книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

тами коэффициентов преломления и отражения (зависящих от угла падения луча волны), значения которых можно считать, во­ обще говоря, величинами одинакового порядка. Ради краткости в дальнейшем мы будем заменять слова «лучевая трубка» одним

в стороны, определяемые направлениями стрелок на лучах рис. 1. Выражаясь иначе, можно считать, что распространение этих волн соответствует движению энергии волн вдоль всевозможных лу­ чей в направлениях, указанных на рис. 1 стрелками. В обращен­ ном времени т (1 . 15) распространение тех же волн определяется

может быть однозначно определено из математической задачи для уравнения (1 . 19), при условиях контакта (1. 20) и начальных данных (1 . 22), в которых

причем правые части (1 . 26) вычисляются по истинному полю во всех точках среды, куда поле распространилось к моменту £ = Т.* При сделанных предположениях функции w0 и wx отличны от нуля лишь в заштрихованных на рис. 1 полосах. Но в полупространстве z <^ 0 поле w=u из (1 . 25), совпадающее с полем w=u_ из (1.16), может быть определено также и из математической задачи для уравнения (1 . 19), сформулированной в п. 7 только для полупро­ странства z < 0. При этом решение уравнения (1 . 19) следует под­ чинять условиям контакта (1 . 20), начальному условию (1 . 22), •содержащему функции w0 и w1 из (1 . 23) или, что то же, из (1. 26) только при значениях z < 0, и граничному условию (1 . 21).

Таким образом, оказывается, что влияние граничных условий { 1 . 21) на формирование в среде z <[ 0 истинного обращенного поля

20

летворяющего условиям математической задачи (1 . 19)—(1. 22), ни в коем случае не может считаться малым по сравнению с влия­ нием на это поле граничных условий (1 . 21). Поэтому если отбра­ сывается информативная часть начальных условий (1. 22), т. е. полагается w0=w1=0, как это сделано нами в п. 8 при определении; понятия «обращенное продолжение граничных значений (1. 10)», то в результате получается поле гй из (1. 24), которое, вообще го­ воря, сильно отличается от истинного поля w из (1 . 25). Наличие существенных различий между полями w и w вне области «луче­

в точности равно влиянию на это поле граничных условий (1. 21), выписанных для участка ОЪ3 плоскости z = 0 . Поэтому рис. 2 адек­ ватно соответствует условиям, в которых формируется обращен­ ное поле w из п. 8.

Рассматривая процесс распространения w в обращенном вре­ мени т и применяя лучевое описание, мы пришли бы к выводу, что правее луча Ра3Ъ3 поле w=0. Однако этот результат неверен, так как лучевое описание процесса распространения волн приме­ нимо только к тем частям волновых фронтов, вдоль которых поле изменяется достаточно плавно. В нашем же случае при переходе через границу z = 0 в правом конце заштрихованной полосы ВВ"

тодами (близкими к теории дифракции), которые показывают, что суммарное волновое поле может рассматриваться как наложение

21

лучевой его части, а также поля, определяющего дифракционный краевой эффект, характер которого будет проиллюстрирован нами в § 7. При этом ширина области краевого эффекта оказывается тем меньшей, чем меньше длина А0 доминирующей волны, испущен­ ной источником Р. Таким образом, если база ОЪ3, на которой ре­ гистрировалась функция и0 (х, у, t) из (1 . 10), достаточно велика по сравнению с длиной Х0, то для рассмотрения внутренних точек

чевым описанием. Вследствие этого прп дальнейших качественных рассуждениях мы будем применять лучевое описание, не обращая внимания на наличие упоминавшегося краевого эффекта.

противоположных стрелкам на рис. 1) энергии волн, содержащейся

волны, создаваемые энергией поля, содержащейся в заштрихован­ ных полосах при z > 0 (рис. 1 и 2), еще не дошли до границы раз­ дела SS', в точках упоминавшегося конуса, расположенных выше гранпцы SS', поля w (х, у, z, х) и w (х, г/, z, х) оказываются оди­ наковыми.* В результате же влияния границы SS' на распростра­ нение волн в обращенном времени х в полях ю и w появляются существенные различия.

В случае истинного поля w процесс взаимодействия волн с гра­ ницей SS' выглядит так: волна, идущая от зоны ВВ' и распростра­ няющаяся, например, вдоль луча Ьха1л доходит до границы SS' в некоторый момент тх. Точно в этот же момент к точке аг границы

из-за этого в результате появляется только одна волна, распростра­ няющаяся вдоль луча агР и притом заметно более интенсивная, чем каждая из волн, упоминавшихся выше.

В случае же поля w процесс на границе SS' протекает в обра­ щенном времени х иначе. К границе раздела SS' подходит только одна волна, созданная за счет энергии поля в заштрихованной области ВВ" на рис. 2. Но по законам отражения—преломления волн (автоматически учитываемым условиями контакта (1 . 20) в математической задаче из п. 8) при этом обязательно появляются

* Из-за наличия упоминавшегося краевого эффекта следовало бы считать поля ш я w «почти одинаковыми» и тем более близкими друг другу, чем более удаленные от границы Paabs конуса точки рассматриваются.

22

две волны: преломленная и отраженная. Таким образом, волна,

и содержащихся как в поле w, так и в поле ги, то они существенно отличаются друг от друга по интенсивности, однако по своим ки­ нематическим свойствам абсолютно тождественны.

10. На основании изложенного уже можно сформулировать ряд заключений, легко иллюстрируемых и на примере других сред, в частности таких, для которых плоскость z = 0 является дневной поверхностью. Прежде всего нужно отметить следующее.

а) Поле w (х, у, z, т), определяемое в результате обращенного продолжения граничных значений (1 . 10) истинного поля и_, сохраняет в себе всю информацию об истинном поле (следовательно, и о среде), содержащуюся в данных и0 (х, у, t). Поэтому все све­ дения о среде, получаемые обычными методами сейсморазведки из «сейсмограмм и" (х, у, t)», могут быть как-то извлечены в явном виде и из продолженного поля.

z = 0 до SS', то в пространстве между плоскостью z = 0 и ближайшей (снизу) к ней границей раздела SS' функция и> (х, у, z, т) дает практически истинное описание любой волны, содержащейся в дан­ ных и0 (х, у, t), зарегистрированных на достаточно протяженной базе.

в) Если z = 0 является дневной поверхностью, то зарегистрирован­ ные данные и0 (х, у, t) характеризуют суммарное воздействие на по­ верхность z = 0 падающих и отраженных от нее волн. Поэтому ре­

углами падения, не очень сильно отличающимися друг от друга,

правильно отображает лишь кинематические свойства истинной волны, определяемые законами геометрической сейсмики. Р1нтенсивность же волны отображается функцией w (х, у, z, т) непра­ вильно. Однако правильность описания сохраняется для относи­ тельных интенсивностей волн, распространяющихся вдоль лучей, углы падения которых не очень сильно отличаются друг от друга.

2 3

Наконец, следует особо подчеркнуть, что наряду с волнами, имеющими фронты и лучи, совпадающие с фронтами и лучами истинных воли в среде, поле w (х, у, z, т) содержит в себе и пара­ зитные волны, для которых нет аналогов в истинном волновом поле. Паразитные волны могут лишь затруднить применение обращен­ ных продолжений полей в условиях практики. Поэтому желательно было бы перейти к несколько другому определению операции об­ ращенного продолжения граничного поля (1. 10), лишенному ука­ занного недостатка, приводящему к функциям гй, не в меньшей мере правильно описывающим свойства истинных полей, и допускаю­ щему возможно более простую и конструктивную машинную реа­ лизацию. Об этом идет речь в §§ 3 и 4. Предварительно же необ­ ходимо обсудить не вполне еще очевидный вопрос о возможности и способах пспользования обращенного продолжения волновых полей в задачах сейсморазведки.

§2.

МЕТОД ПОЛЕЙ ВРЕМЕН И ОБРАЩЕННЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

сейсморазведки. Поэтому ясно, что операцию обращенного про­ должения поля, как она определена в п. 8 § 1, нельзя осуществить в условиях сейсморазведки точно и, более того, что сама по себе она еще не представляет какого-либо интереса. Вот если бы реали­ зация обращенного продолжения поля, осуществленная при не­ которых достаточно правдоподобных предположениях о строении верхней части среды, позволяла видеть структуру истинной изу­ чаемой среды или же приводила к эффективным алгоритмам для нахождения основных ее структурных элементов, то интерес к обращенному продолжению полей в сейсморазведке получил бы свое оправдание. Однако пока неясно, можно ли на основе обра­

к обращенному продолжению полей был навеян успехами опти­ ческой голографии, в которой при воспроизведении объекта вос­ станавливается волновое поле, позволяющее или видеть объект, подвергавшийся топографической съемке, или же фокусировать его изображение на экран. Поэтому на первых порах представля­ лось естественным попытаться выяснить: нельзя ли позаимствовать

24

титься непосредственно к практике сейсморазведки, в которой методы, основанные на обращенном продолжении некоторых «по­ лей» (хотя и отличпом от продолжений волновых полей, изучаемых в настоящей книге), давно вошли в повседневный обиход.

При обсуждении интересующих нас сейсмических методов нужно иметь в виду, что волновые поля, наблюдаемые в условиях сейсморазведки, описываются уравнениями теории упругости, а не одним волновым уравнением, которое использовалось в § 1 при определении понятия «обращенное продолжение поля». Можно было бы уже сейчас дать обобщение такого понятия на слу­ чай теории упругости. Однако целесообразнее пока не касаться этого вопроса (обсуждаемого в § 4), а, оставаясь в рамках идей, изложенных в § 1, предполагать, что методы сейсморазведки при­ меняются к исследованию структуры какой-то среды, распростра­ нение волн в которой описывается только одним волновым уравне­ нием. Применимость упомянутых методов в указанной ситуации не подлежит сомнению тем более, что теоретическое обоснование многих из таких методов (в частности, используемых ниже) в сей­ сморазведке дается, как правило, иа примере модельных задач, распространение волн в которых описывается лишь одним волно­ вым уравнением. Естественность же обращения к практике сейс­ моразведки вытекает из того обстоятельства, что, как упоминалось в п. 7 § 1, идея обращенного продолжения кинематических харак­ теристик волновых полей уже давно применяется в сейсмораз­ ведке и на ее основе уже предложены методы обнаружения струк­ турных элементов исследуемой среды. Поэтому обсуждение прин­ ципиальной стороны дела в такого рода продолжениях, а также оценка возникающих здесь затруднений позволят нам не только указать на возможные эффективные способы использования обра­ щенных продолжений волновых полей в проблемах интерпрета­ ции сейсмических наблюдений, но и подойти к более рациональ­ ному и простому определению самой операции обращенного про­ должения любых волновых сейсмических полей.

2. При анализе сущности кинематических способов построения границ раздела сейсмической среды z < 0 мы не будем касаться деталей, -а сосредоточим внимание лишь на самом главном. Тогда можно утверждать, что все практические методы построения гра­ ниц среды основаны: 1) на выделении из волновых полей, зареги­ стрированных на сейсмограммах, достаточно протяженных осей синфазности; 2) на отождествлении зарегистрированных волн с теми или иными волнами, появление которых ожидается на ос­ новании априорных представлений о структуре изучаемой среды; 3) на применении того или иного построения, вытекающего из

к его длине волны в условиях сейсморазведки и оптики абсолютпо несоизме­ римы.

26

идейного содержания метода полей времен, как наиболее полного выразителя кинематических законов распространения волн, возбужденных достаточно кратковременными источниками коле­ баний [8]. Несмотря на крайнюю схематичность перечисленного, мы не будем задерживаться на определении места и на оценке роли указанных этапов в решении общей, весьма сложной проблемы ин­ терпретации сейсмических наблюдений. Ограничимся лишь за­ мечанием, что интерпретация всегда проводится в рамках той или иной модели среды, содержащей неизвестные параметры (глубины расположения границ, их наклоны к горизонту, скорости распро­ странения волн в слоях, их градиенты и т. п.), и целью интерпре­ тации является определение значений таких параметров непротиво­ речивым образом. При этом выбор модели производится на основа­ нии упоминавшихся априорных представлений о структуре изу­ чаемого участка среды с таким расчетом, чтобы модель достаточно адекватно отражала те элементы реальной среды, знание которых необходимо для решения прикладных задач, ради которых произ­ водятся сейсморазведочные работы. Что же касается параметров границ раздела модели, то можно считать, что они определяются последовательно, начиная от границы, ближайшей к дневной по­ верхности, причем при использовании того или иного кинемати­ ческого построения всегда приходится задавать (волевым путем,

выбраны неудачно (неправильно), то при интерпретации возни­ кают противоречия. Это приводит к необходимости повторять кинематические построения при других значениях таких парамет­ ров до тех пор, пока противоречия не окажутся снятыми. Едва ли было бы уместно задерживаться здесь на обсуждении деталей (чрез­ вычайно важных для процесса интерпретации в целом), касаю­ щихся возможностей контроля правильности выбора v (ЛТ) и уточ­ нения этого выбора на основании выполнения последовательных этапов интерпретации. Для нас сейчас это не имеет существенного значения. Важно лишь, что во всех широко применяемых в сейс­ моразведке методах интерпретация сейсмического материала про­ изводится, во-первых, на основе выделения из поля, зарегистриро­ ванного на сейсмограммах, достаточно протяженных осей синфазности отдельных волн и, во-вторых, на основе применения кинематических построений, при которых приходится задавать значения функции v (Af) — скорости распространения волн во всей верхней части толщи среды, вплоть до искомой границы. При этом во всех случаях, когда на'основании поля, зарегистриро­ ванного на сейсмограммах, не удается уверенно выделить отдель­ ные волны, несущие информацию об изучаемой границе, обычные методы интерпретации сейсморазведочных данных встречаются с серьезными затруднениями.

27

3. Обращаясь к рассмотрению алгоритмов определения гра­ ниц раздела среды при помощи кинематических построений, мы будем ради определенности считать, что источник, возбудивший зарегистрированное на дневной поверхности z = 0 волновое поле, располагался в точке О этой поверхности, а регистрация поля про­ изводилась в точках s-y, s2,. • ., su некоторого профиля. Для про­ стоты будем рассматривать лишь один профиль, что достаточно, если среда обладает осевой симметрией, и будем интересоваться лишь первой, ближайшей к дневной поверхности, границей. Пусть источник О действовал в течение весьма малого промежутка времени О < t <^ Ь так, что с известным приближением его можно считать мгновенным.* Моменты же прихода в точки вг, s2 ,. . ., s„ профиля отраженной от первой границы волны обозначим через

в эту точку отраженной волны. Решение указанной кинематической задачи .можно получить, например, на основе принципа Гюйгенса, применяемого в обращенном времени (1. 15)

т = Т — t.

При этом точки s„, s„_i'- . ., Si следует рассматривать как мгновен­ ные источники волн, включаемые в моменты xk=T—i (sJ:) обращен­ ного времени. Так как скорость v (М) волн известна, то обычными методами для любого момента t можно построить фронты

волн, «возбужденных каждой из точек s;.». Что же касается фронта

отраженной (суммарной) волны, рассматриваемой в обращенном времени т, то он определяется как огибающая семейства фронтов (2.1) всех элементарных волн, испущенных точками sk. Именно так фактически и строится на практике поле времен обращенной отраженной волны. Избранная же нами манера изложения под­ черкивает близость идейной стороны дела при построении поля

* Заметим, что в случае конечного временп о действия источника здесь возникают известные (хотя и не принципиальные) затруднения, связанные с некоторой потерей точности построения границ среды. В количественном выражении упомянутая погрешность в определении положения границы оказывается, как мы увидим далее, совершенно такой же, как и при использо­ вании обращенного продолжения.

28

времен обращенной отраженной волны и при получении обращен­ ного продолжения поля, зарегистрированного на плоскости z = 0 .

После построения фронта (2. 2) отраженной волны для последо­ вательности различных значений i'n обращенного времени или

прямой волны, испущенной источником О. Начиная с некоторого значения времени t0 фронты (2. 3) и (2. 2), отвечающие одному и тому же моменту t=tm, начинают пересекаться. Геометрическое место точек М пересечения таких фронтов как раз и дает искомую отражающую границу среды.

Полезно отметить, что все указанные построения в принципе одинаково хорошо реализуются при «любой» зависимости v (М) от точек М среды, расположенных выше искомой границы, в том числе и для v (М), имеющих разрывы непрерывности на некоторых поверхностях, которые следует отождествлять с выше расположен­ ными границами раздела. Поэтому приведенное построение бук­ вально применимо и к нахождению расположения /с-той границы среды по годографу волны, проходившей без отражений от источ­ ника О до А-той границы и «обратно» к точкам дневной поверхности.

только от /с-той границы, но и от выше расположенных границ раз­

к-тож границы до дневной поверхности; 2) под (2. 3) понимается фронт волны, попущенной источником и прошедшей все слои 1,2. . ., к—1 в таком же порядке, как и волна А при ее распространении от источника до /с-той границы.

4. Чтобы несколько глубже вникнуть в описанную процедуру построения границы, рассмотрим вопрос более подробно с анали­ тической точки зрения. При этом ради простоты и определенности ло-прежнему будем считать, что речь идет о первой границе.

Прежде всего заметим, что (2. 1) и (2. 3) представляют собой центральные поля времен. Если ограничиться для краткости рас­ смотрением плоского случая, когда поле не зависит, например, от координаты у, и вместо v (М), х (М, s;.) и t (М, О) писать v (х, z),

29