Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

§з .

РАЦИОНАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ «ОБРАЩЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ, ЗАРЕГИСТРИРОВАННОГО В ТОЧКАХ ДНЕВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ»

1. В п. 8 § 1 было дано определение

понятия «обращенное

продолжение w (х, у,

х) поля и°(х,у,

t)»,

зарегистрированного

в точках

плоскости

z = 0

(дневной

поверхности) среды

z < О,

структура

которой считается

известной.

При

этом

предпола

галось, что процессы распространения волн описываются

вол

новым уравнением

что

и0 (х,

у,

представляет

собой

«сейсмограмму»,

. т.

е.

результат

регистрации

в течение

времени 0 < i <

Г в точках

поверхности

z = 0

поля,

возбужден

ного в среде z <

0 некоторым кратковременным источником

коле

баний, расположенным в точке Р и включаемым в момент £=0.

Согласно		определению,					под		обращенным	продолжением
w (х, г/,	z,	х) *		понималось			решение уравнения
в области z <			0,	х >	0, подчиненное нулевым начальным данным
					W	^	=	ST	г=о=0'	<3-2>
граничному		условию
					ш \| г = 0	=	« ° ( * .		У, z . T — z ) ,	(3. 3)
а также	условиям				контакта			вида (1. 20) на всех		границах раз
дела 2,.,	если		такие		границы			существуют.
В п. п. 9 и 10 § 1 было произведено качественное сопоставление
продолженного			поля w (х,			у,	z,	х) с истинным (обращенным ) по
лем и (х,	у,	z,		Т—х), рассматриваемым в обращенном времени
							i =	T	— t,	(3 . 4)

и были выявлены некоторые недостатки выбранного нами опреде ления. Однако в § 1 нельзя было обратиться к исправлению таких недостатков, так как было еще неясно, для каких целей и в каком виде может быть использовано обращенное продолжение гранич-

* В отличие от § 1, здесь и в дальнейшем мы будем обозначать обращенное продолжение поля ц° [х, у , t) символом w (х, у , z, т) без тильды сверху. Это не может привести к путанице, так как нам больше не придется сопоставлять обращенное продолжение поля и0 с истинным обращенным полем в среде, кото рое обозначалось в § 1 через ш.

ных значений и0 (х, у, t) поля в практике сейсморазведки. Те перь же, после изложенного в § 2, в этом вопросе достигнута необходимая ясность и потому можно попытаться устранить упомянутые недостатки.

В качестве исходного положения для последующих обсужде

ний примем известный факт, что	решение w (х0, у0, z0 ,	^ 0 ) =
=w (М0, т0 ) сформулированной	выше математической	задачи

может быть выражено через соответствующую функцию Грина

g{M,	М0, т0 — -с) по формуле
	dg(M, М0, T 0	- T )	dN,	(3. 5}
	dz		dN,	(3. 5}
	dz
где	dN—dxdy — элемент площади плоскости	z = 0 , под		M0 =

=(ж0 ,	J/o> z0 ) подразумевается точка «наблюдения» поля, рассмат
риваемого в момент времени т=-г0 , a		N—(x,y)—переменная
точка	плоскости z = 0 , на которой замерялось	продолжаемое поле

u°(N, t). Заметим, что аналогичная формула может быть напи сана и в случае (коротко обсуждаемом в п. 8), когда дневная поверхность среды не является плоской, а задается уравнением вида z = / (х, у).

В соответствии с вводным замечанием к § 1, мы остановимся сначала на пояснении понятия «функция Грина», выведем фор мулу (3. 5), а затем изучим структуру функции Грина, что и позво лит нам решить вопрос о желательных изменениях в определе нии операции обращенного продолжения. Все рассуждения будут проводиться на физическом уровне строгости, а при изу чении структуры функции Грина будем исходить из ее представ ления в нулевом приближении лучевого метода. При таком при ближении все кинематические свойства поля w будут учтены полностью, а динамические свойства — с точностью, вполне доста точной для практики. В результате мы придем к простому и есте ственному окончательному определению операции обращенного продолжения граничных значений и0 (а;, у, Т—т) волнового поля вдоль выбранной системы лучей.

Для того чтобы получаемые ниже результаты можно было использовать и для прямого продолжения граничных значений поля, удобно записывать граничное условие (3. 3) в виде


				w \?=o = wo (х> V> т		) -					(3 - 3'}
При	этом	если	результат регистрации			поля		на	плоскости		z = 0
в истинном времени t сводился					к функции и0			(я,	у, t),	то прямое
продолжение поля в среду z >					0 должно		определяться			решением
(для	области z >		0)	уравнения	(3. 1), в котором				v (М)	= y 0 = c o n s t
и t=t, при нулевых				начальных данных			(3. 2) и граничном				усло
вии	(3. 3'),	где		У, ъ)	= и0 (х, у,		t).				(3. 6)

Обращенное

же

продолжение,

рассматриваемое

обращен

ном времени

из

(3. 4),

получается

как

решение

для области

z <С 0 уравнения (3. 1), при

нулевых

начальных данных

(3. 2),

условиях

контакта

( 1 . 20) на всех внутренних границах

Е,

среды

z <; 0 и

при

граничном

условии

(3. 3'),

котором

положено

w0(x,

у, т) =

!»<>(*, у,

Т-х).

(3.7)

2. Будем понимать под функцией Грина нашей задачи (при

граничных условиях

Дирихле)

функцию

g (М,

М0,

х— х0 ), тож

дественно

равную нулю при

х <^ х0 и

определяемую

при

х > х0

(в области z >

0 для прямого и в области z <

0 для

обращенного

продолжения)

как

решение неоднородного

волнового уравнения

д * ~

ЩИ)

S" = - в

W -

Л/о)5

(* -

'о).

(3-8)

где § (М—М0)

— трехмерная,

§ (х— х0 ) — одномерная

функция

Дирака,

подчиненное

нулевым

начальным

данным

(если

Л/ ф Л/0 ),

(3. 9)

условиям

контакта

if=jY+

дП:

:(з. ю)

вида ( 1 . 20) на всех границах раздела Е., если рассматривается

область z	0 (в области z > 0 границ раздела нет!), и удовлетво
ряющее	однородному	граничному		условию		Дирихле
		*	U =	0.			(3.11)
При этом, естественно,		точки	М=(х,		у, z) и	i l / 0 = (a:0,	у0, z0 ) вы
бираются	в том полупространстве			z >	0 или z < 0, для		которого
функция	Грина строится.
Заметим, что правая часть формулы (3. 8) соответствует еди
ничному	импульсному	источнику, приложенному в точке М0
и действующему лишь		в момент		х = х0 . Смысл функций Дирака

несколько разъясняется в п. 4. Пока же мы лишь отметим, что

основное свойство		этих функций определяется		соотношениями:
8 (М—М0)=0,	если	М=$=М0; 8 ( х — х 0 ) = 0 , если		х=^х0 ,	и
	в	Ф (Л/) 3 (Л/ — Л/0 ) dM =	Ф (Л/0 ),
	в				(3.	12)
					(3.	12)
		j f (т) 8 ( т _ т 0 ) й т =	* • ( * )
		-а—а
для произвольных непрерывных функций Ф (М)				и F (х) . В (3. 12)
М=(х, у, z), M0=(xQ,		г/0, z0 ), dM—dxdydz,	причем В —		произволь-

ная часть		пространства,	содержащая		внутри себя		точку		М0,
а а >	0 — произвольное		число.	С	физической	точки		зрения
g (М,	М0,	т—т0 ), рассматриваемая		как функция		от М	и	т,	есть

поле, возбужденное в нашей среде сосредоточенным единичным

импульсным	источником
	/ = Ь ( Л / _ Л / 0 ) 8 ( г - т 0 )		(3.13)
при условии, что при т <^ т 0		в среде царил покой и что на границе
z = 0 среды	выдерживается	режим (3. 11) (однородное	условие

Дирихле). Это поле описывает волны, расходящиеся от источ ника (3. 13) и претерпевающие соответствующие отражения—пре ломления на встречающихся границах раздела нашей среды. В математике доказывается, что функция Грина, определяемая

задачей (3. 8)—(3. 11), существует

симметрична

относительно

точек

М и М0,

т. е.

g (Л/, Л/0 , х -

-о) =

g (Л/0 , Л/,

т -

т0 ).

(3.14')

При этом вследствие конечности скорости

v (М)

распространения

волн в среде при любом фиксированном

t 0

существует такое

R >

0,* что

для точек

М=(х,

у,

которых

| М

Л/0 | =

Цх -

*„)* +

(у -

у0)2

+ {

Z -

г0)2

> Л,

оказывается

^ (Л/,

Л/0 , , - т 0 )

(3. 14")

В п. 5 приводятся выражения функции Грина для однородного полупространства, а в п. 6 обсуждается конструкция главной части функции Грина в случае произвольной неоднородной изо тропной среды и на основании этого дается такое ее выражение, которое соответствует интересующему нас рациональному опреде лению операции обращенного продолжения.

3. Чтобы выразить решение задачи (3. 1)—(3. 3) и (1. 20) через фз^нкцию Грина, удобно воспользоваться формулой Грина для оператора Лапласа

S1S i " A y •v6.ii] dB=	ди	да	dS,	(3.15)
	dn	an

справедливой для произвольной области В, ограниченной ку сочно-гладкой поверхностью S с внешней нормалью п, если внутри В функции и и г; дважды дифференцируемы и имеют, например, первые частные производные, непрерывные вплоть до S. Если и и v удовлетворяют указанным требованиям везде при

z <[ 0 или г > Ом, кроме того, например,	и=0 при \М—MQ\ >	R,
* В качестве R можно взять, например,	выражение Л = (т— т0 )	X
X m a x v ( Л / ) = ( т — т 0 ) у ш в х .

где R — некоторое фиксированное «большое» число, то из (3. 15) следует формула

J J J [цДу — уДи] dfi = + \\i dv ди dxdy, (3. J 6)

которой мы и будем пользоваться. Заметим, что здесь dB=dxdydz

— элемент объема области В0, совпадающей пли с полупростран ством z > О, когда в правой части берется знак «—», или с полу пространством z <^ 0, что соответствует знаку « + » . Можно дока зать (на чем мы здесь не останавливаемся), что формула (3. 16)


применима и в том случае, если под и и v подразумевается								реше
ние g и w сформулированных в п. п. 1 и 2 задач.
Воспользуемся формулой			(3. 16), полагая			в ней
и (Л/, х) = g (М, М0,			х0 -	v (Л/,	х) =	ц. (Л/, х).		(3. 17)
Заметим,	что в качестве и мы взяли функцию Грина с изменен
ным знаком у последнего аргумента, т. е. заменпли — т 0							па 0	т 0 — т ,
что эквивалентно рассмотрению				поля точечного источника (3. 13)
в обращенном времени		т 0 — т .	Поле и (М,		t) из (3. 17)		описывает
такие же волны, как и		волны,		содержащиеся		в поле	g (М,	М0,
-с—10 ), но	распространяющиеся			в противоположных			направле

ниях, т. е. оно содержит лишь сходящиеся волны, поглощаемые источником (3.17) к моменту т = т 0 . Использование функции Грина в виде (3. 17) является не только удобным математическим

приемом получения				формул вида			(3. 5), но и допускает глубокое
физическое		толкование.
Функция		v (М,		т) из	(3. 17),		удовлетворяющая условиям	за
дачи (3. 1), (3. 2), (3. 3')					и (1 . 20), отлична от нуля при х >			0.
Что же касается функции и (М,						т) из (3. 17), то она отлична от нуля
лишь при	т < ; т 0		* и удовлетворяет в рассматриваемой области					Б0
(т. е. z >	0	или	z < 0)		уравнению
				1	<Э2И
		A u	~ V* (М)		~5хТ=	~ S ( М ~~ / 1 7 °' S ^° ~ Т ' '
граничному		условию

и условиям контакта вида (3. 10) на всех границах раздела 2,.,


если в области В0		таковые имеются. Заметим, что удовлетворение
функциями и и		у из	(3. 17) условий контакта необходимо для
того, чтобы формулу			(3. 16) можно было бы применять к		области
z < ; 0, в которой содержатся отражающие границы Б г
* В соответствии с задачей (3. 8)—(3. 11) неравенство g (М, М0,					х— х 0 )^0
имеет место, только если х >				т0 , т. е. если для ее третьего аргумента выполнено
условие х—х0 >	0. Поэтому			и функция и нз (3. 17) отлична от нуля, только
если для третьего	аргумента у g из (3. 17) будет х0 — х > 0, откуда и следует

Учитывая перечисленные свойства функций из (3. 17), а также свойство 8-функции, выраженное первой формулой из (3. 12), подставим в (3. 16) значения i n i ; из (3. 17) и выполним интегри рование по области В0. В результате получим

				dB	=
		А,
		СО	M0, т 0 _ т )
		dg(M,	M0, т 0 _ т )	dxdy,		(3. IS)
			dz	dxdy,		(3. IS)
			dz	г=0
где w0	(x,	у, x) — функция из правой части (3. 3').
Чтобы найти окончательное выражение для w (М0,					х 0	) , сле
дует	проинтегрировать формулу		(3. 18) по	х в	промежутке
О <^ t	<^ х х , где i1 — любое число, удовлетворяющее				неравенству
х х >	х 0 .	При этом в силу свойства	8 ( х 0 — х ) ,	выраженного		второй

формулой (3. 12), для первого слагаемого левой части будем иметь

w (М0 8 (to — " ) d-z = w (М0, т 0 ) .

В результате же интегрирования второго слагаемого левой

части (3. 18)

получается

нуль, так как

(Г-ш

d°-g

dg'

г Г d2w

d-g

Г dw

?g_

= 0.

d-z

На

нижнем пределе x = 0 правая

часть обращается в нуль из-за

(3. 2), а на верхнем пределе

т = т1

она равна нулю потому, что при

T i

оказывается g (М,

М0,

х 0 — ^ = 0. Заметим кстати, что

перестановка порядка интегрирования по области В0

и времени х

законна

в силу

свойства

функции g,

выраженного

равенством

(3.

14").

Учитывая

изложенное,

после

интегрирования

(3. 18)

по х

окончательно

будем иметь

г=0

dxdy,

(3. 19)

где знак « + »

относится

к случаю

сред z ]> 0, знак «—»

к случаю

z <

0, а

под

(х, у,

х) подразумеваются

граничные

значения

поля w из (3. 3).

Если учеть (3. 7), обозначения N и

dN в

(3. 5)

и выбрать в (3. 19) знак «—», то получится в точности формула (3.5).

4. Прежде чем переходить к обсуждению вопросов, связанных с формулой (3. 19) и структурой функции Грина, полезно сделать

замечание по поводу другого возможного типа продолжения									значе
ний поля, зарегистрированного на поверхности 2 = 0 .							Мы считали
до	сих	пор, что	на	границе	z = 0	регистрируется		значение
и0	(х, у,	t) самого поля		и (х, у,	z, t), возбужденного		в среде z < 0
какими-то источниками колебаний,						включаемыми		при	t=0.
Однако могло бы оказаться, что на						поверхности z = 0		регистри
руется		не поле и,	а его нормальная			производная
				: 0 =	й0 (.г,	у , t ) ,			(3.20)

и возникает вопрос: что следует понимать под продолжением зна чений такого поля?

Операции прямого и обращенного продолжений поля и0 (х, у, t) можно определить совершенно так же, как и в § 1, и совершенно так же можно было бы сопоставить результаты подобных продол жений с истинным полем в среде. При этом оказалось бы, что при прямом продолжении истинное поле в среде восстанавливается полностью, а обращенное продолжение обладает такими же не достатками, как и в случае, рассмотренном в п. п. 8—10 § 1.

	Обозначая продолжение граничных значений (3. 20) символом
w	{х, у, z, т) и пользуясь записью граничного условия (3. 20)
в	виде
	dw I

в соответствии с изложенным, можно определить операции про должения граничных значений (3. 20) поля следующим образом.

Под

прямым продолжением поля

(3. 20) в

полупространство

z > 0 понимается

решение уравнения

(3. 1), в котором

положено

w=w,

i=t

v (M) = v0,

удовлетворяющее

нулевым

начальным

данным

вида

(3. 2) и

граничному условию

(3. 21), где

ш 0 (х,

у , -г) =

щ(х,

у , t ) ,

(3.22)

а н0 есть функция из (3. 20).

Под

обращенным

продолжением поля (3. 20) в полупро

странство

z <^ 0 понимается

решение

уравнения (3; 1), в котором

w=w,

a t

—

обращенное

время

из (3. 4),

удовлетворяющее ну

левым

начальным

данным

(3. 2)

условиям

контакта

(1 . 20)

(в которых положено

w=w)

и подчиненное

граничному условию

(3. 21),

где

т) = й 0 ( х ,

(3.23)

у ,

у , T —

t ) .

Решения указанных задач также легко выражаются через

соответствующую (уже другую) функцию Грина g (М,

М0,

т— т0 )

и определяются формулами

io(M0, т„) = + j dx \ j iS0 (ж, у , t ) | (Л/, Л/„, т0 _ t ) |_r=() dxdy,

(3. 24)

О—со


где M=(x,	y, z), У1'/0=(а:0, y0,				z0 ), причем знак «-{-» относится
к случаю	сред	z <	0, а	знак	«—»	соответствует среде				z ]> 0.
Что же касается функции Грина f						(71/, i l / 0 , т—т0 ), то она опре
деляется в области z ^> 0				или z < 0 как решение уравнения (3. 8),
где, равно	как в (3. 9) и (3. 10), положено g=g							{М,	М0,	т—т0 ),
подчиненное начальным				условиям		(3.9), условиям			сопряжения
(3. 10) на	всех	отражающих			границах		(если	таковые		имеются)
и удовлетворяющее			при	z = 0	новому		граничному		условию

(однородному условию Неймана). Такая функция существует* оказывается симметричной в смысле (3. 14) и обладает свойством, выраженным равенством (3.14'). Формула же (3. 24) получается из (3. 16), если вместо (3. 17) положить

u (М, т) = § (М, Л/0 , %о-х),	v [М, т) = w (Л/, -г)
и повторить почти буквально выкладки из п. 3.
Полезно отметить, что конструкция формулы		(3. 24) оказа
лась более простой по сравнению	с (3. 19), так как	в (3. 24) вхо

дит сама функция Грина £, а не ее производная	по z. Степень же
сложности функций g(M, М0, т—т0 ) и g (М,	М0,	•z—т0) как
в смысле их вида, так и способов их нахождения из		сформули

рованных выше задач оказывается одинаковой. Поэтому практи

ческая	реализация процесса	продолжения	полей на основе	фор
мулы	(3. 24) оказаывается	более простой,	чем в случае	фор
мулы	(3. 19).

5. Обсуждение вопросов, связанных со структурой функции Грина, целесообразно начать с простейшего случая однородного полупространства (z >• 0 или z < 0). Предварительно же полезно указать на простое правило, позволяющее обычным образом опе рировать с обобщенными функциями Дирака. Для определен ности будем рассматривать функцию Ь (t—10), которая нам будет нужна в последующем.

Как известно, функция 8 (t—10), часто встречающаяся в при ложениях, определяется условиями, сформулированными в связи

с (3. 12). Там следовало бы лишь			добавить	равенство	8 (t—t0) =
= S(i 0 — t) .	Такие условия плохо		вяжутся	с классическим пред
ставлением	о функции, интеграле	и т. п. Однако можно			остаться

в рамках привычных классических представлений, если понимать, под 8 (t—if0) результат предельного перехода при е - > 0 от глад-

ких, сколь	угодно	раз	дифференцируемых				функций	Ьв	(t—t0),
подчиненных	требованиям
	\(t — г0 ) = 56 (*о — t) > 0			при	\t —		t0\<z,
	8 6 ( i — t 0	) = 0		при	\| i - i „ \| > е, J			( 3	' 2 6 )
	5	be(t~t0)dt=	j	bt{t—t0)dt		=	l.	(3.26")
	— СО		t0—8

При этом предельный переход следует производить лишь в окон чательных выражениях, содержащих интегралы, под знаки кото рых входят функции 8s (t—10).

С таких позиций сразу же оправдываются соотношения (3. 12).

Например, из (3. 26) для любой непрерывной / (t)							следует
	со			if„+a
	(	/ ( 0 в. ( * - *о )	<й =	J / ( О М * - ' о )	=	+	6').
	— С О		t0—Б
где — 1 <[ 0		1 в силу теоремы о среднем. Переходя					здесь	к пре
делу	при е -»• 0, из-за		непрерывности / (t) будем				иметь
	со			со
	(	f(t)Z(t~t0)dt	=	lim \ f(t)b'e(t-t0)dt	=	j(t0).		(3.27')
	—со			—со
Легко уясняется и смысл производных					от 5-функций. Напри
мер,	для первой производной, по определению, имеем
		со		со
		\ f(t)b'(t-t0)dt		= l\m \ f[t)o'e(t	—	t0)dt*
		— со		—СО

Если существует непрерывная производная / ' ( t ) , то интегриро

вание по частям, с учетом			(3. 26), дает
ij	f(t)K(t~t0)dt=			\ f(t)b'e(t-t0)dt		=
—со			/„—s
=	- \	f'[t)\(t	—	to)dt = - f ' ( t 0	+	b).
Итак,
СО			СО
J f(t)b'(t-t0)dt		=	- j	f(t)b'{t0-t)dt	=	-f'(t0)	(3.27")

* Здесь, как и обычно, штрих у В обозначает дифференцирование по всему

.аргументу, при этом 8 ' ( ' - * о ) = - ^ - 8 ( ' - * о ) = - 5 ^ 5 ( * - * о ) .

•48

и т. п. Заметим,	что формулы (3. 27)		остаются	справедливыми
и тогда, когда интегрирование совершается по любому промежутку
(а, Ь), содержащему внутри себя точку t0 (т. е. а <				t0	<	Ь).
Перейдем теперь		к нахождению функций Грина			в	однород
ных полупространствах, скорость распространения воли в кото
рых v=v0. При этом будем считать z0 > 0, будем пользоваться обо
значениями
/ 1 / £ = ( . г 0 , !/0, гп ), 1Щ={х0,			уа, —г0 ),		\|	(3.	28)
						(3.	28)
г ± =\М	— /¥± \| = т/(х-з:0)+{у-ио)+(*		+	го)* J
и будем учитывать известный факт, что уравнение
		1 д"-и.	- Щ) •
	Д в	~ l g Ц Т = - / (0 3	- Щ) •
рассматриваемое	в безграничной среде		со скоростью		распростра
нения воли v=v0,	имеет решения вида

b = w ( ' - - S " )				( з -2 9 )
при «произвольной функции / (t)». Заметим, что во всех точках М,
где ?'±=т^0, функция (3. 29) удовлетворяет однородному				волновому
уравнению, а если / ( ? ) = 0 при t <	0, то	и из	(3. 29)	удовлетво
ряет и нулевым начальным данным	при	t=0	везде,	где г±=^=0.

При построении функции Грина мы будем исходить из единствен ности решения поставленных для них в п. п. 2 и 4 граничных за дач, которая позволяет «угадывать» вид решения, а затем лишь проверять, что оно действительно удовлетворяет всем условиям задачи.

а) Граничное условие (3. 11), т. е. условие Дирихле. Рассмот рим сначала случай полупространства z ] > 0. В соответствии с обо значениями (3. 28) в уравнении (3. 8) следует положить М0=М^. При этом функция

g (М, М0, z — т0 ) =

—

-^Г

30)

удовлетворяет уравнению (3. 8) в области z > 0. (Первое слагае мое удовлетворяет неоднородному уравнению (3. 8) в силу свойств функций (3. 29); подстановка же в левую часть (3. 8) второго сла гаемого дает нуль, так как при z > . 0 всегда оказывается г_ > 0 ) . Очевидно, что функция (3. 30) удовлетворяет и нулевым начальным данным (3. 9), так как если М=£=М%, то оказывается г ± > 0 и, сле довательно, при i = х0 аргументы у 8-функций из (3. 30) везде от рицательны. Наконец, из-за равенства г + = 7 - _ во всех точках плос кости z = 0 ясно, что функция (3. 30) удовлетворяет и граничным условиям (3. 11). Итак, (3. 30) удовлетворяет всем условиям за-

4 Г. И. Петрашеиь, С. А. Нахамшш

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ