книги из ГПНТБ / Баклашов, И. В. Расчет, конструирование и монтаж армировки стволов шахт

Fxn, Fyn (n = 1,2, 3, 4) — функции, характеризующие наличие ки­ нематического зазора между контактными поверхностями проводников и напра­ вляющих устройств в соответствующих точках контакта.

Учитывая выражения (11.104)—(11.107), приведенные в § 12, рас­

Рассмотрим схему армировки с двумя односторонними провод­ никами (см. рис. 43). Малые горизонтальные перемещения точек 1, 5, 5, 7 подъемного сосуда в контакте с проводниками имеют вид

хг = X+ Zxß— dy + Fxl-, 1/1= У — ha + sy + Fyl\

x2 = x + l 1$— dy + Fx2; iJ z^ y — ha — sy + Fy^,

(Ш.4)

x3 = x —Z2ß —dy + ^ 3; г/з= 1/+ ^ « + 57 + ^ 3;

x4 = x — Z2ß — dy + Fxi, i J ^ y + h a — sy + Fyi,

101

где 2s — расстояние по горизонтали между лобовыми точками кон­ такта проводников с направляющими устройствами;

В остальном постановка задачи аналогична предыдущей. Рассмотрим армировку с четырьмя двухсторонними проводниками

•■(см. рис. 44). Малые горизонтальные перемещения точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 подъемного сосуда в контакте с проводниками имеют вид

х1 = х-\-11^>— dy-\-Fxl] Уі = У—ZiO+sY + ^ iJ

х2= X+ Ziß— dy + Fxz‘, y2 = у — lj_a— sy + Fy,;

x3 = x — Z2ß — dy -f-Fаз; y3= у + Іго. + sy + Fy3,

:r4 = z — Z2ß— dy -f Fxi, Уі = у + Z2a — SY + Fui;

xa = x — l $ + dy + FxS, y3 = y + L a — sy + Fy8;

102

Остальные расчетные предпосылки аналогичны.

§14. Дифференциальные уравнения движения подъемного сосуда

Вуказанных выше исследованиях [3, 32, 34] по динамике шахт­ ного подъема дифференциальные уравнения движения сосуда соста­ вляются по схеме Лагранжа

(i — 1, 2, . . /)

где T — кинетическая энергия системы; V — потенциальная энергия системы; t — время;

gi — обобщенная координата;

7 — число обобщенных координат.

Используя эту схему и придерживаясь постановки задачи, изло­ женной в предыдущем параграфе, составим уравнения движения со­ суда по двум двухсторонним проводникам. Кинетическая энергия

103

системы на малых перемещениях, соответствующих обобщеннымко­ ординатам х, у, а, ß, у, равна

JXi Jy> Jz — моменты инерции сосуда в системе координат o1a:1j/1z1. Выражение для потенциальной энергии системы на малых пере­ мещениях, соответствующих обобщенным координатам, если прене­ бречь смещением центра тяжести груженого сосуда, записывается

следующим'образом:

V ~2 (Схгх\ ~г СХ2х\ ~Ь Сх3х\ -f- Схіх\ -f- Ctjly\ + Су2у\ “ЬСу3у%-f- Суіу\),

(III. И ')

где Схп, Суп — боковая и лобовая жесткость системы (п = 1, 2, 3, 4) в соответствующих точках контакта.

Подстановка (III.И ) и (III. 11') в-(III.10) приводит к системе диф­ ференциальных уравнений малых движений сосуда

піх-р (Сх1~г Сх2+ CxS-f- Cxi) X+ (12Сх1+ 1уСха — U_Cx3

h^xi) ß + d {Сл — Cxl -ф- Cxi— Cx3)y + "T CxlFxl + CX2Fx2-f Cx3Fx3-\-CxiFx4= 0;

mV~f (Cj/i + Cy2-p Cy3+ Cy4) у + (UCy3+ l2Cy4— l-fiyx — КСui)a + CyiFyi + Cy2Fyo + Cy3Fy3+ CyiFyi = 0;

Применяя схему Лагранжа к анализу динамической системы «подъемный сосуд — армировка», исследователи обычно допускают определенную некорректность, которая заключается в следующем. Нелинейные функции Fxn и Fgn составлены из нескольких прямоли­ нейных отрезков и операция их дифференцирования согласно выра­ жению (III. 10) требует специальных исследований. Поэтому необ-

104

ходимы дополнительные доказательства правильности уравнений (III.12).

В качестве такого доказательства ниже приводится вывод урав­ нений движения сосуда по схеме Даламбера, исключающий необ­ ходимость дифференцирования указанных нелинейных функций.

Зададим системе малые деформации х х, х 2, х3, х4, у х, у 2, у3, т/4 и составим уравнения движения каноническим методом как уравне­ ния статики, учитывая действие на систему сил инерции Мхп и М уп в точках контакта п = 1, 2, 3, 4. Так как согласно постановке за­ дачи взаимное влияние прогибов проводников под соседними точ­ ками контакта не учитывается, получим:

Мх

(III.13)

Ѵп = ^ѵуп

> = 1 , 2, 3, 4)

Силы инерции могут быть найдены следующим образом. Зададим системе перемещения у, х, а, ß, у. Так как силы инерции в соответ­ ствующих точках контакта действуют только в течение половины периода колебаний, имеем

Подставим (III.14) в (III.13) и раскроем зңачения малых дефор­

105

1

Складывая пятое, шестое, седьмое и восьмое уравнения этой си­ стемы, получим первое уравнение системы (III.12). Складывая пер­ вое, третье и четвертое уравнения, получим второе уравнение си­ стемы (III.12). Умножим первое и второе уравнения на Д и сложим, умножим третье и четвертое уравнения на U и сложим, из второй суммы вычтем первую и получим третье уравнение системы (III. 12). Умножим пятое н шестое уравнения на /, и сложим, умножим седь­ мое и восьмое уравнения на и сложим, из первой суммы вычтем вторую и получим четвертое уравнение системы (III. 12). Из шестого уравнения вычтем пятое, из восьмого уравнения вычтем седьмое, затем сложим н получим пятое уравнение системы (III.12). Таким образом, уравнения движения, составленные по схеме Даламбера, совпадают с уравнениями (III.12).

Система уравнений (III.12) распадается на две самостоятельные системы, описывающие малые движения подъемного сосуда в боковой плоскости XOZ п в лобовой плоскости yoz.

Учитывая представления внешнего и внутреннего возбуждения системы, перенесем в правые части уравнений возмущающие члены, содержащие малый параметр.

Введем дополнительные члены, учитывающие наличие в системе «подъемный сосуд — армировка» диссипативных сил, которые по своей природе весьма разнообразны. Например, конструкционное демпфирование, трение между направляющими устройствами и про­ водниками, внутреннее' трение в материале элементов армировки, демпфирующее воздействие головного и хвостового канатов и т. д.

В целях упрощения анализа, независимо от природы диссипа­

тивных сил, примем для них единое аналитическое выражение eg, где е — коэффициент пропорциональности, g — обобщенная коор­ дината. Не раскрывая детально структуру коэффициента е, заметим только, что он определяется всей совокупностью диссипативных сил в системе.

Для некоторых диссипативных сил выражение eg не соответ­ ствует действительности и его следует рассматривать как выражение для эквивалентных диссипативных сил, которые определяются из условия .равенства рассеяния энергии, вызванного в системе за один

106

цикл этими силами и действительными диссипативными силами [39]. Правомерность такого подхода вытекает из того, что при исследова­ нии рассеяния энергии в системе «подъемный сосуд — армировка» практический интерес представляет не сам процесс рассеяния энер­ гии, а его суммарный эффект.

Например, конструкционное демпфирование в системе «подъем­ ный сосуд — армировка», согласно исследованиям, приведенным в работе [33], целесообразно осуществить включением элементов с вязким трением (диссипативные силы пропорциональны первой сте­ пени скорости) или элементов, дающих «гистерезисную петлю» за цикл нагружение — разгрузка. Оба типа демпферов в первом при­ ближении создают одинаковый эффект, и при исследовании демпфе­ ров второго типа можно рассматривать эквивалентные диссипатив­ ные силы.

Учитывая наличие малого параметра в членах, определяющих дис­ сипативные силы, запишем их в правые части уравнений, пренебре­

— (C.vi—С.кп) (^+Z*ß*—у*)—ll (Сх2—Схл) (a:+Z*ß*+Y*)+

(HI.16)

+П («Сх3- С х п) (х—Z2ß*—у*) + Z* (Сх4- с ; . л) (®-Zjß* + у*)—

—(Cx\F.*i + CxoFxo)-rll (Cx3Fx3+CxiFxi)—ßßßß*—eßXx —e^y*:,

107

и систему уравнений, описывающую колебания подъемного сосуда в лобовой плоскости,

Аналогичным образом можно записать уравнения малых движе­ ний подъемного сосуда при двух односторонних проводниках (рис. 43). В существующих и проектируемых конструкциях жесткой армировки односторонние проводники обычно располагаются иа равном расстоя­ нии от середины несущего расстрела. Такая конструкция яруса обес­ печивает более устойчивое движение сосуда и должна быть рекомен­ дована в качестве обязательной при проектировании армировки. Поэтому в дальнейшем будем полагать равенство лобовых и боковых

описывающую колебания подъемного сосуда в боковой плоскости

108

исистему уравнений, описывающую колебания подъемного сосуда

влобовой плоскости,

+ ПСуі {Fуі + Fу%)— ПСуз (Fy3 + Fуі)— еаоа* — еауу.

Составим аналогичным образом уравнения малых движений подъ­ емного сосуда при четырех двухсторонних проводниках (см. рис. 44). Рассматривая симметричное расположение проводников относи­ тельно середины несущих расстрелов, как и в предыдущей схеме,

109