книги из ГПНТБ / Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости
.pdf§ 6.1. Вывод определяющих соотношений для твердых тел 247
Клеман [6.5] показал, что следствием гипотезы о зату хающей памяти с функцией влияния г > Ѵ 2 является такой вывод: при заданной истории деформации возможна не которая другая история деформации с теми же текущи ми значениями, что и у заданной истории, и достаточно близкая к заданной истории, так что норма разности этих историй сколь угодно мала, хотя мгновенное значе ние деформации для этой другой истории остается про извольным. Кроме того, можно сделать сколь угодно малой норму разности скоростей деформации для двух рассматриваемых историй. Отсюда следует, что мгно венное значение тензора скоростей деформации сіц мож но назначать произвольно, не меняя функционалы в (6.14). Физический смысл этого результата состоит в том, что материал обладает свойством «мгновенной уп ругости», при котором инфинитезимальная теория со гласуется с экспериментальными данными. Теперь мы видим, что при заданной истории деформации для вы полнения условия (6.14) необходимо, чтобы коэффици ент при dij обращался в нуль, т. е. чтобы
a,7 = Pä F ^ m |
І {E k l ({ - s)’ |
Е кьѴ ))хі,к хі,й (6-15) |
ö £ K L Hl S----0 |
|
|
тогда (6.14) приводится к виду |
|
|
|
рЛ( ) > 0 . |
(6.16) |
Из последнего |
і = 0 |
следует, что скорость |
соотношения |
||
диссипации энергии должна быть неотрицательна. Сле дует отметить аналогию между рассматриваемым не
линейным подходом |
и |
построением линейной теории |
в §3.1. |
дает |
определяющее соотношение |
Уравнение (6.15) |
для напряжений, которое мы и разыскивали. Соотноше
ние (6.15) |
можно записать в более простой форме: |
|
|
оц = p(dA/dEKL)Xi,KXj,L. |
(6.17) |
Другую |
форму (6.15) можно получить, |
заметив, что |
в силу (6.11)
248 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости
Таким образом, мы можем переписать (6.15) в виде
оц = р(дА /дЁкь) Xi.icXj'L. |
(6.19) |
Эти две формы определяющих соотношений для напря жений совершенно эквивалентны, и использование той или другой из них диктуется только соображениями удобства. Соотношение (6.19) предусматривает процесс,
при котором вначале определяется А, а затем коэффици енты при É KL в этом выражении, как показывает нали чие производной dÂ/dËKL. Соотношение (6.17) содержит непосредственно производные дА /дЕкь- Полезными явля ются обе формы, однако форма (6.19) обладает допол нительной привлекательностью в силу того, что, как мы увидим-ниже, для вязкоупругих жидкостей существует ее прямой аналог.
Предшествующие рассуждения основывались на оп ределении нормы (6.7) и на соответствующей гипотезе о затухающей памяти. Результаты, аналогичные только что приведенным, получили Колеман и Майзел [6.9] при более общих условиях принадлежности некоторых функций, определяющих свойства материала, банахову функциональному пространству без явного определения нормы. Мы здесь предпочли менее сложный, хотя и бо лее ограничительный вывод, поскольку формула нормы и гипотеза о затухающей памяти помогают более глубо
кому физическому пониманию поведения |
материалов, |
к которым применима теория. |
|
Для изотропных материалов рассуждения можно не |
|
сколько упростить. Следуя работе [6.22], |
примем, что |
накопленная энергия для изотропных материалов выра жается в виде функционала от шести инвариантов исто рии Е к ь (х), определяемых формулами
І(т) |
= |
tr Е (т), |
|
ІІ(т1( т2) |
= |
tr Е (т4) Е (т2), |
(6.20) |
ѴІ(ті, т2, т3, т4, т5, т6) = tr Е (т4) Е (т?) Е (т?) Е (т4) Е (т4) Е (тв),
§ 6.1. Вывод определяющих соотношений для твердых тел 24Ö
где tr — след произведения матриц Е(т), соответствую щих E k l (x). Формы (6.20) инвариантны по отношению к любому вращению системы координат Хк, и поэтому функционал историй (6.20) удовлетворяет условию изо тропии. Тот факт, что следы произведений более чем шести матриц рассматривать не нужно, доказали Спен сер и Ривлин [6.19]. Выражения в (6.20) можно пере писать также в индексных обозначениях, используя сим вол Кронекера и обобщенные символы Кронекера.
Таким образом, изотропный нелинейный функционал для накопленной энергии учитывает истории, представ ленные в (6.20), во всех возможных комбинациях. Кро ме того, этот функционал зависит от мгновенных значе ний инвариантов I (t), II (t, t), ..., VI (t, t, t, t, t, t) , а также от всех возможных сочетаний мгновенных значений и прошлых историй, таких, как II (t, х2) и т. п. Характерный пример функционального представления накопленной энергии дается в § 6.3. Определяющее соотношение для напряжения в изотропном материале по-прежнему сле дует или из (6.17), или из (6.19), где накопленная энер гия является функционалом историй в (6.20).
Общая зависимость накопленной энергии в изотроп ном материале от инвариантов истории совершенно ана логична соответствующей зависимости в изотропной инфинитезимальной теории. В самом деле, изотермиче ская форма накопленной энергии в изотропной инфини тезимальной теории может быть переписана в таком виде, при котором один член будет квадратичным функ ционалом истории первого инварианта в (6.20), тогда как второй член — квадратичным функционалом второго инварианта истории в (6.20), причем инварианты отне сены уже к истории инфинитезимальной деформации ец- Эти члены имеют вид, подобный двум членам с двойны ми интегралами в (3.22). Чтобы ясно это увидеть, нам нужно проинтегрировать формы (3.22) по частям и получить члены, содержащие функционалы от инвари антов истории вместо инвариантов скоростей истории. Затем можно использовать зависимость для мгновенной конфигурации.
Представляет интерес формулировка определяющего соотношения для напряжений в случае несжимаемых
250 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости
материалов. Оно получается из (6.19) с помощью требо вания, чтобы масса, отнесенная к единице объема, оста валась неизменной, и добавления реактивного гидроста тического давления р\ отсюда находим
о ц = —-р& и + p ( d  / d È K L )X i,KXjiL. |
(6.21) |
В заключение этого параграфа обсудим способ пред ставления накопленной энергии А с целью использова ния этого выражения в определяющих уравнениях для напряжения. Приводимая здесь процедура сводится к использованию теоремы аппроксимации и следует пу ти, предложенному в работе [6.3]. При уже введенных допущениях о непрерывности из теоремы Стоуна — Вейерштрасса следует, что действительный непрерывный скалярный функционал от E KL(t) можно равномерно приближать полиномами на множестве действительных непрерывных скалярных функционалов от Е к ь (т). В со
ответствии с этим, обозначив через |
линейные функци |
оналы |
|
f (i) = Zu) (E kl (t - s), E kl (*)), |
t = 1,2,.... Af, (6.22) |
аппроксимируем функционал накопленной энергии раз ложением
А = |
£ £ ? « , / ( » + ■ • ' ■ |
<6-23> |
І=1 |
(=1 /=1 |
|
где полиномиальное разложение оборвано на уровне, включающем N произведений. Теперь тем же способом, что и в гл. 1, воспользуемся теоремой представления Рисса, чтобы представить входящие в разложение линейные функционалы в виде интегралов Стильтьеса. Это дает для (6.22) следующее представление:
оо
/(,•) = j E k l — s) йё к і (s) d s * |
(6 -2 4 ) |
0 |
|
где
g-m (X) = o, T < 0,
§6.1. Вывод определяющих соотношений для твердых тел 251
игде функции интегрирования g ^ (т) вместе со своими
первыми |
производными |
принимаются непрерывными |
|||||||
при т > 0 . |
Зависимость |
(6.24) |
можно записывать в дру |
||||||
гой форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(°) Ekl( 0 + |
оо |
|
|
|
|
||
/(О |
= S k l |
J Ekl{і—s ) [а§кІ(sVds)ds- ( б - 2 5 ) |
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Эта |
форма дает явное |
выражение |
зависимости |
от |
|||||
мгновенного состояния |
деформации |
через E Kb (t). Ин |
|||||||
тегрируя по частям, |
(6.24) |
можно представить и иначе: |
|||||||
|
|
/ ( о |
= |
gift V —j т |
[dEKL) |
(T ) / ÖdxT-) |
|
||
В разложении |
(6.23) |
можно |
использовать как |
форму |
|||||
(6.25), так и форму (6.26). Если используется (6.25), то следует применять определяющее соотношение для на
пряжения (6.17). Однако |
очевидно, что подстановка |
в это разложение формы |
(6.26) дает более простой |
и компактный результат, чем подстановка формы (6.25). Поэтому именно она и будет использоваться в дальней шем и при этом определяющее соотношение для на
пряжения (6.19) |
будет |
проще |
для |
приложений, чем |
||||
(6.17). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
в полиномиальное разложение |
(6.23) |
||||||
представление (6.26), получим в явном виде |
|
|||||||
|
р |
д Е к г |
(т) |
|
|
|
|
|
Л = |
J |
дт- ..dx + |
|
|
|
|
||
t |
t |
i |
' |
dEKL(x)dEMN ( л ) |
|
|
||
|
и |
|
(6.27) |
|||||
|
S k l m n ^ |
'tf t |
|
Л) |
дл |
dxdx\ |
||
|
|
|
|
дт |
|
|
|
|
Функции интегрирования g K L (т) , g K L M N |
(t, |
p) и т. д. в дан |
||||||
ном случае определяются таким |
образом, |
чтобы |
моде |
|||||
лировать поведение материала, причем они должны иметь форму, отвечающую гипотезе о затухающей памяти. Для изотропных материалов интегрируемые функции
в |
(6.27) должны подчиняться ограничениям, связанным |
с |
требованиями симметрии. Это означает, что функцио- |
252 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости
налы в (6.27) должны удовлетворять требованию, со гласно которому они должны представлять собой функ ционалы от инвариантов (6.20) истории Е к ь (х). Поэто му члены, входящие явно в (6.27), должны иметь следующую (изотропную) форму:
t
дЕкк (т)
|
|
|
-т) |
dx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
ÖT |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
дЕкк (т ) |
дЕ,. (ч) |
|
|
+ j’ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
а, |
дц |
dxdx\ -f |
|||
|
— СО — оо |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Г |
Г |
|
|
дЕ„Л%) дЕк, (ч) |
dxdr\-\- .... (6.28) |
||
J |
J |
A(t — x ,t — т) -1----- - JS k ll’ |
ал |
|||||
|
|
; |
дх |
|
|
|||
Первые члены разложения такого типа будут использо ваться в двух следующих параграфах.
§ 6.2. Приведение к линейной теории
Рассматриваемую нелинейную теорию можно непо средственно привести к инфинитезимальной форме, ис пользованной нами прежде. Чтобы приближенно пред ставить накопленную энергию в виде полиномиального разложения по линейным функционалам, можно исполь зовать то же формальное рассуждение, которое подроб но было приведено в § 3.1. Для определенности восполь зуемся формой (6.28) для изотропных материалов. Де
формация будет инфинитезимальной, если |
е-СІ, где |
е = sup \х. к (т) — 8fJ |
(6.29) |
Т |
|
и символ sup означает наименьшую верхнюю грань. Де формация Е кь будет тогда иметь порядок 0(e) . Коле-
ман и Нолл [6.10] показали, |
что любая функция поряд |
||
ка 0 ( е п) в указанном выше |
смысле является и функ |
||
цией порядка 0 ( е п) |
по отношению к норме гильбертова |
||
пространства |
(6.7). |
Используя этот результат, можно в |
|
разложении |
(6.28) |
пренебречь членами порядка 0 ( s 3). |
|
§ 6.2. Приведение к линейной теории |
253 |
Тогда свободная энергия представится в виде
t |
t |
. |
1 |
|
|
Po |
] Ч |
т — ri) — |
' л = т 1 |
( Я - |
|
t |
t |
|
j* |
J |
p (2t — T — л) |
(т) dELL (ц) j ,
— --------------- |
--------- сіт ац + |
дт |
дц |
d E KL (t ) |
d E K L (i|) |
ÖT |
dxdf]. (6.30), |
öt] |
Это представление дает свободную энергию, отнесенную к единице массы в деформированной конфигурации и умноженную на массовую плотность в конфигурации от счета. При выводе (6.30) из (6.28) первый член в (6.28) опущен, поскольку, как и при развитии инфинитезималь ной теории в § 3.1, он приводит лишь к предварительно му напряжению. Аргументы функций релаксации К и ц примем в упрощенной аддитивной форме; такое упроще ние является, однако, необязательным.
Чтобы вычислить производную по времени от (6.30), воспользуемся правилом Лейбница:
|
Г |
дЕ ,, |
(т) , |
|
|
P o А = Е КК j K ( t - x ) - ^ - d x + |
|
||||
|
+ |
2Ékl j \i{t — т) |
d£/<x (T) |
â x -f“ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
t t |
|
|
|
|
+ j _ |
j - |
|
|
дх |
dr\ |
|
|
|
|
||
|
----CO ----OO |
|
|
|
|
t |
t |
|
dEKL (t) dEKL (r|) |
||
|
— |
n(2f — T — |
|||
|
4 ) |
St |
dxdx]. (6.31) |
||
|
|
|
|
|
ÖT) |
Подставляя выражение (6.31) в общее нелинейное опре деляющее соотношение для напряжения 16.19), полу чаем
254 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости
р |
д Е кг (т) |
] |
+ 2 j |
t x ( / - x ) - ^ |
dx\xltKxhL. (6.32) |
В соответствии с допущением е<СІ, |
где е определяет |
|
ся из (6.29), имеем |
|
|
|
|
(6.33) |
где ро — массовая плотность в конфигурации отсчета. Подстановка соотношений (6.33) в (6.32) дает (если
пренебречь членами порядка 0 (e ))
— -ОО |
— -со |
(6.34) |
|
|
|
|
|
Определим компоненты вектора |
перемещения |
через |
|
Ui = Хі—Хі. Из (6.2) и (6.29) |
получаем |
|
|
Eij — V2 (щ,з + |
Ujti) |
-j- О(г2). |
(6.35) |
На двух последних этапах вывода использовались дру гие обозначения для нижних индексов {Екь~ Е ы ) , по скольку различие между координатами в состоянии от счета и в деформированном состоянии теперь несущест венны. Хотя тензор напряжения Оц определялся относи тельно площади в деформированной конфигурации, здесь его можно интерпретировать как определенный от носительно исходной конфигурации.
Соотношения (6.34) и (6.35), в которых пренебрегается членами порядка 0 (е 2), теперь представляют собой приведенную форму определяющих соотношений общей нелинейной теории вязкоупругости для условий инфини тезимальной деформации. В них можно узнать линейные соотношения, которые широко использовались в преды дущих главах.
Колеман и Нолл [6.10] вывели линейную теорию вяз коупругости из общей нелинейной теории. В этой работе
§ 6.3. Пример деформации простого сдвига |
255 |
они получили также частный случай нелинейной теории для твердых тел, называемый конечной линейной тео рией вязкоупругости. Эта теория не накладывает огра ничения малости деформаций, но требует, чтобы дефор мации медленно изменялись в недавнем прошлом. При этом мгновенное значение напряжения оказывается вы раженным через линейные интегралы от истории дефор маций, измеренной относительно мгновенной конфигу рации; однако в отличие от инфинитезимальной теории функции интегрирования в этих интегралах являются не линейными функциями мгновенного состояния дефор маций.
§6.3. Пример деформации простого сдвига
Вкачестве примера приложения общей нелинейной теории решим частную задачу. Рассмотрим деформацию простого сдвига в несжимаемом изотропном материа
ле. Разумеется, эта задача, как и любая другая задача с однородными деформациями, для инфинитезимальной теории тривиальна. По причинам, которые станут ясны ми, нелинейный аналог этой задачи нетривиален и об наруживает некоторые интересные явления.
Деформация задается в виде |
|
|
Х \ — Х і -{- K(t)X2, Х 2 = |
Х2, Х з = |
*3, (6.36) |
где K (t) — заданный зависящий |
от времени |
параметр, |
который определяет величину дисторсии, как показано на рис. 6.1.
Тензор градиентов деформации после дифференци
рования (6.36) имеет следующие компоненты: |
|
|||
К,к] |
1 |
Kit) |
о* |
(6.37) |
О |
1 |
о |
||
|
О |
О |
1 |
|
Подставляя эту зависимость в (6.2), находим компоненты деформации
' О |
Kit) |
О" |
(6.38) |
K(t) |
К2 it) |
0 • |
|
о |
О |
О |
|
256 Гл. 6. Нелинейная теория вязкоупругости
/
1/
///
///
Р и с . 6.1. Деформация простого сдвига.
Определяющее соотношение для напряжений в не сжимаемых материалах (6.21) в сочетании с (6.37) и (6.38) приводит к следующим формулам для компонент напряжений:
(0 = — р + р -^г - + К2( 0 р - ¥ - +
|
|
дЕ ц |
дЕ 22 |
|
+ Щ р - У - + к (і) р - Ц - , |
||
|
|
дЕ 12 |
дЕ гі |
(О |
. |
дА |
(6.39) |
■Р + |
Р — . |
||
|
|
дЕ т, |
|
|
дА |
|
О» (О = ~ Р + Р — Г - , |
||
|
dÈs$ |
|
®12 (0 = К (t) Р |
+ |
Р —Т^- |
|
дЕ Г1 |
дЕ 1г |
И
а23 (0 = стзі (0 — О»
где р — неопределенное гидростатическое давление. За висимость 023=^31 = 0 следует из равенства
dÄ/dÉ23 = dÂ/dÈ3l = О,
оно же в свою очередь следует из условия Е 23= Е 3\= 0 и того обстоятельства, что А выражается как функцио нал историй в (6.20), а также в (6.28).