книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

куда входят частные производные от А по компонентам тензора скорости деформации. Если дано выражение

для накопленной энергии А и получена производная А, то простая формула (6.62) служит операционным сред­ ством нахождения определяющего соотношения для на­ пряжения в вязкоупругой жидкости. Следует подчерк­ нуть, что представление для А должно удовлетворять требованиям изотропии и инвариантности (6.49) и дол­ жно согласовываться с гипотезой о затухающей памяти. Типичное представление, которое удовлетворяет этим требованиям, дается в следующем параграфе в связи

счастным примером течения.

Вслучае несжимаемых материалов не должно быть

локальных изменений объема и определяющее соотно­ шение для напряжения должно содержать реактивное гидростатическое давление, т. е. иметь вид

где р— постоянная плотность.

§ 6.5. Пример течения простого сдвига

Дадим физический пример, который иллюстрирует использование только что развитой теории вязкоупругих жидкостей. Этот пример, как и пример, рассмотренный в § 6.3 для вязкоупругого твердого тела, относится к простой деформации сдвига; однако теперь мы рассмот­ рим состояние неограниченного течения, при котором по отношению к фиксированной системе координат Хк со­ стояние деформации задается в виде

*1 (*) — Хі + К {г) Х2, х2(%) ~ Х2, Хз(х) = Х3, (6.64)

где /((г) определяет скорость течения или деформации. При К (т) = Кот/г (т) эти соотношения определяют пере­ ход от начального состояния покоя к стационарному со­ стоянию течения простого сдвига. Найдем переходное напряженное состояние, которое нужно приложить к жидкости, чтобы получить такое состояние течения. На-

258 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупруіости

ши определяющие соотношения используют в качестве конфигурации отсчета мгновенную конфигурацию, и со­ ответствующим образом мы должны определить и тече­ ние сдвига. Для этого запишем формы, соответствующие (6.64) для текущего момента времени t, а затем исклю­ чим из двух систем уравнений координаты Хк . Это да­ ет уравнения

В качестве примера рассмотрим частный тип несжи­ маемой жидкости, используя частное представление для накопленной энергии А. По аналогии с формами, ис­ пользованными в § .6.3 для вязкоупругих твердых тел, примем

иимеют место следующие свойства симметрии:

у(т, р) = у(р, т), А(т, р) = А(р, т). (6.69)

270 Тл. 6 Нелинейная теория вязкоупругости

В это выражение нужно подставить следующие ки­ нематические соотношения:

Таким образом, третий член в правой части этого ра­ венства можно далее считать включенным в гидроста­ тическое давление. При таком условии, интегрируя все интегралы в (6.74) по частям и используя (6.70), а так­ же равенство G ij(t)— 0, получаем, что определяющее соотношение для напряжений соответствует тому, кото­ рое дали Колеман и Нолл [6.10] для теории несжимае­ мых вязкоупругих жидкостей второго порядка, но содер­ жит на одну независимую функцию релаксации меньше.

Возьмем теперь частный вид для напряжений (6.74), соответствующий полю деформаций, определяемому за­ висимостями (6.65), и в результате получим

°и — р — 4 j*

—со — оо

272 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

t t

а зз — Pt

t t

tfia = — 4 j ^ y { t - x , t - x \ ) d- ^ - ^ \ K { x \ ) - K ( t ) ? d x d 4 +

и

<723 —•°зі — 0.

Эти формулы представляют решение, отвечающее состо­ янию простого сдвига.

Течение еще более частного вида можно рассмотреть,

так что поле течения (6.64) начинается с состояния по­ коя и далее является стационарным течением простого сдвига. Это состояние течения, как и то, которое будет рассмотрено далее, нарушает допущения о непрерывно­ сти, принятые в предыдущих выводах. Оправдание этого нарушения следует из рассуждений, приведенных в § 3.2 для ослабления требований непрерывности. Под­ ставляя в формулы (6.75) выражение (6.76) для К (х), получим следующие формулы для напряжений:

t t

ап = — р — 4Kl j’ [ А (и, V) dudv,

о 6

274 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

когда исчезают начальные переходные эффекты, эффек­ тивная ньютоновская вязкость находится по формуле

оо

4 I’ А (и, 0) du.

о

Этот предельный случай течения ньютоновского типа аналогичен тому, который обсуждался в § 1.3 примени­ тельно к намного более ограниченному контексту ли­ нейной теории.

В рассматриваемой задаче о течении простого сдви­ га уравнения равновесия удовлетворяются тождественно в силу того, что деформация однородна и инерционными членами мы пренебрегали. Даже в этой довольно про­ стой задаче проявляются некоторые эффекты, которые присущи поведению вязкоупругих жидкостей и которые не предсказываются ни теорией упругого тела, ни тео­ рией вязкой жидкости. Более того, задача о течении про­ стого сдвига имеет гораздо большее значение, чем это кажется на первый взгляд.

Существует весьма широкий класс неоднородных те­ чений, так называемые вискозиметрические течения, при которых свойства жидкостей требуется задавать исклю­ чительно в виде свойств, соответствующих состоянию течения простого сдвига. Полный анализ таких течений провели Колеман и др. [6.8]. Приведенные в этой рабо­ те экспериментальные результаты, касающиеся таких те­ чений, показывают, что при течении простого сдвига компонента напряжения, нормальная к направлению те­ чения и расположенная в плоскости течения, должна быть меньше, чем нормальная компонента напряжения в направлении течения. В наших обозначениях это ус­ ловие имеет вид а22<огц. Из соотношений (6.77) мы ви­ дим, что это неравенство справедливо для напряжений, которые получаются из представления (6.67) для накоп­ ленной энергии.

В дополнение к только что рассмотренному течению простого сдвига важное значение имеет другой вид ис­ тории деформации, а именно релаксация напряжений при деформации простого сдвига. Этот вид истории мо- >кно определить, если принять /С (тг) в (6.64) в виде

276 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

Решения, приведенные здесь для простого представ­ ления накопленной энергии (6.67), нельзя рассматри­ вать как реалистическую модель вязкоупругой жидкости в широком интервале скоростей деформации. Более реа­ листические типы определяющих соотношений для вяз­ коупругих жидкостей рассматриваются в § 7.6.

Изложенную только что теорию вязкоупругих жид­ костей ни в коем случае нельзя считать единственным обобщением ньютоновской теории вязких жидкостей. Бо­ лее ранними, но менее общими теориями поведения не­ ньютоновских жидкостей являются теории Рейнера— Ривлина, Ривлина — Эриксона и теория второго поряд­ ка Колемана — Нолла. Эти теории вкратце подытожил и исследовал Марковиц [6.17]. Многочисленные иссле­ дования были проведены и по другой теории неньюто­ новских жидкостей, которая полностью выпадает за рамки рассмотренных здесь теорий. Эта теория приме­ няется к ориентированным жидкостям, которые иногда называют жидкими кристаллами и в которых проявля­ ются некоторые эффекты анизотропии, находящиеся в прямом противоречии с изотропным характером теории, приводимой здесь. В соответствующих теоретических работах по ориентированным жидкостям напряжение не определяется одним только градиентом деформации, как это делалось здесь, а зависит от более общих кинемати­ ческих величин. Обзор этих исследований дан Эриксо­ ном [6.11].

Взаключение следует отметить специальный подход

кописанию вязкоупругих жидкостей, при котором непо­ средственно постулируются формы определяющих соот­ ношений для напряжений. Такие формы( содержат пара­ метры, которые подбираются применительно к экспери­ ментальным данным. Обзор нескольких таких моделей дали Сприггс и др. [6.20]; эта процедура будет рассмот­ рена ниже (см. § 7.6) в связи с определением механиче­ ских характеристик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

6.1.Carrol М. М., Controllable Deformations of Incompressible Simple Materials, Int. J. Eng. Sei-, 5, 515 (1967).

6.2.Carrol M. M., Finite Deformations of Incompressible Simple So-