книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

При этом т (х, z, а), рассматриваемое как функция от х и z, ока­ жется решением уравнения эйконала

вдоль луча, выходящего из точки ??i=(o, 0) профиля и приходя­ щего в рассматриваемую точку М={х, z) фронта (2. 1'). Таким образом, 1х у нас обозначает единичный вектор касательной к лучу в точке М=(х, z).

Переход от семейства элементарных фронтов (2. 1') к их оги­ бающей, т. е. к уравнению (2.2) фронта отраженной (суммарной) волны, производится, как известно, путем исключения параметра а из уравнения (2. 1') и уравнения

cfc [х, 2, а) д( (а))

в результате разрешения уравнения (2.7) относительно а, то урав­

для любых бесконечно близких точек (х, z) и (x~\-dx, z-f-dz) по­

30

чающей рассматриваемой ее точке М=(х, z). Вектор же grad t имеет такое же значение, как и в (2.6), так как он вычисляется при условии a=const. Таким образом, (2.8) означает, что вектор

2) лучи МО и Mm удовлетворяют условиям Снеллиуса в точках границы (2. 9), т. е. угол падения ф0 луча ОМ на границу равен углу ^ отражения луча Mm. Покажем, что последнее действи­ тельно имеет место. Выберем точку М' = {x-\-dx, z+cfe) на поверх­ ности (2. 9), бесконечно близкую к точке М—{х, z). Тогда вектор dv=dxi-\-dzk расположится в касательной плоскости к (2. 9),

31;

Из изложенного следует, что элементы границы (2. 9) раздела среды, т. е. положение и ориентация в пространстве ее отражаю­ щей площадки, могут быть однозначно определены и на основе других обращенных кинематических построений. Например, можно начинать с построения луча тМ, «выходящего» из точки т профиля под углом падения <рН1, равным углу падения в точке т

точка М определяет месторасположение отражающей площадки. Ориентация же площадки в пространстве, т. е. направление ее нормали, однозначно определяется соотношением (2.13) по на­ правлениям касательных к лучам ОМ и тМ в точке М. (Следует подчеркнуть, что все практические методы локализации отра­ жающих площадок при помощи лучей базируются на изложенном построении).

Таким образом, мы видим, что алгоритм определения положе­ ния отражающих границ среды, вытекающий из метода полей времен, фактически содержит в себе любые другие алгоритмы определения положения границы, применяемые в сейсморазведке

* Направление выхода луча из точки т (т. е. ее угол падеипя <р,„) одно­ значно определяется значением скорости v {М) под дневной поверхностью и кажущейся скоростью волны в точке т, т. е. ее годографом. Весь же луч тМ однозначно определяется углом падения <р„, и значением v (М) скорости рас­ пространения волн в слое между дневной поверхностью п первой отражающей границей. При любых кинематических построениях функция v (AT) предпола­ гается известной в указанном слое.

32

и основанные на учете лишь кинематики зарегистрированных волн. С этой точки зрения указанный алгоритм можно считать наиболее

можности выделения из зарегистрированного поля годографов отдельных отраженных волн, применяемое в сейсморазведке обращенное продолжение кинематических характеристик поля

мянутом слое практически никогда неизвестно, то значение ско­

и определяемая первая граница оказывается фактически первой

После построения первой границы обращаются к построению следующих отражающих границ среды, точнее, ее модели. При этом используют сведения о строении среды, полученные в резуль­

ниже найденной ранее границы (или границ), затем применяют алгоритм нахояадения границы из п. 3, учитывающий природу той волны А, годограф которой используется для построения по­ лей времен. Заметим, что построение последующих границ модели среды, как известно, можно производить и путем пересчета годо­ графа на уровень предыдущей границы, который получается в результате пересечения с этой границей «продолженного» фронта (2. 2) отраженной волны, рассматриваемого в обращенном времени.

Построение фронтов (2. 2) отраженных волн, рассматривае­ мых в обращенном времени, есть не что иное, как обращенное продолжение в глубь среды кинематической части информации, выделенной из сейсмограмм и содержащейся в годографах волн. При этом существенно, что продолжение производится вдоль лучей не всех мыслимых волн, а только вдоль обратных направле­ ний лучей выбранной волны А, распространяющейся от иссле­ дуемой границы к точкам дневной поверхности или же к точкам поверхности, на которую были пересчитаны годографы.

Вот из этого уже можно извлечь определенное указание на то, в каком направлении следует стараться изменить определение операции обращенного продолжения поля, зарегистрированного на поверхности z = 0 , по сравнению с определением, данным

* Заметим, что в подавляющем большинстве производственных задач в настоящее время считают v (^f)=const, т. е. принимают v (М) равной неко­ торой средней или эффективной скорости распространения волн в слое среды до искомой отражающей границы.

в п. 8 §1. Обращенное поле должно содержать в себе лишь такие волны, которые (при рассмотрении в прямом времени) несли в себе ту информацию об изучаемом структурном элементе среды, кото­ рую предполагается использовать в процессе интерпретации.

от точек дневной поверхности непосредственно к точкам искомой

т. е. оно должно было бы производиться вдоль обратных направ­ лений лучей двукратных отраженных волн, и т. п. Математиче­ ская реализация такого способа обращенного продолжения поля дается в п. п. 7 и 8 § 3.

6. Посмотрим на описанную процедуру построения границ раздела среды с несколько иной точки зрения, причем для про­ стоты изложения будем сначала считать, что речь идет о нахожде­ нии первой границы по однократно отраженной волне.

После того как построен фронт (2. 2) или (2. 2') рассматри­ ваемой обращенной отраженной волны (т. е. решена кинематиче­ ская задача об обращенном продолжении поля этой волны, заре­ гистрированного на поверхности z = 0 ) , описанная выше операция нахождения первой отражающей границы (см. п. 3 или фор­ мулу (2. 9)) фактически сводится к проверке следующей альтер­

Перебирая всевозможные точки М из области предполагаемого расположения границы, при помощи указанной альтернативы можно получить «все» точки границы, т. е. найти уравнение (2. 9).

Изложенное в точности соответствовало бы случаю мгновен­

личных волн и для определения месторасположения первой гра­ ницы 2 Х берут тот из годографов, которому соответствуют, вообще говоря, наименьшие времена прихода сигналов. Таким обра-

34

зом, здесь интерпретатор уже вмешивается в процесс интерпре­ тации и принимает решение, которое ему представляется наиболее правдоподобным в силу имеющихся у него априорных представ­ лений о среде. Однако если не заботиться об экономии труда и времени, то на указанном этапе можно было бы не вмешиваться в процесс интерпретации и применять алгоритм определения первой границы 2 Х для каждого из годографов. В результате определилось бы несколько вариантов полос возможного распо­

ему наиболее правдоподобным. При этом он, конечно, стал бы руководствоваться как геометрическими соображениями (граница 2 Х должна быть ближайшей к дневной поверхности), так и своими представлениями о геологической структуре среды.

Из изложенного непосредственно вытекает ответ на основной из интересующих нас вопросов, а именно: каким образом может быть использовано на практике обращенное продолжение поля, зарегистрированного на плоскости z = 0 , с целью определения местоположения отражающих границ среды? Ответ тривиально

было бы быть отличным от нуля только на волновых фронтах вида (2. 2) или (2. 2'), отвечающих всем годографам волн, содер­ жащихся в сейсмограммах (независимо даже от того, удалось ли эти волны прокоррелировать или нет). В реальных же условиях,,

отличной от нуля лишь в некотором числе полос, в одной из ко­

Функцию (2. 14) можно назвать функцией пространственного распределения отражающей границы или, короче, функцией распределения границы. После того как эта функция построена, интерпретатор может уточнять положение границы в упоминав-

шейся полосе, используя те или иные дополнительные сообра­ жения.

Что же касается последующих границ раздела среды, то их можно было бы определять вполне аналогично, если предвари­ тельно произвести пересчет зарегистрированного при z = 0 поля в точки поверхности найденной первой (второй и т. д.) границы. Такой пересчет легко может быть произведен на основе формул обращенного продолжения полей и, в принципе, оказывается подобным пересчету годографов на более низкие горизонты. Однако в- приложениях выгоднее поступать иначе, а именно в со­

ответствии с замечанием, сделанным в конце п. 5. При этом необходимо исходить из формул, дающих обра­ щенное продолжение поля вдоль лу­ чей выбранной волны А (присут­ ствие которой на сейсмограммах предполагается) сразу в область, расположенную ниже уже найденных границ раздела среды. Что же каса­ ется величины х (ilf), подставляемой в соответствии с (2. 14) в выражение обращенного поля, то она должна определять время распространения волны А от источника О до точек М области, в которой граница ищется.

Таким образом, изложенный в связи с (2. 14) алгоритм факти­ чески применим для нахождения месторасположения любой гра­ ницы среды.

7. Для иллюстрации изложенного рассмотрим простейший пример среды, состоящей из однородного выклинивающегося слоя со скоростью распространения волн vQ и произвольного «слоя», расположенного ниже первой отражающей (плоской) гра­ ницы АВ (рис. 4). При описании процесса распространения волн в декартовых координатах х и z будем считать, что источник

отражающей границы, и если рассматривать отраженную волну лишь при углах падения, меньших предельного угла полного внутреннего отражения (в случаях, когда в точках М границы АВ оказывается v (М) > v0), то для отраженной волны, подходящей

36

к точкам М вблизи дневной поверхности z = 0 , будем иметь выражение

жения волны, который, очевидно, зависит от рассматриваемой

Согласно п. 6, область, где В. (М)=^=0, должна определять полосу, внутри которой располагается отражающая граница. В соответ­ ствии же с построением на рис. 4 ясно, что в точках границы АВ должно быть г=г. Таким образом, неравенство (2. 19) действительно определяет полосу, содержащую границу, и притом тем более узкую, чем меньше длительность 8 действия источника. Заметим, что если источнике возбуждает первичную волну с «формой» / (t), содержащей несколько неодинаковых экстремумов, и если эти экстремумы достаточно четко обнаруживаются на фоне помех (которые всегда присутствуют на опыте), то имеется очевидная возможность принимать за длительность источника не 8, а мень­ шую величину, соответствующую области основных фаз в функ­ ции / (*).

8. Для нахождения полос, содержащих отражающие границы среды, можно предложить и другие (часто более эффективные) алгоритмы, основанные на использовании обращенного продол­ жения поля. Мы ограничимся здесь упоминанием лишь о двух из них, хотя ясно, что подобных алгоритмов можно предложить

37

'большое количество и что в зависимости от целей и конкретных условий сейсмического исследования можно (и нужно) выбирать свой алгоритм, наиболее полно учитывающий априорные пред­ ставления об исследуемой среде. К обстоятельному обсуждению такого рода вопросов целесообразно будет обратиться после того, как накопится достаточный опыт использования обращен­ ного продолжения полей на практике.

Если в функции w (М, Т—t), осуществляющей обращенное продолжение поля сейсмограмм, о которой шла речь в конце п. 6,

о

которую мы будем называть энергетическим пространственным распределением границы. В условиях примера из п. 7 эта функция имеет вид

о

гладких отражающих границ произвольной формы и потому она может быть использована для определенпя полос, в которых рас­ полагаются границы раздела исследуемой среды. Заметим, что некоторое преимущество функции (2. 20) в задачах об определе­ нии месторасположения границ по сравнению с функцией (2. 14) является следствием большей устойчивости правой части (2. 20) как по отношению к помехам, содержащимся в экспериментальном

исследователю известна форма / (t) волны, отразившейся от пер­

* Для этого достаточно знать форму первичных (прямых) воли вблизи источника, а также быть уверенным в том, что отражение волн от границы z = 0 происходит под углами падения, меньшими предельных.

38

в которой х (М) имеет такой же смысл, как и в (2. 20). Эта функ­ ция, названная нами корреляционным пространственным распре­ делением границы, также отлична от нуля лишь в некоторой полосе, содержащей границу, и, так же как и (2. 20), обладает устойчивостью по отношению к помехам. Преимущество функ­ ции (2. 21) по сравнению с (2.14) состоит еще и в том, что она позволяет не только определять положение отражающих граипц в случае полей, возбужденных обычными импульсными источни­ ками, но удобна и для работы с полями, возбуждаемыми широко­ полосными шумовыми источниками сейсмических волн.

9. В заключение следует во-первых, отметить, что перечислен­ ные выше алгоритмы определения местоположения отражающих границ сформулированы нами применительно к случаю неста­ ционарных волновых нолей. Можно было бы предложить п алго­ ритмы определения границ на основе использования стационар­ ных волн, однако разведочные возможности стационарных волн оказываются существенно более бедными. Во-вторых, нужно напомнить принятое ранее допущение, что процессы распростра­ нения волн в слоях среды описываются одним волновым уравне­ нием, а не уравнениями теории упругости, как это имеет место в условиях реальной сейсморазведки. Однако в рассуждениях настоящего параграфа волновое уравнение само по себе факти­ чески не фигурировало, а все построения базировались лишь на кинематических законах распространения волновых фронтов, составляющих содержание геометрической оптики. Поэтому не представляет труда убедиться в том, что полученные алго­

продолжения истинного сейсмического поля, зарегистрирован­ ного в точках дневной поверхности. Высказанное утверждение сразу же вытекает из широкоизвестных кинематических законов распространения фронтов сейсмических волн, составляющих со­ держание геометрической сейсмики, вполне аналогичное содер­ жанию геометрической оптики. Что же касается вопросов о том, каким образом можно построить обращенное продолжение истин­ ных сейсмических полей, равно как и вопросов, связанных с со­ поставлением такого продолжения с обращенным продолжением полей, вытекающим из теории волнового уравнения, то они об­ суждаются в § 4.

39