книги из ГПНТБ / Баклашов, И. В. Расчет, конструирование и монтаж армировки стволов шахт

Под временной постоянной тс в системе «подъемный сосуд— армировка» следует понимать время релаксации амплитуды колебатель­ ного процесса, характеризующее скорость изменения амплитуды. Время релаксации амплитуды по порядку величины равно (eto0)_1, где со0 — частота колебаний системы, е < 1 — малый параметр воз-_ мущения системы.

Согласно изложенному выше целесообразно рассматривать внеш­ нее (определяемое вертикальным профилем проводников) и внутрен­ нее (определяемое поперечной жесткостью проводников) случайное воздействие на систему «подъемный сосуд — армировка».

Внастоящей главе исследуем динамические процессы в системе

соднородными параметрами, т. е. при отсутствии флюктуаций подат­ ливости несущих расстрелов и шага армировки и при движении

подъемного сосуда с постоянной скоростью z = ѵ. В этом случае отсутствует внутреннее случайное воздействие на систему.

Ранее выполненные исследования [30, 3] внешнего случайного воздействия, основные результаты которых изложены выше в § 12, показали, что для внешнего случайного воздействия всегда выпол­ няется неравенство тк > тс, а в большинстве случаев усиленное не­ равенство тк > тс.

Отсюда исследование стохастических дифференциальных урав­ нений, описывающих колебательный процесс, в системе с однород­ ными проектными параметрами при постоянной скорости подъема можно выполнить асимптотическим методом [42] в квазистатическом приближении [40]. Сущность указанного метода заключается в сле­ дующем.

«Подъемный сосуд — армировка» представляет колебательную систему со многими степенями свободы. Наличие возмущающих сил и внутреннего трения в таких системах является причиной быстрого

111

исчезновения высших частот и установления основного тона коле­ баний с частотой а у. Поэтому представляется целесообразным рас­ сматривать одночастотный режим колебаний системы. Следует под­ черкнуть, что одночастотный режим рассматривается также в рабо­ тах [21, 32], и погрешность такого рассмотрения вполне допустима для инженерных решений.

Исследуем систему стохастических дифференциальных уравнений второго порядка, описывающую поведение колебательной системы со многими степенями свободы при наличии случайного возмущения!

N

I — обобщенный параметр, определяющий случайную составля­ ющую возмущения системы.

Левые части уравнений (III.22) представляют систему дифферен­

Правые части — возмущение колебательной системы, определяе­ мое обобщенными силами, зависящими явно от времени и имеющими случайную составляющую:

Остановимся на исследовании системы уравнений (III.23) не­ возмущенного движения. Частные решения этой системы, соответ­ ствующие нормальным колебаниям, записываются в виде

112

ФІ£ (s, J = 1,2, . . N) — нормальные функции, являющиеся не­ тривиальными решениями системы однородных алгебраических ура­ внений

Далее будем искать решения системы уравнений (III.22), соответ­ ствующие одночастотному режиму колебаний, близкому к какомулибо нормальному колебанию с частотой соу. Рассмотрим «резонанс­ ные» случаи, представляющие наибольший практический интерес. Причем исследуем как резонансную область, так и подходы к ней из нерезонансной области.

Легко показать [32], что в «нерезонансном» случае колебания в си­ стеме «подъемный сосуд — армировка» даже при наличии минималь­ ного рассеяния энергии являются затухающими, и в этом отноше­ нии исследование «нерезонансного» случая мало интересно для прак­ тики.

Решение системы (III.22) ищем в виде асимптотических рядов

Остановимся более подробно на решении в первом приближении

gs= 9(/)aCos(-5-vi + ft) (III.31)

(s, 7= 1, 2, . . ., N).

В системе «подъемный сосуд — армировка» структура возмуща­ ющих сил (III.24), содержащих малый параметр е, такова, что ошибка первого приближения (III.31) в большинстве случаев будет не более 15%. При тех же условиях ошибка второго приближения

. Следовательно, работа произведенная возмущающими силами в среднем за промежуток времени Т, не исчезает только в случае

Если учесть, что в системе «подъемный сосуд — армировка» ѵ = = - ^ - , а коэффициенты тп и п, согласно изложенному в § И и 12,

получаем последовательность областей обыкновенного и параметри­ ческого резонанса.

Аналитические представления возмущающих сил, приведенные в § 11 и 12, выделяют следующие резонансные области, реализация которых на практике наиболее вероятна. Для внутренних возмуща­ ющих сил в разложении лобовой жесткости проводников при обыч­ ных схемах армировки гармоники п = 2, 3, 4:.. малы и их можно не учитывать, рассмотрению подлежит только первая гармоника п — 1. Исключение составляют схемы армировки с дополнительными скобами-стяжками в пролете между-ярусами, для которых необхо­ димо учитывать влияние гармоники п = 2. В разложении боковой жесткости проводников весьма существенную мощность несут гар­ моники п = 1,2, они и подлежат рассмотреншо.

При внешнем возбуждении согласно представлениям (11.104) Ч- Ч- (11.107) значительная часть вносимой в систему мощности при­

ходится на гармонику m = 2. Влияние остальных гармоник с перио- зI

дом Т ^ — может быть учтено введением случайных функций кине­

матического зазора. Правомерность такого подхода становится по­ нятной, если иметь в виду, что при неизбежном кинематическом за-

. .. 31

зоре продолжительность контактирования t — и направляющие

подъемного сосуда успевают реагировать на кривизну проводников, определяемую только первой гармоникой m = 2.

Следовательно, для анализа колебательного процесса в системе «подъемный сосуд — армировка» практический интерес предста­ вляют резонансные области п = і, 2 и тп = 2. С другой стороны, наиболее неблагоприятный случай с точки зрения поведения сис­ темы имеет место при совпадении частот обыкновенного и параметри­ ческого резонанса со" = со", т. е. при тп = 2. Для указанных число­ вых последовательностей (III.38) и (III.39) совпадение возможно только в единственном случае при тг = 1 и т = 2. При п — 2 насту­ пает только параметрический резонанс, но соответствующая ему

деленную опасность для поведения системы.

Окончательно приходим к выводу, что поведение системы «подъ­ емный сосуд — армпровка» необходимо исследовать в резонансных

областях ш: — у, где — = 1,1/2, и на подходах к ним из нерезонанс-

?Я

ных областей.

Амплитуда а и фазаА первого приближения (III.31) определяются: из системы уравнений

d a

-1Г^ г А х [а, А, £);

(III.40)

4 г = ю/ _ 1 ‘ ѵ + е-Ві(а’ *•«!).

Для определения А х (а, fl, £) и В х (а, О-, §) имеем систему,

в выражение для обобщенных сил (III.43), меняется медленно, т. е,

£— const. При этом имеется в виду, что функции (III.43) при £ =

=const являются периодическими по отношению к vt с периодом 2л и могут быть представлены в виде конечных сумм Фурье.

Так как правые части уравнений (III.41) после интегрирования

будут представлять суммы типа 2/с„ (а, £) ѳгпи, решение для

116

А 1(а,ф, I) II В х (а,ф, I) следует искать в виде аналогичных сумы.

ветствующий ему квазистационарный режим колебаний, амплитуда и фаза которого определяются из системы уравнений (III.40), если

Решения системы (111.44) определяют амплитуду a0 и фазу ф,,. как безынерционные функции от случайного воздействия, характери­ зуемого параметром £ (t). Статистические характеристики амплитуды и фазы могут быть найдены методами теории безынерционных пре­ образований.

Исследование устойчивости квазистационарных колебаний с ам­ плитудой а0 и фазой Фо на участке реализации соответствующего квазистационарного режима выполняется известными методами. На основании (III.40) записываются уравнения в вариациях

откуда получаются условия устойчивости квазистационарных коле­ баний

При исследовании поведения системы «подъемный сосуд — армировка» следует иметь в виду, что обобщенные силы (III.43), действу­ ющие на систему, зависят явно от координаты z и амплитуда колеба­ тельного процесса является случайной функцией координаты z. Переход от параметра t, принятого в изложенном методе, к пара­ метру z при постоянной скорости подъема осуществляется зависи­ мостью z = vt.

Используем изложенный метод для исследования системы урав­ нений (III. 17), описывающей колебания подъемного сосуда в лобо­ вой плоскости при движении его по двум двухсторонним провод­ никам. В процессе исследования выполним количественную оценку погрешностей, допускаемых введением специальных предпосылок и рабочих гипотез, упрощающих анализ уравнений.

117

I

Решение системы (III. 17) ищем в виде

(III.48)

а* = cp^acos яр,

і= 1,2;

/= 4, 5 (в дальнейшем будем полагать, что обобщенным коорди­

натам X, ß, у, г/, а соответствуют индексы j = 1, 2, 3, 4, 5). Система уравнений невозмущенного движения записывается сле­

дующим образом:

ниями следующей системы однородных алгебраических уравнений!

(7 = 4, 5)

При исследовании армировки с однородными проектными пара­ метрами .обобщенные возмущающие силы имеют вид

где для горизонтальных перемещений контактных точек сосуда вве­ дены обозначения

118

периодических отклонений профиля проводников с высшей круго­

приятном случае приблизительно эквивалентно учету в системе ки­ нематических зазоров, равных

kyn = Qn + \fn\ (п=1, 2, 3, 4). (III.55)

Кроме того, при исследовании резонанса і = 2 можно считать, что-

f„ = 0.

Поэтому с целью упрощения дальнейших исследований будемопределять величины кинематических зазоров Ауп по формулам

вместо соответствующих формул (11.104) и (11.105). Применение фор­ мул (III.56) обеспечивает -завышение амплитуды колебаний сосудане более чем на 15%.

Заметим также, что членами, содержащими произведение Fun Су1п. можно пренебречь ввиду их малости (оценка допускаемой при этом погрешности приводится ниже).

Рассмотрим случай, когда горизонтальные перемещения контакт­ ных точек сосуда превосходят соответствующие кинематические за­ зоры, т. е. проводники упруго деформируются.

Тогда в результате интегрирования получаем

2г 2- Л=5

119*

(III.64)

В квазистатическом приближении можно положить а = 0, ф =

=0 (оценка допускаемой при этом погрешности приводится ниже)

язаписать уравнения для квазистационарных колебаний

—W„ + М1лsin гй1— М2Лcos 2й = 0;

(III.65)

а (со?— Д"ѵ3) — Рл+ іИ’ілСО8 2й + М2л5іп 2'0’ = 0.

Исключив из этих уравнений фазу ft, находим зависимость между амплитудой квазистационарных колебаний а и частотой возмуща­ ющих сил V

со? — V2 — ± -і- Ѵ М \Л+ Щ л - Wl = 0. (III.66)

Условия устойчивости (III.47) квазистационарных колебаний имеют вид

Отсюда получаем зависимость между а и ѵ для устойчивых квази­ стационарных колебаний, лежащую в дорезонансной области,

C0/ - X v2“ _y L— Г ѴМ\п + М \л— ИД = 0. (III.68)

Определив а из уравнения (III.68) и подставив в (III.54), получим горизонтальные перемещения контактных точек сосуда.

Выполним некоторые преобразования с целью упрощения зави­ симости (III.68) и оценим допускаемую при этом погрешность. При эксплуатации реальной системы «подъемный сосуд — армировка» обычно выполняется условие

(н = 1, 2, 3, 4),

что дает возможность заменить (III.63) приближенным выражением

1 2 0