книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

где у0 и Ф (у0) определяются формулами

(6. 31) и (6. 32). Анали­

тические

выражения

для

/ [ / * ( £ ) ]

оказались

тождественными.

Величины же

J [ l + (I)

] и J [ l ~ (£) ]

отличаются друг от друга из-за

различий

в

аргументах

I , при которых они

рассматриваются.

Остается

еще рассмотреть интеграл

(6. 5),

распространенный

ции <р (ч) из

(6. 2),

проходящим

через

седловую

точку

14

( 6 . 4 ')

Вследствие этого вычисление /

(1°)

может

быть проведено

аналогично

вычислению /

(10) в п. 4. В резуль­

тате несложных

выкладок получа­

ется формула

Г2-к

— 1

(6.

38)

Рпс. 9.

к

\/п2

определенная формулами (6. 32) и (6. 31). Поэтому

в заключение

§ 6 целесообразно привести данные о значениях

этой функции,

а также о зависимости ее от параметров к, q, z0 и £.

Нетрудно видеть, что Ф (0)=0.5 и что при у0 ]> 2 справедливы

приближенные формулы

видно, что: 1) функции

|Ф (г/0)| и

% (г/0)

изменяются наиболее

быстро при малых г/0; 2)

с

возрастанием

у0 функция

|Ф (т/„)|

монотонно убывает и при у0

>

3 уже

оказывается |Ф (yQ)\

< 0.1;

«медленно» везде,

за исключением интервала 0<^уо<^0Л,

где

она имеет пренебрежимо малые значения.

Что касается

аргумента у0 функции Ф (у0), определяемого

S =

p*0

(6.41)

и представлять функцию у0=у0

{к, I) из (6. 31) в

виде

Уо(к, Е) = ) / ^ | У 0 ( Р ,

q)\ = y^\YQ(p,

g)|,

(6,42)

где

<?== [0.00,

0.50, 0.95, 1.01, 1.20, 1.50]

(6 . 44)

и

обладающими явно

выраженной асимметрией

относительно

р

< 0 и £

> 0. С возрастанием \р\ прир < 0 величина |У0

(р, q)\

возрастает

значительное

быстрее,

чем при р

^> 0.

Вследствие

ли­

нейной зависимости У 0

(р, q) от

параметра

q значения Y

(р,

q)

q

Со =

Ро2о.

где р 0

=

^ = = > 0 .

(6.45)

При этом связь между значениями р0

и q оказывается следующей:

q |

fO.OO

0.50

0.80

0.90

0.95

0.975

p j

lo.OO'

0 . 5 7

'

1.33'

2 . 0 3 '

3 . 00'

4.36

Заметим, что в точках р=р0

имеет место Y (рд, д)=0 .

1. Пусть

на дневной поверхности z = 0

зарегистрировано

поле

(5. 38), т.

е.

поле

cos G

sin О »

(7 . 1)

/о

плоской волны

(х — a) sin 8 - j - 2 cos А

(7.2)

и (ж. У,

< ) = / о

распространяющейся

в среде z <

0 со скоростью

v в сторону воз­

растающих

значений

(х—а) и z

и встречающей

поверхность

z = 0

под углом

падения

6.

FW=\f0{t)e-{atdt

(7 . 3)

о

имеет пренебрежимо малые значения в промежутке

0 < со <

ш0,

где,

например,

- ^ - z 0

= /c0 z0 = 3,

(7.4)

то

спектральная функция W

(М0, ш) (функция

W% (Mo,

ш))

# ( Л / 0 ,

Ш) ]

- , / Т " У 0 „ ' Т р , , f J+(k>

?> 2 0 ) .

, 7 г\

1 = 1 /

cosfle

F (ш) I

(7.5)

где

* =

- J - .

<7 = V s

i n 0 > ° >

(7.6)

a J

± (k, q,

z0 ) определяются формулами (5. 45)—(5. 47).

Как указывалось в п. 5 § 5, в случае регистрации поля (7. 1)

на

бесконечной

базе в

(5. 45)—(5. 47)

следует

полагать Ь = о о и

х0—а ^> 1.

Из-за сходимости интегралов при |х ->—оо

и

t2 ->• + оо

последнее приводит к выражениям

со

]

± (к, д,

z0 ) = e±ikla-*Ji

J (С2 +

zgr''' e - ^ ^ ^ + ^ O d C

(7. 7)

—со

0 < g = - ^ s i r i 6 = s m § < l .

(7.8)

Если же v0 ;>

v и б0 — предельный угол, определяемый равенством

s m 6 0

=

Vo" > о > " ) .

(7-9)

то при углах

падения в <

е0

имеет место (7. 8), а при

б > е0

уже оказывается

? =

^ - s i n 8 > l .

(7.10)

следует полагать Ё х = — оо и

Е 2 = о о . В силу ( 6 .

3 6 ) из-за последнего

обстоятельства

указанный

интеграл

сводится

лишь к значению

/ (10) из ( 6 . 2 5 ) .

Пользуясь

(6 . 2 5 ) , (

7 . 5) и ( 7

. 6 ) , мы получаем для

следующие

выражения:

W

(М0,

со) |=

£о

cos 6

f e -i^(*o-<0+*oVl=?],

Для

нестационарных

волновых

продолжений

в

точки

М0

(х0,

z0 )

и

Мд = (х0,

—z0 ), где

z0 ^> 0, в соответствии

с

(5 . 1 4 ) ,

( 5 .

1 6 ) , ( 7 . 1 1 ) ,

( 7 . 6 ) и ( 7 . 3 ) , будем иметь

~,м

*\ i > o o o

s 6

. l \

( * о - п ) sin 9 - И о

cos 01

н>(Л/0,

<) = —

— ? / о

t —

,

(7.12)

у

C O S о

L

у 0

J

у 0

cos 8

Г

( s 0

— a) sin 6 — з0

cos <П

Выражение w (М0,

t) соответствует плоской волне,

преломив"

шейся в среду z >

0 (мысленно

надстроенную

над реальной

сре"

дой z <С 0 ) под углом падения

0, связанным с углом падения волны

( 7 . 2 ) соотношением Снеллиуса ( 7 . 8 ) . При этом через точку

М0=

=(х0,

z0 )

проходит луч (рис. И ) ,

который пересекал границу

z = 0

в

точке

.rO =

* 0 - 2 o t g 5

= z o - - ^ = = - .

(7.14')

Если v=v0,

то

( 7 . 1 2 ) в точности совпадает

с ( 7 . 2 ) , что

указы­

ном времени t=T—t

она

описывает плоскую волну,

распростра­

няющуюся

от границы z = 0 в глубь среды

(в сторону

уменьшаю­

щихся значений (х0—а))

под углом падения В, причем в точку М~=

= (ж0 ,—z0 )

приходит

луч,

выходящий

из

точки

x 0

=

a:o +

zotg5 = ^ +

^ =

-

(7.14")

границы z = 0 (рис.

11). Заметим, что этот луч

следует

рассматри­

вать как обращенное продолжение в среду г < 0 со

скоростью

распространения v0

луча, приходившего под

углом

падения б

в точку х=х0

границы z = 0 истинной среды

z <_0, скорость

рас­

пространения волн в которой равна v. Углы

0 и б также связаны

между

собой

соотношением Снеллиуса (7. 8).

3.

Обсудим предыдущие результаты под углом зрения того

об­

участку

стационарного

конту­

ра Z0 (см. п. 2 § 6), прилегаю­

щему

к

седловой

точке С0

из

(6.3)*. При этом будем исходить

из теории Френеля и будем поль­

зоваться исходными представле­

ниями

/ ±

в

виде (5. 42), т. е.

со

I±(k,q,z0)

=

j

- L e - - 4 ' ± ( * - « ) r t d X

)

-со

Г

(7.15)

где,

согласно (5. 27),

получающимися из (7. 7) заме­

ной

х=

+(х0—С)

переменной

интегрирования

соответственно

для

/ ± .

Нетрудно

видеть, что

Рис.

11.

окрестности

седловой

точки

С0

из (6.

3)

отвечают

окрестность

точки (7. 14') в

случае

/ +

(к,

q,

z0 )

и окрестность

точки

(7. 14"),

если идет

речь

о / _

(к,

q,

z0 ). Мы

ограничимся

рассмотрением

лишь случая обращенного волнового

продолжения, так как пря­

мое продолжение приводит в точности к аналогичным

результа­

там.

Легко

проверить,

что

фазовая

функция

ф (х) =

V ( i _

а;0)2 - f 35 — q (х — о)

интеграла

(7. 15) для

/ _

(к, q,

z0 )

достигает минимума,

равного

z0 \/1—q2 , в точке х=х0

из (7.

14") и монотонно возрастает до + с о

при возрастании \х—х0\.

Поэтому

точку х=х0

можно

взять

за

центральную точку зон Френеля и определить

границы: хп >

х0

и х'п

<

х0

этих

зон

условиями

Ф Ю ~ Ф ( а :

» - 1 ) = у = | - .

где х'о~х0 и п = ( 1 , 2, 3, . . .). Если к достаточно

велико,

так

что размеры зон Френеля малы, то для границы хх

первой

зоны

получаем

+ Ш

у Г (*0) («i -

*о)2

и аналогично для х[. Вследствие этого имеем

X , - .Г0 Ъ % - Х [ * : У й ^ Щ = / ^ о У

= V

5 ] " 3 / 3 -

где б определяется по (7. 8), а f

(С0) = 4>" (*о) ~ значение функции

/ " (£) из (6. 28) при £ = С 0 из (6. 3). В соответствии с теорией

Фре­

зультате интегрирования лишь по половине

первой

зоны, т. е.

по промежутку длиной хг—х0,

с центром в точке х0.

Это приводит

к приближенному

выражению

, тс

/_ (к, g, z0 ) ^

в

* ( * ! - £ 0 ) = 1 / f

- - ^ 2

=

в -<**.Л-Г

ние, что результат обращенного

продолжения поля (7. 1) в точку

М~=(х0,—z0)

определяется значениями этого поля не на всей бес-

1

1

конечной базе, а лишь в промежутке (х0

—

R, х0

+ у ^ ) . с- цент­

ром в точке

(7. 1 4 " ) , размеры которого

характеризуются величи­

ной R, сравнимой с половиной

ширины

первой

зоны

Френеля,

т. е. с

Ro=Vwh=z°V^{1

-q2)~3''=z°V^[cosЭгЧ

(7-16)

характеризующий

положение

седловой

точки С0 =Рог о-

Т а б л и ц а

1

g

0.00

0.50

0.80

0.90

0.95

0.975

Ро

0.00

0.57

1.33

2.03

3.00

4.36

10

0.31

0.36

0.68

1.08

1.81

3.06

80

0.11

0.12

0.24

0.34

0.63

1.08

100

0.10

0.11

0.21

0.34

0.57

0.97

4. Если vQ >

v и волна (7. 2) падает

на границу z = 0

под

уг­

лом о ;>

б0 ) где

0О

имеет значение из (7. 9), то параметр q удовлет­

W (Л/0 ,

со) |

и0

cos О

(7. 17)

Wi{Mo,

со) Г

• F (со) е - " ^ - 1

характерные

для

процессов отражения—преломления

волны,

С возрастанием z0 , т. е. при удалении точек М0

и Мд от границы

z = 0 , главный сомножитель

, у

1

- кги\ q--l _

1

2

* ^

-

1

(7.18)

\1п1 .

Vg2 _

1

амплитуд волн из (7. 17) убывает почти

по

экспоненциальному

закону и становится

уже пренебрежимо

малым

(Q <С 0.01), если

f->3

и ? > 1 . 0 5 ,

- f > 1 0

и

? > L

0

1

(7.

18')

выражением

(5. 30). Такая

замена уже обеспечивает высокую точ­

ность, если

выполняется

(5. 29)

или, что то же,

• ^ г

о = Ь 0

= 2 ^ > 3 ,

(7.19)

т. е. в рассматриваемых

проблемах

практики

абсолютно

всегда.

Кроме того, мы пользовались

формулами

(6. 25) в

случае

g < 1 и (6.

37) при q >

1, определяющими приближенные

значе­

кладывает на величину kz0 более

сильное ограничение (при q >

> 0 . 5 ) , чем условие (7. 19). Однако

использование формулы (6. 25)

пренебрежимо мала при 0 <] ш <

ш0, где

ш0 удовлетворяет (7. 4).

Отсюда в силу произвола в выборе

вида / 0

(т), а следовательно, и

значений функции F (ш) при ш ^> ш0 следует справедливость

фор­

мулы (6. 25) уже при выполнении

условия (7. 19). Подобные

же

(6. 5), распространенного по стационарным контурам Z* (с), l±( Е)

и Z0

из п. п. 2 и 3 § 6.

6.

Перейдем к рассмотрению задачи из п. 5 § 5 в предположе­

обозначать

не посредством х0, а через х*

так,

что

М0=(х+,

z0 ).

Спектральные функции W (MQ,

ш) и W*0

(МЦ,

ш) прямого и об­

ращенного

волновых продолжений

соответственно

в точки

Мй=

= { X g ,

z„) и М0 = [х0,

—z0) по-прежнему

даются формулами (7. 5).

Однако

выражения

для

функций J ± (к,

q,

z0 ) теперь

отличаются

от (7. 7).

В соответствии с

п.

5 § 5, функция

/ _ ,

входящая

в формулу

определяется

по

(5. 46),

т. е.

S2

/ + (к,

д,

го) =

е ' М « - 4 )

j( С з +

4)-Ч<

e - » * ( C ) d C ]

( 7 .

20') .

где

i 1 =

x i - b ,

52 =

s J — е .

(7 . 21')

Таким

образом,

если

воспользоваться

обозначением

/

(к, q,

zo\ п. У

и з

(6- 1) для интегралов, входящих в (7. 20) и

(7. 20'),

ного волновых

продолжений

можно

переписать

в

форме

I P

(Л/0 , *)}

л/~к

v0

<~

х

J /

(к,

д,

z0;

-

b, х+

~

а) е<>Ф-4),

(?_

^

Ь(А,

д,

z0;

U-XQ, b -

* 0 ) е ' * » ^ " ) .

Нетрудно

видеть,

что

если

х*—Ь=а—х0,

то

также будет

X*—а=Ь—х0

и

а—х*=х0—а-\-а—Ь,

т. е. аргументы у функций

/

личаться лишь на постоянную. Таким

образом, оказывается, что

в точках М0=(х^, z0 ) и М~=(х0,

—z0 ),

абсциссы которых

связаны

соотношением

х%—

Ь = а — х0,

(7.23)

спектральные функции W ( М 0 , ш) и W*0

{М~, ш) удовлетворяют ра­

венству

1? (Л/0,<о) = W*0 (Л/о, со) е - ш ^ ь - а \

(7. 24)