книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf300 Гл. 7. Определение механических характеристик
рами изотермической теории. В этом случае соответст вующие механические характеристики определяются при температуре окружающего воздуха, равной исходной температуре, при которой используется теория, как, на пример, при температурах, для которых получены экспе риментальные данные на рис. 7.1—7.4. Однако если ме ханические характеристики используются в неизотерми ческой теории, ситуация становится значительно более сложной и возникают две возможности. Этот неизотер мический случай и будет сейчас рассмотрен.
Общая теория линейной связанной термовязкоупру гости была развита в гл. 3. Было подсказано, что меха нические характеристики следует получать и применять при фиксированной исходной температуре, которая уста навливается вначале. В результате, хотя теория допуска ет инфинитезимальные температурные отклонения от исходной температуры и температура является явно вы раженной полевой переменной, зависимостью механиче ских характеристик от этих инфинитезимальных откло нений по отношению к исходной температуре по необхо димости приходилось пренебречь. Если в какой-либо свя занной задаче термовязкоупругости отклонения от исход ной температуры оказываются достаточно большими, чтобы вызвать значительные изменения в механических характеристиках, то отсюда просто следует, что постав ленная задача выходит за рамки линейной связанной теории. Таким образом, определение механических ха рактеристик, используемых в линейной связанной теории термовязкоупругости, производится по той же схеме, что и в изотермических условиях: эти механические харак теристики определяются просто при постоянной темпера туре, соответствующей исходной температуре в задаче, где их предполагается использовать.
Вторая возможность в неизотермическом случае свя зана с механическими характеристиками, используемы ми в несвязанной теории линейной термовязкоупругости. В этом случае предполагается, что либо история темпе ратурного поля известна из экспериментальных данных, либо можно пренебречь членом, выражающим взаимо связь механических и тепловых эффектов в связанной теории, так что переменная температура может быть оп-
§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 303
Естественно возникает вопрос, можно ли считать, что данный материал обладает термореологически простым типом поведения. Общих условий, которые дают ответ на этот вопрос, не существует. Единственный определен ный и безопасный ответ состоит в проверке, допустима ли для интересующего нас материала вышеописанная процедура сдвига. Данные о релаксации, приведенные на рис. 7.1, как легко показать, подчиняются гипотезе сдвига, тогда как данные о комплексном модуле на рис. 7.2 и 7.3 служат обратным примером, так как их мо жно сдвигать для получения одной кривой лишь с огра ниченным успехом. Даже для материалов, которые, как показывает проверка, подчиняются гипотезе сдвига, та кая процедура, по-видимому, справедлива лишь в огра ниченных интервалах времени и температуры, прежде всего в интервале резиноподобного поведения; подробное описание такого рода ограничений см. в книге Ферри [7.7]. Ярко выраженный класс материалов, не подчиня ющихся постулату о термореологически простом поведе нии, составляют частично кристаллические полимеры, для которых температура существенно влияет на изме нения степени кристалличности.
§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной
теории
Из предыдущих параграфов видно, что общий подход и логические процедуры для определения механических характеристик, необходимых для линейной теории, мож но считать установленными и хорошо выясненными. Главной трудностью при определении механических ха рактеристик линейной теории остается практическая экс периментальная реализация этих процедур. Что касается нелинейной теории вязкоупругости, то для нее дело об стоит далеко не так просто. В нелинейной теории обычно не только труднее определить механические характери стики, чем в линейной теории, но даже нет единого мне ния относительно того, какую из нескольких возможных нелинейных теорий следует использовать в рассматрива емом частном случае. В связи с этим мы теперь не будем
304 Гл. 7. Определение механических характеристик
подробно заниматься результатами для отдельных мате риалов, а обрисуем в общих чертах несколько процедур, типичных для этого развивающегося раздела науки. Нам представляется удобным подразделить описание методов определения механических характеристик для нелиней ной теории вязкоупругости на части, относящиеся к твер дым телам и жидкостям соответственно.
Твердые тела
Общий подход к определению механических харак теристик для вязкоупругих твердых тел основывается на использовании теории Грина — Ривлина [7.14]. Эта теория использует представление напряжений в виде по линомиального разложения по линейным функционалам историй деформации. Такая процедура подобна описан ной в § 6.1, где накопленная энергия представлена поли номиальным разложением по линейным функционалам историй деформации. Обрывая ряд на некотором члене, можно найти число функций интегрирования или ядер, соответствующее числу оставленных членов. Хотя теория носит трехмерный характер, общие свойства, относящи еся к трехмерному случаю, пока не определялись. Более того, большинство имеющихся исследований по опреде лению механических характеристик относится к частно му одномерному случаю. Разумеется, это резко ограни чивает область применения названных механических ха рактеристик. Однако методы и приемы, которые оказа лись полезными в одномерном случае, по-видимому, да ют общее направление, которому нужно следовать и в более общих случаях.
Одномерное одноосное определяющее соотношение между напряжениями и деформациями по теории Гри на—Ривлина имеет вид
t
а (t) = J G] (t — т) (dE (x)!dx) dx
—oo
t |
t |
t |
+ j |
I |
G3(t — x1,t —x2,t — x3)(d E (x l)jdx1)(dE(x2)!dx2)X |
|
|
X (dE (x3);dx3) dxL dx2 dx3+ ■••, (7.52) |
§ 7.6. Механические характеристики в нелинейной теории 305
где Е ( х ) — нелинейная мера деформации, определяемая одномерным аналогом зависимости (6.2). Следует отме тить, что определяющее соотношение (7.52) вполне со гласуется с теорией вязкоупругого твердого тела из § 6 .1 . Действительно, при использовании того же хода рассуждений, что и в § 6.1, формула (7.52) следует сразу же из аналогичного одномерного представления накоп ленной энергии, содержащего в полиномиальном разло жении члены только четных порядков. Отсутствие членов четного порядка в (7.52) следует непосредственно из от сутствия членов нечетного порядка в соответствующей формуле для накопленной энергии, так как иначе нельзя было ввести предположение о неотрицательности накоп ленной энергии. Функции интегрирования в (7.52), т. е. функции
G i ( t i ) , G 3(t i , т 2) Т з ) , G 5 ( t i , т 2 , т 3, т 4, т 5) , . . . , т ^ О ,
являются функциями типа функций релаксации, описы вающими механическое поведение: они должны опреде ляться для каждого рассматриваемого материала.
Эти функции не являются внутренней механической характеристикой материала, поскольку по смыслу теоре мы приближения, на которой основано это представле ние, они зависят от уровня, на котором оборван ряд. Кроме того, многомерная природа этих функций делает их определение очень затруднительным; например, чтобы найти G3(ri, т 2 , т 3 ) , нужно построить гиперповерхность в четырехмерном пространстве (G3, ті, т2, т3).
Трудности, связанные с определением функций интег рирования для членов высших порядков, очевидны. В ча стном случае Локкет [7.24] исследовал число незави симых экспериментов, которые нужно провести для опре деления механических характеристик. Несмотря на от меченные трудности, были достигнуты некоторые успехи в определении таких характеристик или подобных им при аналогичной интегральной формулировке теории ползучести. Эта интегральная формулировка теории пол зучести излагается ниже, причем попутно описываются практические методы определения механических харак теристик.
306 Гл. 7. Определение механических характеристик
Мы не можем аналитически обратить соотношение- (7.52), чтобы выразить деформацию в виде функционала истории напряжения, но формально применив ту же про цедуру разделения, которая привела к (7.52), и поменяв ролями напряжения и деформации, приходим к зависи
мости
і
Е(t) = ]' J 1 (t — т) (do (x)jdx) dx -f
—CO
t |
t |
t |
|
+ j |
J |
I h i t — x1J — x2,t — x3)(do(x)1)/dx1)x |
|
— CO ----oo -----CO |
|
||
|
X (do (x2)/dx2) (do (x3)jdx3) dxLdx2 dx3 |
(7.53) |
|
где функции интегрирования/ і ( ) являются |
характерис |
||
тиками материала, подобными характеристикам ползуче сти. Большинство экспериментов, которые проводились для определения механических характеристик, основы валось на применении зависимости (7.53), а не зависи мости (7.52), поскольку в эксперименте легче реали зовать условия ползучести при постоянном напряжении,, чем условия релаксации при постоянной деформации. Уровень деформации в этих опытах достаточно низок для того, чтобы не было необходимости проводить раз личие между постоянным напряжением и постоянной на грузкой.
Типичными результатами такого рода опытов явля ются результаты Уорда и Уолфа [7.35]. В этой работе используется интегральное определяющее соотношение ползучести, которое оборвано на кубическом функцио нальном члене и базируется на предыдущей работе Уор да и Оната [7.34]. В условиях опыта на ползучесть при действии одной ступенчатой нагрузки зависимость, сле дующая из (7.53), имеет вид
Е (t) = Л (/) о0 + J 3 (t,t,t) со,
где
_ (0 при t < 0,
°~~ Wo при t > 0.
Следовательно, при определении функций J\ (t) и h ( t , t, t) может использоваться экспериментальная ме тодика, предусматривающая опыты на ползучесть при