книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

дящих на бесконечность; * 3) задай стационарный режим колеба­

еще условия вида (1 . 4), выражающие требование непрерывности и (М) и его нормальной производной па всех внутренних границах 2,- раздела сред.

В сформулированных задачах указаны необходимые и доста­ точные условия существования и единственности решений, кото­ рые, кроме того, оказываются непрерывно зависящими от всех входных данных. При отбрасывании хотя бы одного из перечислен­ ных условии теряется единственность решения. Добавление же какого-либо условия приводит к противоречию. Заметим, что факт единственности решения, обеспечивающий физическую оп­ ределенность рассматриваемой математической задачи, имеет еще то важное значение, что он позволяет искать решение «любым путем», лпшь бы это решение было найдено. Решение можно «уга­ дывать». При этом если угаданное решение удовлетворяет всем перечисленным выше условиям, то оно единственно правильно.

3. Для нижеследующего основной интерес представляют за­ дачи из п. п. 1 и 2, близкие по своей постановке к задачам теоре­ тической сейсмологип. Такие задачи подробно изучались в мате­ матической фпзпке как в общем виде, так и иа примерах много­ численных приложений к физике и технике. Поэтому в настоящее время имеется весьма много точных результатов, позволяющих судить о качественных и количественных свойствах решений за­

ваться лишь задачами, имеющими отношение к вопросу о продол­ жении волновых полей, зарегистрированных на некоторой плос­ кости 2 = 0 среды, структура которой подобна структуре сред, типичных для сейсморазведки. При этом ради определенности в § 1 рассматриваются задачи лишь в нестационарной постановке. Фактически такие же результаты можно было бы получить и для

* Прп зависимости и п / от времени t в виде (1. 5) и (1. 6) условия излуче­ ния в случае однородной среды (у= const) требуют, чтобы прп достаточно больших расстояниях R от области приложения внешних воздействий реше­ ние и (М) пз (1. 6) имело такой вид, что

оказывается волной, уходящей на бесконечность.

10

стационарных задач. Мы не останавливаемся на этом, во-первых, потому, что к решениям стационарных задач всегда можно перейти от решений нестационарных — при помощи преобразования Фурье (см. § 5), а во-вторых, из-за меньшей важности таких задач для сейсморазведки.

4. Пусть задана изотропная безграничная среда, мыслепио

будем считать однородным и характеризующимся скоростью рас­

ник колебаний, возбуждающий волновое поле. Если поле и уже возбуждено, то его можно регистрировать в произвольных точках

Обозначая через w+ (х, у, z, t) и и_ (х, г/, z, t) волновые поля, возбужденные источпиком Р соответственно в верхнем г > 0 и нижнем г <^ 0 полупространствах, поставим вопрос: в какой мере могут быть определены (восстановлены) поля и± (х, у, z, t) только лишь на основании известных значений

этих полей в точках плоскости z=0? Очевидно, что подобная задача для поля и_ весьма близка к выяснению информативности данных, содержащихся в сейсмограммах позиционных наблюдений, для решения вопросов, касающихся свойств волн, подходивших к днев­ ной поверхности, в частности кинематических законов их распро­ странения. Естественно, что для сейсморазведки такая задача представляет несомненный интерес.

Волновые поля, определяемые в полупространствах z^>0 и z <С0 только на основе функции щ (х, у, t) из (1 . 9), мы будем называть в дальнейшем соответственно прямым и обращенным продолже­ нием поля (1 . 9).

5. Рассмотрим сначала простой вопрос о прямом продолжении поля(1. 9) в полупространство z > 0, а также вопрос о возможно­ сти использования такого продолжения для разделения интерфе­ рирующих волц и определения их параметров'. Для этого заметим,

11

(1 . 3), имеющая единственное решение. Входными данными в та­ кой задаче оказывается лишь функция и0 (х, у, t) из (1 . 9). Таким образом, можно з'тверждать, что информация, содержащаяся в зарегистрированных значениях (1 . 9) поля, достаточна для оп­ ределения истинного поля в области з > 0, а решение получаю­ щейся математической задачи для прямого продолжения поля (1. 9), которое приводится в § 3, определяет истинное поле и+ (х, у, z, i). Указанное продолжение полностью учитывает всю, как кинемати­ ческую, так и динамическую, информацию, содержащуюся в правой части(1.9). Заметим, что если рассматривать данные(1. 9)вдольнекоторого профиля, например, у=0, то обычными для сейсморазведки методами годографов можно было бы пытаться продолжить в об­

п имеют протяженные осп синфазпости, то такое продолжение уда­ ется обоснованно реализовать. В противном же случае обоснование упомянутого процесса продолжения встречается с серьезными затруднениями, которые далеко пе всегда можпо преодолеть мето­ дами геометрической сейсмики. Существенно подчеркнуть, что в описанном выше процессе прямого продолжения поля (1. 9) (на основе решения краевой задачи) подобные затруднения пе возникают. Продолжение одинаково хорошо работает как в слу­ чае разделяющихся, так и интерферирующих сигналов. Более того, оно автоматически учитывает и даже определяет степень применимости к зарегистрированному материалу законов геомет­ рической сейсмики, которые, как известно, безоговорочно справед­ ливы лишь применительно к отдельным вступлениям волн, воз­ бужденных разрывными воздействиями. Таким образом, рассматри­ ваемый способ продолжения поля, кроме всего прочего, может служить базой для выяснения вопросов, касающихся степени применимости геометрической сейсмики к продолжению зареги­ стрированных вступлений в зависимости от частоты волн, длин их осей сиифазности, расстояния, на которое производится про­ должение, и т . п.

6. Остановимся кратко на вопросах, касающихся возможного практического значения обсуждаемого продолжения поля для за­ дач сейсморазведки. Дело в том, что в сейсмической практике ие встречается ситуаций, в которых требуется продолжить волновое

12

поле в область z > 0 однородной среды (y„=const) по результатам его регистрации в точках плоскости z = 0 , расположенной в той же однородной среде. Более того, единственной «плоскостью» (z=0), где практически еще можно зарегистрировать сейсмическое поле в виде функции it0 (х, г/, t), является дневная поверхность, «выше» которой уже нет сейсмической среды. Если же продолжать сейсми­

жение дел здесь несколько отличается от того, что подразумева­ лось в обсужденной выше задаче.

Конечно, в сейсморазведке может идти речь лишь о продолже­

жащуюся в сейсмограммах it0 (х, у, t). Прямое продолжение дан­

этом особенно полные сведения удается получать о тех частях поля й° (.г, у, t), которые описываются в рамках геометрической сейсмики и лучевого метода в распространении волн. (Именно такие части поля и представляют наибольший интерес для сейсмораз­ ведки). Например, если поле й° (х, у, £), зарегистрированное на дневной поверхности z = 0 , имеет области интерференции различ­ ных «приходящих» волн, то при продолжении этого ппля на пло­ скость z = z 0 ]> 0 (с подходяще выбранными значениями парамет­ ров z0 , и У0 ) всегда можно добиться разделения воли, а затем путем несложных пересчетов определить «истинные» параметры таких волн в исходном поле й° (х, у, t). Подобную операцию можно про­ изводить неоднократно при различных значениях скорости у0 , что позволяет разделять сигналы с весьма большой степенью увереииости и надежности.

Остается еще затронуть вопрос (имеющий особенно важное значение для проблемы обращенного продолжения поля, которая обсуждается в последующих разделах параграфа), касающийся различий в результатах прямого продолжеиия упоминавшихся выше данных и0 (х, у, t) и й° (х, у, t). Мы дадим здесь лишь краткую качественную иллюстрацию положения дел,. причем будем рас­ сматривать вопрос в нулевом приближении лучевого метода. Отметим только, что в математической физике имеются методы, позволяющие получить ответ на такой вопрос с любой степенью точности.

13

Будем считать, что в первой сейсмической задаче типа задачи п. 4 плоскость z = 0 не есть граница раздела сред (т. е. что при пе­ реходе через эту плоскость скорости распространения сейсмических волн остаются непрерывными) и что регистрируемое на ней поле состоит из наложения регулярных воли, т. е.

правило, от рассматриваемой точки х профиля. Во второй же за­ даче будем предполагать, что среда z <С0 имеет в точности такое же строение и возбуждается в точности таким же источником колеба­

к

в которой qk {x) обозначают так называемые коэффициенты кон­ версии.* Эти коэффициенты оказываются, вообще говоря, завися­ щими от точки х профиля, так как их значения определяются уг ­ лами падения <вк (х) воли.

Если

ш

к

Из математической реализации процесса прямого продолже­

X s i n <pfc (х)], а также базой (а, Ь) профиля, с которой производится

* Здесь считается, что сейсмические волны подходят к дневной поверх­ ности под углами падения, пе превосходящими предельных углов. При этом, форма волны пе меняется.

14

продолжение. При этом выясняется, что если при доминирующей частоте ш зарегистрированных волп коэффициенты конверсии qk (х) оказываются функциями от х, изменяющимися достаточно

и й° весьма мало отличаются друг от друга. В сейсморазведке.- (молчаливо) подразумевается, что указанное условие выполнено,, так как всегда полагают, что присутствие коэффициентов конвер­ сии в зарегистрированных на сейсмограммах данных вида (1 . 19) не препятствует определению истинных кинематических парамет­ ров воли, подходивших к дневной поверхности. В такой ситуации все изложенное в п. 5 приобретает очевидное прикладное значение для сейсморазведки.

7. Перейдем к обсуждению вопросов, касающихся обращенного

иой в п. 4, только на основании данных (1 . 10), зарегистрированных на поверхности z = 0 в течение времени (1 . 8). При этом будем счи­ тать, что поле возбуждалось источником колебаний, расположен­ ным в некоторой точке Р среды z <С 0 и действовавшим лишь в те­

может быть описан математически в результате решения уравне­ ния (1 . 1) с функцией / из (1 . 14) при дополнительных требованиях:

в среде был покой), и 2) что на всех границах 2,- раздела сред вы­ полняются условия контакта вида (1 . 4). Заметим, что на поверх­ ности z = 0 в задаче нз п. 4 никакого условия не ставится, так как среда предполагается не имеющей свободной границы (дневной поверхности) и волны, доходящие до поверхности z = 0 , свободноуходят в полупространство z > 0. После же того, как поле в среде возбуждено, можно замерять его значения где угодно. Мы считаем, что замеры поля производились на плоскости z = 0 в течение про ­ межутка времени (1 . 8) и привели к функции и0 (х, у, t) из (1 . 10).

Изложенное соответствует описанию истинного процесса воз­ буждения поля и_ (х, у, z, t) во времени t, при котором причиной возбуждения поля и_ было действие источника (1 . 14), а равенство (1 . 10) оказалось следствием процесса измерения поля.

Мы же хотим вылепить, нельзя ли поле и_ (х, у, z, t) определить на основании равенства (1 . 10), правая часть которого считается

15.

известной функцией в промежутке (1 . 8). При таком подходе к проблеме причина и следствие как бы меняются местами: функ­ цию и0 (х, у, t) из (1 . 10) мы должны рассматривать как причину появления поля, т. е. как «плотность» некоторых источников (рас­

значений и_ (х, г/, z, it) на плоскости z = 0 необходимо рассматривать как начальный момент i=Q попытки определения и_ по значениям правой части (1 . 10), т. е. как момент включения «источников» и0 (х, у, t). Само же описание поля и_ в обращенном времени т должно отличаться от описания и_ во времени t в точности так же,

постараемся сформулировать математическую задачу, в которую ра­ венство (1 . 10) входило бы в качестве граничного условия и из ко­ торой поле w определялось бы однозначно. Чтобы это сделать, -заметим, что производные от и_ и w по пространственным перемен­ ным всегда совпадают и что из (1 . 16) и (1 . 15) следует

ди_ дш д^и d%w

в соответствии с (1 . 17), w должны удовлетворять волновому урав­ нению

На границах 2 ( раздела слоев среды функция u _ = u удовлет­ воряет условиям контакта (1 . 4), в которые входят только прост­ ранственные производные. Поэтому функция w из (1 . 16) должна

16

ские характеристики, т. е. лучи и фронты некоторых волн, входя­ щих в состав истинного поля, указывает, во-первых, на особую важность таких характеристик для современного подхода к зада­ чам сейсморазведки, и во-вторых, на то, что такие характери­ стики достаточно уверенно определяются по значениям поля, за­ регистрированным на плоскости z = 0 . Поэтому ясно, что поставлен­ ный вопрос имеет смысл и, более того, что изложенные выше со­ ображения дают надежду на положительное его разрешение.

К изложенной аргументации следует добавить еще надежду на то, что в результате обсуждения поставленного вопроса удастся прийти к такому вспомогательному полю й (х, у, z, t), которое лучше и полнее учитывает информацию о среде, содержащуюся в сейс­ мограммах (1 . 10), чем «поля», реализуемые при обычных кине­ матических способах продолжения. Так, например, может ока­ заться (и оказывается в действительности), что поле й не только весьма полно описывает кинематические характеристики всех волн, входящих в состав истинного поля и_ (х, у, z, t) в среде z < 0, но учитывает и относительные динамические их характеристики. При этом математическая реализация продолжения может привести (и действительно приводит) к удобным машинным алгоритмам, заметно отличающимся от тех, которые используются в сейсмо­ разведке. В частности, их применение не требут предварительного (весьма кропотливого и трудного) анализа сейсмограмм с целью выделения вступлений отдельных волн, что уже одно само по себе является существенным преимуществом.

S.Как следует из п. 7, для определения истинного поля (1 . 16)

вполупространстве z < 0 по данным (1 . 10) необходимо было бы располагать начальными условиями (1 . 22). Но функции w0 mw1 из (1 . 23), входящие в такие условия, всегда оказываются неиз­ вестными, и не остается другой возможности, как пренебречь их

(1 . 19)—(1. 21) для w не имеет определенного решения, мы прихо­ дим к единственно разумному заключению о необходимости в (1.22) полагать ^ = ^ = 0 .

Итак, операцию обращенного продолжения в среду z < 0 граничного поля и0 {х, у, t) из (1. 10) можно было бы определить

начальным данным при х = 0 , т. е. условиям (1 . 22), в которых w 0 =

рассматриваемое в прямом времени t, единственно и полностью учитывает информацию, содержащуюся в сейсмограммах (1 . 10). Поэтому сформулированное определение операции обращенного

18

продолжения является корректным. Однако из дальнейшего будет видно, что оно обладает рядом недостатков. Во-первых, легко вы­ ясняется, что поле й (х, у, z, t) содержит в себе ряд ложных («па­ разитных») волн по сравнению с истинным полем и_ (х, у, z, t). Во-вторых, математические алгоритмы, позволяющие строить поле й (х, у, z, if), оказываются излишне сложными и громоздкими. Вследствие указанных причин в дальнейшем мы несколько изме­ ним определение понятия «обращенное продолжение поля». Но для

ных между передними и задними фронтами волн. (Заметим, что фронт прямой волны, возбужденной источником, на рис. 1 не ука­ зан, так как эта волна не будет представлять для нас какоголибо интереса).

Процесс распространения волн от источника можно описывать путем прослеживания движения волновых фронтов всех волн. Но, как известно, можно применять и лучевое описание, при ко­ тором оказывается, что (с точностью, вполне достаточной для сейс­ мической практики) энергия волн как бы распространяется вдоль лучевых трубок, построенных на соответствующих лучах. На гра­ ницах раздела лучевые трубки разветвляются на трубки отражен­ ной и преломленной волн, в которых продолжают распростра­ няться части энергии, содержащейся внутри трубки падающей волны. Количественное распределение энергии падающей волны между преломленной и отраженной волнами регулируется квадра-

2* 19