книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости

Деформации при простом сдвиге являются изохорическими, т. е. не приводят к изменениям объема, в силу чего условие несжимаемости удовлетворяется автома­ тически. Два последних члена в выражении для сц(£)

них усилий на поверхности 2 = const. Это позволяет оп­

Последние две формулы для компонент напряжений дают точное решение задачи о простой деформации сдвига для нелинейного несжимаемого изотропного вяз­ коупругого твердого тела. Если придать функционалу накопленной энергии А какое-либо определенное выра­ жение, то можно найти производные, входящие в (6.40), и получить решение для материала частного вида. Един­ ственной ненулевой компонентой соответствующего ре­ шения в инфинитезимальной теории той же задачи бу­ дет касательное.напряжение 012. Тот факт, что в нели­ нейной теории нормальные напряжения 0ц и 022 не

в недеформированном состоянии. Эта линия в деформи­ рованной конфигурации испытывает растяжение, в свя­ зи с чем следует ожидать появления нормальных на­ пряжений. Если угол деформации K (t) мал, то величи­ на этого растяжения становится малой более высокого

17—851 '

258 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

порядка, чем угол сдвига, и нормальными напряжения' ми можно пренебречь. Эффекты, связанные с возникно­ вением таких нормальных напряжений, обычны в реше­ ниях задач нелинейной теории упругости, в силу чего нужно считать их обычными и для нелинейной теории вязкоупругости.

Для того чтобы завершить обсуждение этого вопро­ са, получим результаты для материала частного вида. Примем следующую форму выражения для накоплен­ ной энергии:

где у(т, т]) и Д(т, ц) — функции релаксации, такие, что

у(х, т}) = 0 при т < 0 при г] < 0,

А(т, rj) == 0 при т < 0 или г] < 0

и

у(т,т)) = у(ті,т), А (т, т]) = А (г|, т).

Поскольку материал несжимаем, р в (6.41) является по­ стоянной величиной. Оба члена выражения (6.41) полу­ чаются из первых членов разложения вида (6.28).

Хотя форма (6.41) подобна аналогичной форме (6.30), рассмотренной при сведении к инфинитезималь­ ной теории, их нельзя считать взаимозаменяемыми, так как в (6.41) для меры деформации используется точная нелинейная форма, тогда как в (6.30) деформации ин­ терпретируются в форме, приближенной к инфинитези­ мальной теории. Форма, принятая в (6.41), учитывает историю изменения скоростей деформации, а не самих ■ деформаций и применяется в целях упрощения. Эквива­ лентность этих двух возможных форм обсуждалась и иллюстрировалась в § 6.1.

Подставляя (6.41) в выражения для компонент на­ пряжений (6.40), находим

260 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

И

а23it) <% (t) = О33(/) = 0.

Эти выражения для компонент напряжения позволяют ввести в явном виде соответствующие функции релакса­

определения механических свойств. Более сложная си­ туация может возникнуть, если в выражения для накоп­ ленной энергии (6.41) сохраняется большее число чле­ нов. Можно ожидать, что включение дополнительных членов в (6.41) будет необходимо для того, чтобы ре­ зультаты были применимы к более широкому диапазону амплитудных параметров Ко- Практические аспекты оп­ ределения механических свойств с помощью нелинейной теории будут рассмотрены в § 7.6.

Представления, подобные (6.41), можно упростить, предположив, что аргументы функций релаксации вхо­

Подобная ситуация имела место в гл. 3, где было пока­ зано, что такое упрощение формы функций релаксации представляет собой вполне оправданное и разумное до­ пущение. Действительно, если не ввести допущения та­ кого типа, то функции релаксации, определенные из из­ мерений напряжений и деформаций, не достаточны для того, чтобы характеризовать накопленную энергию и скорость диссипации энергии, как показывают форму­ лы (6.41) и (6.45) рассматриваемого примера.

Хотя данная задача о нелинейных деформациях го­ раздо сложнее, чем аналогичная задача инфинитези­ мальной теории, она все же проста по сравнению с дру­ гими нелинейными задачами теории упругости или вяз­ коупругости. Поскольку деформации однородны, урав­ нения равновесия удовлетворяются тождественно. За­ дачи о неоднородных деформациях неизбежно связаны с удовлетворением квазистатических условий равновесия. Примером является задача о кручении прямого вязко-

стенсен [6.4]. Общий анализ аналогичен приведенному здесь. Двумя усложняющими обстоятельствами в зада­ че о кручении цилиндра по сравнению с только что рас­ смотренной задачей являются необходимость решения уравнений равновесия и особенность, связанная с ис­ пользованием криволинейных координат. В действитель­ ности сходство между обеими задачами является значи­ тельно более глубоким. Если в задаче о простом сдвиге заменить K {t) на rK (t), то решение (6.42) в точности совпадает с решением задачи о кручении, приведенным в [6.4]. Эта замена K (t) на rK (t) необходима в силу того, что в задаче о кручении величина дисторсии про­ порциональна радиальной координате г. Следовательно, крутильные деформации локально эквивалентны состоя­ нию простого сдвига. Этот результат хорошо известен в нелинейной теории упругости; для нелинейной тео­ рии вязкоупругости его впервые указал Кэррол [6.2].

Это очень краткое введение в теорию нелинейной вязкоупругости твердых тел нельзя рассматривать как единственно возможный подход к таким задачам или как указатель тех трудностей, с которыми можно встре­ титься при решении подобных нелинейных задач. Наше намерение состояло прежде всего в том, чтобы по­ казать сходство между некоторыми основными аспек­ тами линейной и нелинейной теорий вязкоупругости и продемонстрировать практическую возможность ре­ шения некоторых нелинейных задач теории вязкоупру­ гости.

Теория нелинейной вязкоупругости другого типа раз­ вивали Грин и Ривлин [6.13], а также Грин и др. [6.14]. Приложение их теории проводилось многими исследова­

[6.16]. Общий метод решения нелинейных задач вязко­ упругости по теории Грина — Ривлина дал Кэррол [6.1], приведя в работе [6.2] несколько таких решений. Кроме того, Фосдик [6.12] рассмотрел способы получе­ ния решений краевых задач того же типа, что рассмат­ ривались в [6.2]. На основе нелинейной теории вязко-

262 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

упругости интенсивно исследовалось также распростра­ нение волн в твердых телах. Обзор ряда работ такого рода дан Колеманом и др. [6.7].

§6.4. Вязкоупругие жидкости

В§ 6.1 были выведены определяющие уравнения для случая вязкоупругих твердых тел. Использование кон­ фигурации отсчета Хк в качестве предпочтительной кон­ фигурации явилось естественным следствием того фак­ та, что твердые тела имеют предпочтительную конфигу­ рацию. Основные результаты предыдущих параграфов, относящиеся к вязкоупругим твердым телам, примени­ мы также и к вязкоупругим жидкостям, если не интер­ претировать фиксированную конфигурацию отсчета как предпочтительную конфигурацию. Главное следствие та­ кого условия состоит в том, что для жидкостей свойства материальной симметрии (изотропия группы) по отно­ шению к фиксированной конфигурации отсчета не могут быть установлены 6. По этой причине предшествующие результаты имеют ограниченное применение для жид­ костей, и более удобно непосредственно перестроить теорию для вязкоупругих жидкостей. В этой теории мы не будем пользоваться мерой деформаций относительно фиксированной конфигурации отсчета, используя вместо нее мгновенную конфигурацию. Напомним, что различие между вязкоупругими твердыми телами и жидкостями на молекулярном уровне вкратце обсуждалось в § 1.3.

Вывод, который приводится здесь, весьма близок к тому, который был дан в § 6.1 для вязкоупругих тел, в особенности в том, что касается природы гипотезы зату­ хающей памяти. В силу этого мы опускаем в данном выводе некоторые детали, если они по существу совпа­ дают с аналогичными деталями в выводе § 6.1.

6 Строгое определение простых твердых тел и простых жидко­ стей см. у Трусделла и Нолла [6.211; кратко можно сказать, что жид­ кость— это материал, для которого группа изотропии во всех кон­ фигурациях является полной унимодулярной группой, а твердое те­ ло -г- материал, для которого существует некоторая конфигурация от­ счета, по отношению к которой группа изотропии является подгруп­ пой ортогональной группы.

тельно непрерывно изменяющейся мгновенной конфигу­ рации. Единственная явная зависимость, посредством которой накопленная энергия зависит от меры деформа­ ции для мгновенной конфигурации, это зависимость че­ рез плотность р (t). Если допустить для форм (6.46) за­ висимость от мгновенной конфигурации деформации бо­ лее общую, чем через одну скалярную величину — плот­ ность р (7),— то будет нарушено предположение об отсутствии предпочтительной конфигурации, и следова­ тельно, о том, что все конфигурации являются неиска­ женными. Кроме того, отсюда следует, что вязкоупругие жидкости рассматриваемого здесь типа во всех конфигу­ рациях являются изотропными. Функционал накоплен­ ной энергии (6.46) удовлетворяет принципу объектив­ ности, упомянутому во введении к этой главе, и требо­ ванию изотропии, если имеет место следующая зависи­ мость:

Ф (G.. (t - s), р (0) = Ф {Q Jt) Qin(t) Gmn(t - s), p (0), (6.49)

где Q ij(t) — соответствующий ортогональный тензор. Соотношение (6.49) утверждает просто независимость накопленной энергии от любого вращения мгновенной

266 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости

сти соотношение симметрии (6.57) удовлетворяется в си­ лу принципа объективности (6.49).

Нам требуется еще один результат, а именно запись уравнения неразрывности через плотность в виде

Подставим А из (6.54) с учетом (6.57) и (6.58) в термодинамическое условие (6.3), полученное из закона сохранения энергии и неравенства роста энтропии. Эта операция дает

д

+ 2рх,/( К / > 0. (6.59)

s = 0

Рассуждения, подобные тем, которые использовались в § 6.1, связанные с гипотезой о затухающей памяти и предполагающие существование эффекта мгновенной упругости, показывают, что для удовлетворения условия (6.59) в любых процессах коэффициент при d a должен обращаться в нуль. Это приводит к определяющему со­ отношению для напряжения в форме

где % а( ) выражается с помощью уравнения (6.56)

s = 0

через дифференциал Фреше первого порядка от функ­ ционала накопленной энергии. С учетом (6.60) неравен­ ство (6.59) принимает простой вид

и выражает требование неотрицательности скорости диссипации энергии.

Определяющее соотношение для напряжений запи­ шем в форме, более удобной, чем (6.60), замечая из (6.54) в сочетании с (6.57) и (6.58), что правая часть

(6.60) равна р(dÄjddij)-, поэтому имеют место равен­ ства