книги из ГПНТБ / Баклашов, И. В. Расчет, конструирование и монтаж армировки стволов шахт

нести уменьшение их стоимости с увеличением быстроходности при практически неизменной стоимости потребляемой электроэнер­ гии [49], что экономически оправдывает дальнейшее увеличениескорости подъема. Однако предельные ускорения по условию про­ скальзывания каната для этих подъемных машин равны 2,6—3,2 м/с при коэффициенте трения между канатом и футеровкой шкива трения, равном 0,25 [50].

Следовательно, практически для всех существующих конструк­ ций жесткой армировки с однородными деформационными парамет­ рами переход зоны параметрического резонанса при максимальнодопустимых ускорениях подъема невозможен, так как возникающие при этом эксплуатационные нагрузки превосходят несущую спо­ собность элементов армировки.

§19. Нагрузки на армировку с неоднородными параметрами

вдорезонансном режиме*

Исследуем поведение системы «подъемный сосуд — армировка»- с неоднородными деформационными параметрами в дорезонансных областях при постоянной скорости подъема. При наличии внутрен­ него случайного воздействия £(£) поведение такой системы описы­ вается стохастическими дифференциальными уравнениями (IV. 17).

Предварительный анализ показывает, что скорость изменении внутреннего случайного воздействия £(і), возникающего в резуль­ тате флюктуаций шага армировки £ и податливости несущих рас­ стрелов т), следует характеризовать временем корреляции тк, удо­ влетворяющим условию

тк«тс, (ІѴ.32>

где время релаксации системы тс по порядку величины равно (Т^ю)- 1~ Следовательно, учитывая рекомендации, изложенные в табл. 15, исследование уравнений (IV. 17) можно выполнить стохастическим методом с привлечением математического аппарата теории марковских

процессов [40].

Сущность указанного метода заключается в следующем. Поскольку“ наибольший практический интерес представляет поведение системы чег рез временные интервалы тс, характеризующие скорость изменения амплитуды колебательного процесса, то при выполнении условия (ІѴ.32) реальный флюктуационный процесс е (£), имеющий корреляци­ онную функцию < еет ) , можно рассматривать как «белый шум», т. е.

15U

При замене реального процесса е (it) на дельта-коррелированный коэффициент интенсивности К должен быть подобран таким образом,- -чтобы при интегрировании обеих частей (IV.33) по т получалось бы тождество. В этом случае обеспечивается одинаковый суммарный эффект влияния каждого из процессов на систему. Следовательно,

Тогда предельное поведение колебательной системы’ будет опи­ сываться марковским процессом, вероятности которого .удовлетво­ ряют уравнению Фоккера—Планка [40]. Решение этого уравнения может быть легко получено, если плотность распределения вероят­ ностей не изменяется во времени (стационарное распределение). При исследовании нестационарных процессов вычисление вероят­ ности перехода в результате решения соответствующего нестацио­ нарного уравнения Фоккера—Планка встречает практически не­ преодолимые математические трудности.

Кроме того, наличие нелинейности ітша «люфт», как это имеет место в рассматриваемой системе, приводит к двумерному уравне­ нию Фоккера—Планка, которое в отличие от одномерного пе вы­ ражается в квадратурах. Одиако по аналогии с задачей, рассмот­ ренной в предыдущем параграфе (£, = 0 ) , можно предположить, что наличие кинематических зазоров не влияет в первом приближении

Ü52

Так как ( £ ) = 0, то отличные от нуля значения т 1 и т г опре­ деляются наличием корреляции между £ (t) и $ в выражениях \ (t) X

коррелироваиные случайные функции с нулевыми математическими

- c o

(IV.42)’

Выражения (IV.38), (IV.39), (IV.41) и (IV.42) явно зависят от времени, поскольку наряду с постоянными составляющими содер­ жат вибрационные компоненты высших гармоник, быстро меня­ ющихся со временем и оказывающих малое влияние на колебатель­ ный процесс. Для таких членов целесообразно использовать усред­ нение за период [40, 42].

Подставляя в (IV.38), (IV.39), (IV.41) и (IV. 42) выражение (IV. 13)

155

В приведенных формулах через Х|(/ссо) и х11(/ссо) обозначены соответственно спектральные плотности флюктуаций шага армировки I и податливости несущих расстрелов т] на частотах /ссо,

ровать среднюю величину < и ) . Усредняя первое уравнение си­ стемы (IV.55), получаем условие параметрического возбуждении колебаний

Совершенно очевидно, что при невыполнении неравенства (IV.57) колебания с течением времени затухают и система будет устойчива. Коэффициент затухания

является критическим. Если пренебречь рассеянием энергии коле­ баний, что приводит к некоторому расширению границ областей неустойчивости, положение последних в системе «подъемный сосудармировка» с неоднородными параметрами при А* = О определя­ ется выражением [40]

Для определения среднего значения < cos 2ср) следует вос­ пользоваться вторым уравнением системы (IV.55). Поскольку слу­ чайные процессы (f) и £2 (t) представлены как независимые дельта-коррелированные, второму уравнению системы (ГѴ.55) соот­ ветствует следующее уравнение Фоккера—Планка:

д

Так как в данном случае исследуется стационарное распределе­ ние, которое характеризуется постоянной во времени плотностью'

/

Кроме того, плотность распределения ш(ф) должна удовлетворять условию нормировки

2 Л

J w (ф) &р= 1. (IV. 63) о ■

Используем условия (IV. 62) и (IV. 63) для определения постоянных Сг и Сг. Чтобы удовлетворить условию (IV.62), положим С2 = °о. Тогда (IV.61) с учетом (IV.62) преобразуется следующим образом:

где N — нормировочный множитель, связанный с постоянной Сх зависимостью

Нормировочный множитель N определим из условия нормировки (IV.63), которое дает

Если ввести переменную %= ф — ф, получим:

ЯЯ

-Ѵ = 2 J j e x p £ — І 7 + - І І 7 sin Х5іп(2ф + 7)]сгф d%. ( I V . 6 6 )

. 0 0

Записывая результат интегрирования по ф через. функцию Бес­

селя и вторично делая замену переменной У = - j — X ПРИ 0 < X <

и у = X —-у при -у < %< я, в соответствии с [52] получаем

яА*

liq (z) — функция Бесселя мнимого аргумента и мнимого индекса. Чтобы вычислить стационарное среднее значение < cos 2ф) , произведем усреднение функции cos 2ф с весом (IV.64). Предва­

рительно представим функцию cos 2ф в виде

cos 2ф = cos (2ф -f X ~ Х)= cos X cos (2ф + х) + sin X siQ (2ф+ х)

и в (IV.64) произведем замену ф = ф + X-

156

Тогда получим

Л

< cos 2cp> I cos 2cpu>(cp) dcp=

знак, то при любом значении х первое слагаемое в (ІѴ:68) при инте­ грировании по d(p дает нуль. Тогда

Сравнивая последний интеграл с (IV.66), нетрудно убедиться, что его можно получить из (IV.66) путем дифференцирования по h[(ü (2К 2)~1. Следовательно, искомое среднее значение (cos 2ф > выражается через функцию (IV.67) и равно

Для получения наглядных результатов используем асимптоти­ ческие выражения для цилиндрических функций. В этой связи существенны соотношения между аргументами q, z и единицей. Будем полагать, что выполняется условие

которое является .вполне естественным при малости флюктуаций параметров армировки. Тогда для рассматриваемого случая можно воспользоваться асимптотическим представлением функций Бесселя [53]

где

Уz2-q2

Я

157

• функция Arctg ß принимает значение arctg ß при -\-ig и значение ( —я -j- arctg ß) при —ід.

Опуская промежуточные выкладки.и полагая Д* = 0, запишем окончательный вид выражений (IV.59), определяющих области не­ устойчивости системы «подъемный сосуд—армировка» с неодно­

положение границ зоны параметрического резонанса в соответству­ ющей системе с однородными параметрами. В этом можно убедиться, если в (IV.22) положить 6 = 0. Остальные члены в (ІѴ.75) появля­ ются при наличии флюктуаций и описывают смещение границ зоны параметрического резонанса в системе с неоднородными парамет­ рами.

Сравнивая величины т1 и іѵ2, которые определяются соответ­ ственно выражениями (IV.43) и (ІѴ.52), приходим к важному в прак­ тическом отношении выводу: ширина зоны параметрического резо­ нанса и, следовательно, уровень параметрического возбуждения

параметров армировки по своему спектральному составу являются высокочастотными, то указанные флюктуации способствуют пара­ метрическому возбуждению. Аналогичный результат получен в ра­ ботах [54, 55, 56, 57] при исследовании влияния периодической силы на обыкновённую резопансную систему со случайно изменя­ ющимися параметрами.

Кроме того, сравнивая величины т 1 и К 2 с учетом значений коэффициентов Agg, A^g, А%ц и А ^, легко убедиться в справедли­ вости ранее сделанного вывода об исчезающе малом влиянии флюк­ туаций податливости несущих расстрелов ц на снижение уровня параметрического возбуждения системы. Поэтому в дальнейшем будем учитывать только влияние флюктуаций шага армировки £, полагая, что ц = 0.

Условию снижения уровня параметрического возбуждения си­ стемы удовлетворяв? корреляционная функция флюктуаций шага

которую целесообразно использовать при проектировании армировок с неоднородными параметрами. Коэффициент ßg, входящий

158

в (IV.76) и имеющий положительное значение, связан с временем корреляции тк соотношением

Рассматриваемая динамическая система «подъемный сосуд— армировка» имеет пять степеней свободы, на которых возможна реализация параметрического резонанса. Совершенно очевидно, что при расчете системы с неоднородными параметрами в дорезонан­ сном режиме она должна быть отстроена в первую очередь от левой границы зоны параметрического резонанса, соответствующей мини­ мальным скоростям подъема. Следовательно, в качестве расчетной частоты следует принимать минимальную собственную частоту системы, определяемую по формулам (ІѴ.6), (ІѴ.7), (IV.8) в.зависи­ мости от конструктивной схемы армировки. Расчетная частота (omin по конструктивным соображениям должна быть связана с време­ нем корреляции тк соотношением

при котором соблюдается условие (IV.32). Тогда для определения коэффициента ß| имеем

Спектральные плотности Kg (Zeeо), соответствующие корреляцион­ ной функции (IV.76) флюктуаций шага армировки, равны

где

Учитывая (IV.80) и (IV.53), можем записать допустимое значе­ ние дисперсии К%(0) по условию (IV.72), при выполнении которого возможно асимптотическое представление (IV.73):

Анализируя величину т 2, можно показать [52, 58], что при принятых параметрах корреляционной функции флюктуаций шага армировки т 2 ^ 0,004со. Так как величина т 2 незначительно влияет на смещение границ зоны параметрического резонанса, в дальнейших расчетах этой величиной целесообразно пренебречь. Тогда, раскрывая

159

Однако, как указывалось выше, в случае нелинейности типа «люфт» проинтегрировать уравнение Фоккера—Планка не представляется возможным.

Поэтому оценку величины среднего значения амплитуды в ста­ ционарном режиме вне зоны параметрического резонанса, т. е. при2

2 (2м — tv)

Л,со > 1

можно выполнить следующим образом. Так как изменение положения границ резонансных областей в первом приближении определяется в основном изменением глубины модуляции системы, представляется целесообразным рассмотреть уравнение

Уравнение (IV.85) получено из второго уравнения системы (IV. 17) с учетом представления (IV.37) и т2 — 0 путем замены глубины модуляции Іц на эквивалентную глубину модуляции h\, определен­ ную из анализа первого уравнения системы (IV. 17). Далее" предста­ вим амплитуду и фазу случайного колебательного процесса си-

160