книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 307

одной ступенчатой нагрузке на двух различных уровнях напряжения. В работе [7.35] показано, что более общие

с исследованием ползучести при программе нагружения, включающей суперпозицию двух тождественных нагру­ зок. Поскольку в определяющем соотношении оставля­ ются только два члена, экспериментальные данные мож­ но подобрать в точности только для двух различных уровней нагружения, что ограничивает как степень рас­ сматриваемой нелинейности, так и ее тип. Механические характеристики, определенные из названных опытов на ползучесть, дали удовлетворительные результаты (см. работу [7.35]) для описания поведения при двух после­ довательных ступенчатых изменениях напряжения с не­ равными уровнями. Более широкие сопоставления тако­ го типа провели Финдли и его соавторы в работах, о ко­ торых будет сказано ниже.

Сходная, но более общая процедура определения ме­ ханических характеристик указана в работе [7.28]; ана­ логичное исследование осуществлено в работе [7.23]. Финдли и соавторы провели несколько исследований механических характеристик, используя разложения кратных интегралов. В некоторых из этих исследований функции интегрирования (как, например, в соотношении (7.53)) были взяты в виде произведения

Л

мерных функций / ,( т). Подход такого типа дали Финдли и Онанан [7.10]. Готтенберг н др. [7.11] использовали в известной мере сходные способы упрощения процедуры определения механических характеристик в своих экспе­ риментальных исследованиях релаксации напряжения, однако они не приняли функции интегрирования в виде произведения, как это сделано в (7.54), а предположили, что

Gi(Т ь Т 2, ..., Гі) = Gi(T i + т2 + ... + тг) у

308 Гл. 7. Определение механических характеристик

что вновь свело задачу определения многомерной функ­ ции к задаче отыскания одномерной функции.

Совершенно иная процедура определения механиче­ ских характеристик, известная под названием модифици­ рованного принципа суперпозиции, рассматривалась в работах Финдли и соавторов. Эта процедура, которую впервые описали Финдли и Хозла [7.8], использует до­ пущение, что деформации, вызванные ступенчатыми из­ менениями уровня напряжения, можно выразить в виде

— функция, описывающая поведение при ползучести, на­ чинающееся в момент t — ti для предварительно разгру­ женного материала, который внезапно испытал напря­ жения уровня оу В линейном приближении F должно быть пропорционально ар, в нелинейном случае допус­ кается общая нелинейная зависимость F от Оі. Из фор­ мулы (7.55) мы видим, что деформация, вызванная ря­ дом внезапно приложенных изменений напряжения, ока­ зывается такой же, как и в результате последовательно­ сти приложенных и снятых напряжений, действующих на предварительно разгруженный образец.

Данное допущение относительно механического пове­ дения не имеет теоретического обоснования в том смыс­ ле, в каком ее имеют зависимости (7.52) и (7.53); однако в нескольких случаях такое определяющее соотношение оказалось полезным. Лэй и Финдли [7.20] выразили этот модифицированный принцип суперпозиции в иной форме, а именно как изменение напряжения в ответ на ряд из­ менений деформации, и сравнили некоторые полученные отсюда результаты с результатами прямого приложения зависимости (7.53), в которой используется упрощенная форма интегрируемых функций (7.54). Было показано, что обе процедуры являются удовлетворительными. За­ метим, что процедура, связанная с модифицированным принципом суперпозиции, согласуется с линейной теори­

§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 309

ей вязкоупругости, поскольку обычную линейную теорию можно рассматривать как предельный случай нелиней­ ной теории. Пипкин и Роджерс [7.29] предложили обоб­ щение этой процедуры, связанное с модифицированным принципом суперпозиции.

Механические характеристики, относящиеся к двумер­ ному поведению нелинейных вязкоупругих твердых тел, рассматривали, например, Финдли и Лэй [7.9, 7.21]. Однако эти многомерные формулировки в какой-то мере произвольны, поскольку они не выводятся как частные случаи более общей теории, а в сущности являются од­ номерными формулировками с добавлением некоторых дополнительных членов, учитывающих взаимосвязь ком­ понент.

Стеффорд [7.31] дал обзор нескольких процедур ти­ па Грина—Ривлина, а также некоторых других. Градовчик [7.13] показал, что ядра в этих типах разложений, как правило, очень чувствительны к погрешностям экс­ перимента и эта чувствительность увеличивается с увели­ чением числа членов разложения. Несмотря на это огра­ ничение, только что изложенные результаты, по-видимо­ му, дают вполне успешный метод определения механиче­ ских характеристик для нелинейных вязкоупругих тел. Однако большинство экспериментальных результатов получено хотя бы при одном из следующих ограничений: а) деформации считаются настолько малыми, что можно пользоваться инфинитезимальной теорией, б) при рас­ сматриваемом уровне деформаций материал проявляет лишь слабую нелинейность, в) материал проявляет лишь в малой степени вязкие свойства. Некоторые из этих ограничений приводят к значительному упрощению задачи.

Исследования по определению механических характе­ ристик трехмерной теории для существенно нелинейных материалов с большой вязкостью пока что весьма не­ многочисленны. Одной из работ, которая выходит за рамки указанных выше ограничений, является работа Де Хоффа и др. [7.6]. Эта работа связана с определе­ нием механических характеристик, отвечающих частной теории вязкоупругости, так называемой конечной линей­ ной теории, о которой упоминалось в & 6 2

310 Гл. 7. Определение механических характеристик

В отличие от многочисленных явных и неявных огра­ ничений, которые накладывались при определении меха­ нических характеристик для нелинейно вязкоупругих твердых тел, в случае нелинейно вязкоупругих жидко­ стей накладывалось мало ограничений, относящихся к рассматриваемым типам материалов или к диапазону экспериментальных результатов. Рассмотрим теперь слу­ чай вязкоупругих жидкостей.

Ж идкости

Течение неньютоновых жидкостей было предметом многочисленных исследований. Первые попытки учета нелинейных эффектов заключались в том, что коэффици­ ент вязкости в определенных уравнениях ньютоновской жидкости считали функцией скорости деформации. В на­ стоящее время такой подход считается непригодным, по­ скольку, помимо всего прочего, в нем не учитывается влияние нормальных напряжений, которое мы наблюда­ ли при простом течении сдвига вязкоупругих жидко­ стей.

Все другие попытки построения теории вязкоупругих жидкостей, менее общей, чем рассмотренные в этой кни­ ге теории функционального типа, страдали различными недостатками. Однако в частном случае стационарного вискозиметрического течения была построена частная теория, которая оказалась весьма полезной. Течения та­ кого типа обладают той особенностью, что локальная деформация всюду носит характер течения простого сдвига, и, следовательно, для довольно широкого класса стационарных течений эти течения описываются функ­ циями касательных и нормальных напряжений, завися­ щими от скорости деформации и определяемыми из экс­ периментов на стационарный простой сдвиг. Этот вопрос полностью исследован в монографии Колемана и др. [7.5]. Однако в дальнейшем мы не будем касаться част­ ных теорий такого типа, а займемся определением меха­ нических характеристик для некоторых теорий, описы­ вающих общее поведение вязкоупругих жидкостей. При этом мы ограничимся несжимаемыми жидкостями.

Сприггс и др. [7.30] дали оценки нескольких различ­ ных типов определяющих соотношений для вязкоупругих

§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 311

жидкостей. Две более общие формы соотношений, соот­ ветствующие несжимаемым жидкостям, рассматривают­ ся здесь. Бернстейн и др. [7.1] предложили определяю­ щее соотношение для вязкоупругих жидкостей в виде

и тензор обратного преобразования С\т! (т) определяет­ ся зависимостью

Гидростатическое давление обозначено через р. Функции релаксации рі и ц2 в (7.57) зависят от инвариантов I и II тензора Ст^1 (т) и получаются из потенциальной функ­

ции U с помощью зависимостей

Определяющее соотношение (7.57) характеризует на­ пряжения с помощью линейных функционалов истории деформации СД(т) и C j> (т), но с учетом нелинейности,

вносимой мерами деформации и зависимостью функций релаксации р,і и р2 от истории деформаций относительно мгновенной конфигурации.

Теория несколько иного типа развита Сприггсом и др. [7.30]. Эта теория, которая основывается на более ранней работе Лоджа [7.26] по упругим жидкостям, ха­ рактеризуется зависимостью

312 Гл. 7. Определение механических характеристик

t

О ц = Р&ц + j [Л(t — Т, II) [(1 + Ѵ2б) Cij1(т) +

- —00

+ 1/. вС и {x)]dx, (7.60)

где Cij и Сд1 определяются формулами (7.58) и (7.59),

а е — подлежащий определению эмпирический пара­ метр. Функция релаксации р считается зависящей от тен­ зора скоростей деформации через инвариант

зависимостью (6.4). Частная форма функции релакса­ ции р в формуле (7.60) предложена в работе [7.30]. Су­ щественное различие между определяющими соотноше­ ниями (7.57) и (7.60) состоит в том, что в первом из них функции релаксации зависят от истории деформаций от­ носительно мгновенной конфигурации, тогда как во вто­ ром функция релаксации считается зависящей от исто­ рии скоростей деформации. Это, безусловно, важное раз­ личие, которое мы рассмотрим ниже.

Следует отметить, что ни одна из теорий, представ­ ленных соотношениями (7.57) и (7.60), не вытекает не­ посредственно из общей теории вязкоупругих жидкостей, приведенной в гл. 6. Тем не менее, если удается показать,

шения (7.57) использовали несколько иной вид термо­ динамического подхода, отличный от приведенного в гл. 6.

Всеобъемлющей стандартной экспериментальной про­ цедуры для определения таких механических характери­ стик вязкоупругих жидкостей, как функции релаксации в зависимостях (7.57) и (7.60), не существует. Разу­ меется, можно применить стандартные опыты на релак­ сацию, использующие ступенчатое изменение напряжен­ ного состояния. Зепас и Крафт [7.36, 7.37] использовали эксперименты по релаксации напряжений для определе­ ния механических характеристик в (7.57) и убедились,

§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 313

что эти определяющие соотношения правильно пред­ сказывают поведение жидкости в несколько иных условиях.

Однако виды экспериментов, разработанные в по­ следнее время, позволяют подойти к теории жидкостей

сболее строгих позиций. Одна такая опытная процеду­ ра связана с переходным процессом роста напряжений, когда материал в состоянии покоя подвергается внезап­ ному стационарному течению простого сдвига с последу­ ющим затуханием напряжений, вызванным внезапным прекращением стационарного течения сдвига. Не оче­ видно, однако, что механические характеристики для рассмотренных здесь видов теорий, если их определять

спомощью одной из этих процедур, могут применяться

вдостаточно общем случае. Причины такой неуверен­ ности становятся ясными при рассмотрении некоторых характерных экспериментальных данных.

Виноградов и Белкин [7.33] получили данные для инициирования из состояния покоя внезапного стацио­ нарного течения сдвига. В опыте это состояние вызыва­ лось течением, заключенным в пространстве между плос­ кой пластинкой и вращающимся вблизи нее почти плос­ ким конусом. Касательные напряжения при течении такого типа асимптотически приближаются к напряжени­

ям при простом сдвиге, если угол между пластинкой и конусом стремится к нулю. Получающиеся в резуль­ тате напряжения при переменном течении сдвига в по­ листироле при повышенных температурах показаны схе­ матически на рис. 7.7.

При низких скоростях деформации напряжения мо­ нотонно увеличиваются со временем до асимптотическо­ го значения, соответствующего стационарному состоя­ нию. Однако, когда ступенчатая функция в выражении для скоростей деформации растет, функция напряже­ ний приобретает максимум. Таким образом, при переход­ ном поведении касательные напряжения за короткое время достигают значения, которое превышает предель­ ное напряжение при стационарном сдвиговом течении. С ростом скоростей деформации «горб» все увеличива­ ется, а время, за которое достигается стационарное со­ стояние, уменьшается.

314 Гл. 7. Определение механических характеристик

Такой вид поведения, в котором имеется «горб», не моделируется удовлетворительно ни соотношением (7.57), ни соотношением (7.60). Карро, Бёрд и др. [7.3, 7.4] предложили дальнейшее обобщение определяющего соотношения (7.60), однако, как отмечается в этих ра­

ботах, эта обобщенная теория неудовлетворительно модели­ рует переходный процесс в на­ чале течения простого сдвига.

Появление «горба» кажет­ ся весьма неожиданным. Если отнести меру деформаций к на­ чальному свободному от на­ пряжений недеформированно­ му состоянию, то тип поведе­ ния, представленный на рис. 7.7, описывает ситуацию, в ко­ торой напряжения в опреде­ ленный период времени умень­ шаются, тогда как выбранная мера деформаций непрерывно возрастает. Такое поведение может иметь несколько воз­ можных объяснений; напри­ мер, оно может убедительно представлять динамическое по­ ведение жидкого образца, или

динамическое взаимодействие жидкого образца с испы­ тательной машиной, или, возможно, какой-либо вид по­ тери устойчивости. Однако тщательное исследование ти­ пичных экспериментальных процедур и машин показы­ вает, что ни одно из таких объяснений не является убедительным. По-видимому, такое аномальное поведе­ ние объясняется типом механизма разрушения жид­ кости.

Использование термина «разрушение» по отношению к жидкости имеет смысл, отличный от представления об образовании и распространении трещин при разруше­ нии твердых тел. В отношении жидкостей разрушением называют изменение масштаба размера молекул, кото­ рое приводит к изменению основных определяющих

§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 315

свойств материала. Например, поведение рассматривае­ мого типа не будет казаться противоречивым, если мо­ лекулярные связи разрушаются и не восстанавливаются мгновенно.

В отличие от разрушения твердых тел кажущееся разрушение вязкоупругих жидкостей является обрати­ мым процессом, в силу чего экспериментальные резуль­ таты можно получать на одном и том же образце. Таким образом, может оказаться, что этот возможный меха­ низм разрушения вязкоупругих жидкостей не нарушает инвариантности по отношению к переносу времени, как это происходит при разрушении твердых тел. Вне зави­ симости от того, представляет ли «горб» разрушение или что-либо еще, ясно, что задача определения механиче­ ских характеристик в нелинейной теории вязкоупругих жидкостей в общем остается очень трудной.

упругих твердых тел. Однако данные об исследованиях вязкоупругих жидкостей показывают, что в типичном интересующем нас диапазоне нелинейность столь вели­ ка, что для точного моделирования поведения нужно ос­ тавлять в разложении очень много членов. Подобные соображения, разумеется, применимы и к твердым те­ лам; если в полиномиальном разложении оставляется лишь два или три члена, то в общем случае на степень и тип моделируемой нелинейности накладываются жест­ кие ограничения. Поскольку метод полиномиальных разложений для случая вязкоупругих жидкостей не­ практичен, следует обратиться к поискам других мето­ дов, два из которых уже упоминались.

Отправной точкой другой возможной теории частич­ но служит определяющее уравнение (6.74) из тл. б.

316 Гл. 7. Определение механических характеристик

— oo — oo

где A(ti, T2) в (6.74) взято в приведенной форме

А(т1; т2) = р (tj г т2)

и где Gij(x) определено по формуле (6.47). Эта частная форма соотношения (6.74) между напряжением и де­ формацией, выведенного в гл. 6 из функционала накоп­ ленной энергии, является той частью формы полиноми­ ального разложения, которая сводится к теории обыч­ ной ньютоновской вязкой жидкости в условиях доста­ точно медленного стационарного течения. Функция ре­ лаксации р(^) является функцией релаксации линейной теории и может быть определена обычным путем.

Предположим, что главной причиной нелинейного поведения вязкоупругих жидкостей является изменение определяющих свойств материала при некоторых усло­ виях течения, причем это изменение полностью учиты­ вается изменением функции релаксации р(0- Такое предположение подкрепляется вышеупомянутыми явны­ ми изменениями или временным механизмом разруше­ ния в молекулярном масштабе. Однако с главной зада­ чей мы сталкиваемся при решении вопроса о дом, как учесть зависимость функции релаксации от некоторой характеристики или характеристик поля течения. Осно­ вываясь на видимых изменениях, вызванных временным разрушением связей на молекулярном уровне, мы ви­ дим, что напряжение является переменной поля, кото­ рую легче всего интерпретировать на молекулярном уровне и на этом уровне можно с уверенностью связы­ вать с критерием разрушения. Работа Кайе [7.16] так­ же служит подтверждением того, что напряжения можно использовать как определяющую переменную поля с применением функций релаксации.