сосуда.

§ 20. Нагрузки на армировку с неоднородными параметрами при переходе через резонанс *

При переходе через зоны параметрического резонанса амплитуды поперечных колебаний сосуда могут быть значительно снижены, если деформационные параметры системы «подъемный сосуд — армировка» неоднородны. В этом случае исследованию подлежит слу­ чайный нестационарный колебательный процесс, амплитуда и фаза которого описываются системой нелинейных стохастических диф­ ференциальных уравнений (ІѴ.17).

Исследование указанного процесса связано с решением двумер­ ного нестационарного уравнения Фоккера—Планка, что встречает практически непреодолимые математические трудности. Следует от­ метить, что даже решение одномерного нестационарного уравнения Фоккера—Планка, за исключением некоторых частных случаев, не удается получить в замкнутом виде. Поэтому представляется целесообразным следующий метод исследования уравнений (ІѴ.17).

Для исследования отклонений фазового сдвига Ай от плавно меняющихся значений й п в нестационарном процессе выполним статистическую линеаризацию второго уравнения системы (ІѴ.17),

165

Указанная статистическая линеаризация в окрестностей п вполне допустима, если учесть малость флюктуаций параметров армировки. При этом, как отмечалось в § 18, влияние кинематических зазоров в резонансной зоне незначительно, и величиной этих зазоров можно пренебречь, положив Д = 0. Тогда поведение отклонений фазового сдвига Ай во времени при переходе через резонанс будет описываться линейным уравнением

дельта-коррелированным, уравнению (IV.93) эквивалентно следу­

в работе [59]. Произведем замену переменных таким образом, чтобы нестационарное уравнение (IV. 94) совпало с обычным уравнением теплопроводности,

dw' 1 d^w'

(IV.95)

9 t ' 2 д дф'«

Из общей теории уравнений теплопроводности известно, что для неограниченной области изменения переменной Ай' единствен­

При замене переменных введем следующие переходные функции:

Дй; = Ф(^, Ай0), Дй' = ф(*, Ай), *о= ф («0), <* = ф(«). (ІѴ.97)

Эти функции сравнительно просто определяются, когда коэффи­ циент интенсивности К„ не изменяется во времени и уравнение Фоккера—Планка является линейным относительно АйТогда согласно рекомендациям [45] получаем для данного случая

166

Выполнив необходимые операции по преобразованию уравнения Фоккера—Планка (IV.94) в уравнение теплопроводности (IV.95) посредством переходных функций (IV.98) и (ГѴ.99), получаем на основании (IV.96) условную плотность распределения вероятно­ стей

после несложных преобразований получим закон изменения плот­ ности распределения вероятностей отклонений фазового сдвига при переходе через резонанс

Ай о и ап (to) в стационарном режиме (при постоянной скорости подъема

Проанализируем полученное выражение. В предыдущем пара­ графе установлено, что средние отклонения фазового сдвига < Ай о ) при постоянной скорости подъема вне зон резонанса близки к нулю. В резонансных зонах < Ай о ) по абсолютной величине не превышают

—, но амплитуды нестационарных колебаний ап (t) при переходе 4

через резонанс значительно больше амплитуд стационарных коле­ баний ап0, т. е. второй сомножитель в (ГѴ.103) близок к нулю. Отсюда становится очевидным, что средние отклонения фазового сдвига ( Ай > в переходном режиме малы и их можно положить равными нулю.

167

Так, для случаев, представленных на рис. 65 и 66, абсолютная величина средних отклонений | < Ай' ) | не превышает: 0,025 я в ло­ бовой плоскости и 0,004 я в боковой плоскости при а = 4 м/с2; 0,014 я в лобовой плоскости и 0,002 я в боковой плоскости при а — = 3 м/с2; 0,005 я в лобовой плоскости и 0,0008 я в боковой пло­ скости при а = 2 м/с2.

Оценив величину средних отклонений ( Ай ) , построим ампли­ тудно-частотные характеристики системы с неоднородными пара­ метрами в переходном режиме. Так как отклонения Ай от плавно

оценки среднего значения амплитуды нестационарных колебаний воспользуемся тем же приемом, что и для оценки среднего значения амплитуды стационарных колебаний, а именно, заменим глубину модуляции системы с однородными параметрами /і, на среднюю глу­ бину модуляции системы с неоднородными параметрами

/?* = hi + ~ (т ^ — у К 2ц') .

Далее интегрируем и усредняем преобразованное таким образом первое уравнение системы (IV.35). Анализируя результаты усред­ нения, приходим к следующим выводам. Поскольку значение Ай мало, а функция cos 2й п в переходном режиме при изменении ам­ плитуды от одного экстремального значения до другого меняет знак, принимая значения о т —1 до + 1, то можно положить

а время t прохождения через зону параметрического резонанса значительно, можно положить.

Тогда, опуская промежуточные выкладки, запишем окончатель­ ный вид расчетной зависимости для среднего значения амплитуды нестационарных колебаний в системе с неоднородными параметрами при переходе через резонанс

168

Анализируя выражение (IV. 104) и сопоставляя его с амплитудночастотными характеристиками для однородной системы, приходим к выводу, что при наличии неоднородных параметров среднее зна­ чение максимальных амплитуд колебаний несколько смещается в сторону меньших скоростей подъема за счет сужения, зон пара­ метрического резонанса. В качестве иллюстрации на рис. 73 пред­ ставлена зависимость (IV. 104) для поступательных колебаний сосуда

казаны соответствующие амплитудно-частотные характеристики си­ стемы с однородными параметрами.

ауп/аупо! ( ау)/а-упо

Рис. 73. Относительные амплитудно-частотные характери­ стики лобовых поступательных нестационарных колебаний сосуда в случае равноускоренного прохождения через резо­ нанс при его движении по проводникам армировки с однород­ ными и неоднородными деформационными параметрами

Однако, как показывают анализ и графики на рис. 73, смещение максимальных амплитуд по оси ѵ незначительно и не превышает 3%. Поэтому в дальнейшем будем считать, что координаты максималь­ ных амплитуд по оси ѵ в системах с однородными и неоднородными параметрами совпадают. Тогда, учитывая выражение (IV.28), по­ лучим следующую расчетную зависимость для среднего значения максимальной амплитуды колебаний в системе с неоднородными параметрами при переходе через резонанс:

169

ствующие частотам (Оу (/ = 1, 2,3, 4, 5). Общее выражение для ука­ занных параметров применительно к армировкам с двумя двухсто­ ронними проводникам, наиболее распространенным при проекти­

ровании грузовых подъемов большой производительности, имеет вид

ний в системе с неоднородными параметрами, определяемых выра­ жением (IV. 105), обнаруживает значительное' снижение последних. В частном случае, представленном на рис. 73, наблюдается сни­

пательных лобовых колебаний сосуда при изменении собственной

0,25; 0,30; 0,35; а = 1; 1,5; 2,0; 2,5 м/с2.

Результаты анализа указанных графиков дают возможность сделать следующие выводы. В системах с собственной частотой со4 12 с-1, а также в системах с более высокой частотой, но глу­

полностью подавить резонансные поступательные лобовые колеба­ ния сосуда. При этом в первом приближении влияние переменного шага на снижение максимальных амплитуд резонансных колебаний эквивалентно рассеянию энергии в системе с линейным коэффициентом затухания, равным

— ффК^ — т^).

170