книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

или

где п —координата нормали из (3. 50).

Задачу об обращенном продолжении поля(3. 41') можно было бы сначала сформулировать в точности так же, как и в п. 1 (формулы

Для полупения выражения продолженного поля w через функ­ цию Грина, совершенно так же, как и в п. 3, можно было бы вос­ пользоваться формулой Грина (3. 15), в которой под В подразу­ мевается область z <С/(#, у), заполненная средой, a S является дневной поверхностью z = / (х, у) с нормалью (3. 50). При этом рассуждения, вполне аналогичные рассуждениям из п. 3, привели бы нас (вместо (3.-19)) к формуле

"о со

в которой cos nz в знаменателе появился как результат проекти­ рования элемента ds дневной поверхности на плоскость z=const

/ \

(очевидно, что dxdy=cos nz ds).

Наконец, что касается задачи на обращенное продолжение поля (3. 42'), то при изменениях, аналогичных указанным, т. е.

выражающую обращенное поле через поле (3. 42') и функцию Грина при условиях Неймана. При этом последняя фнукция должна была бы определяться так же, как и в п. 4, с той только разницей, что вместо (3. 25) теперь следовало бы писать

60

Изложенное соответствовало бы обращенному продолжению по­ лей (3. 41') и (3. 42'), выполненному в рамках нашего первоначаль­ ного определения операции продолжения, данного в н . 8 § 1.

Для получения же обращенных продолжений полей вдоль фик­ сированного семейства лучей 1т, отвечающего некоторой выбран­ ной волне, необходимо вместо функций Грина g и g в формулы (3. 51) и (3. 52) подставлять их лучевые представления, отвечающие се­ мейству 1т. Такие представления в случае среды z < О давались формулами (3. 43) и (3. 47).

Нетрудно видеть, что указанные формулы фактически не изме­ няются и в рассматриваемом случае, когда дневная поверхность среды дается уравнением z=f (х, у) и характеризуется малой кри­ визной в смысле, указанном в начале п. 9. Дело в том, что при опи­ сании распространения волн в нулевом приближении лучевого метода процессы отражения—преломления волн в окрестности точки N криволинейной границы среды, с касательной плоско­

(криволинейной) дневной поверхности. Поступая указанным об­ разом, без труда получаем формулы

для зависящих от функций Грина сомножителей под знаками ин­ тегралов (3. 51) и (3. 52).

10. Чтобы завершить обсуждение идейной стороны дела в проб­ леме обращенных продолжений волновых полей, полезно коротко остановиться на сопоставлении прямой задачи (3. 1)—(3. 3), (1. 20) на распространение волн в среде z < 0, положенной в основу опре­

Если бы структура среды z < 0 была точно известной заранее, то построение точного решения задачи типа 2 позволяло бы.на-

61

ходить и точное выражение для обращенного продолжения гранич­ ного поля (3. 3), которое, как было установлено в § 1, принципиально не может быть найдено точно на основе (даже абсолютно точного) решения задачи типа 1. В такой ситуации при получении обращен­ ного волнового поля было бы выгоднее исходить из решения за­ дачи типа 2. Однако подобная ситуация не имеет ничего общего с проблемами интерпретации результатов наблюдения поля с целью изучения структуры среды и к ее обсуждению полезно обращаться только в тех случаях, когда желательно сопоставить (как, напри­ мер, в п. 9 § 1) обращенное поле, получаемое на основе решения задачи типа 1, с истинным обращенным полем в среде известного строения.

В реальных же условиях сейсморазведки, интерпретационные проблемы которой представляют здесь для нас основной интерес,, структура среды z < 0 заранее неизвестна и у исследователя име­ ются лишь некоторые предположения или догадки (общего харак­ тера) о тех или иных элементах структуры, составляющие содер­ жание так называемых априорных представлений о среде. В таких ситуациях решениями задач типа 1 или 2 можно воспользоваться только при условии задания какой-либо конкретной (достаточнопростой) модели среды, выбираемой с учетом априорных представ­ лений о строении истинной, исследуемой среды, а также целей геофизического исследования. При этом, как нетрудно видеть, сами обсуждаемые задачи уже почти не имеют ничего общего ни в отношении полей, получаемых в результате их решения, ни в от­ ношении требований, предъявляемых к качеству выбираемых мо­ делей, ни в смысле, наконец, применения их решений в проблемах интерпретации.

Для использования решений задач типа 2 необходимо выби­ рать достаточно детальную модель всей среды, включающую в себя все структурные элементы, параметры которых желательно найти в результате исследования. Задавая точные значения всем пара­ метрам модели, в принципе, можно построить решение задачи типа 2. При этом найденное поле будет содержать в себе лишь информа­ цию о параметрах модели среды, положенной в основу расчетов. Никаких других сведений об истинной изучаемой среде такое ре­ шение не имеет, и потому было бы бессмысленно на нем строить какие-либо алгоритмы определения истинной структуры среды, похожие на алгоритмы из п. п. 6—8 § 2. Очевидно, что сведения об истинных параметрах среды можно было бы полз'чить лишь на основе сопоставления теоретически рассчитанного поля с по­ лем, экспериментально зарегистрированным в некотором множестве точек истинной среды. В случае сравнительно простых сред или же в задачах, когда ставят целью определить какие-либо весьма общие, осредненные и, следовательно, грубые характеристики среды, такое сопоставление удается выполнить в рамках метода перебора параметров модели. В более же сложных случаях сопо-

62

ставление приходится производить в рамках метода эффективной сейсмической модели среды, основанного на представлении модели в форме некоторого стохастического ансамбля. Не останавливаясь на обсуждении упомянутых методов, мы лишь подчеркнем, вопервых, что в них сопоставление теоретического и эксперименталь­ ного полей производится на основе некоторых критериев, применя­ емых не ко всему полю, а только к таким его частям, которые в сил}'' тех или иных соображений считаются «главными», и, во-вторых, что подход к проблемам интерпретации основанный на решении задач типа 2, не имеет ничего общего с проблемами продолжения волновых-шолей.

Наконец, при использовании решений задач типа 1 (или же упрощенных методов, изложенных в п. п. 8 и 9 § 3) для построения обращенных продолжений экспериментально найденных полей вида (3. 3) совершенно так же необходимо задавать модель среды, точнее — той ее части, в которую совершается продолжение поля. Однако теперь при любом выборе модели обращенное продолже­ ние поля в отличие от поля, получаемого в результате решения за­ дачи типа 2, содержит в себе информацию и об истинной структуре среды. Эта информация может оказаться затушеванной и искажен­ ной, если выбранная для продолжения модель очень далека от дей­ ствительности. Если же выбранная модель участка среды, в кото­ рый производится продолжение поля вида (3. 3) с целью локализации и выяснения геометрии подстилающей его отражающей гра­ ницы, отображает действительность не слишком грубо (например, подобно тому, как приближенно выдержанная в среднем по прости­ ранию среда, с плавно изменяющимся градиентом скорости v (М), моделируется однородной средой со скоростью v0, равной среднему от v (М)), то искажение полезной информации о свойствах границы оказывается незначительным и соответстующий алгоритм определе­ ния границы позволяет эту информацию легко выявлять. С уче­ том такой информации выбирается новая, весьма приближенная модель более широкого участка среды и совершенно так же реша­ ется задача для следующего отражающего горизонта. Отмеченное свойство слабой зависимости продолжаемых полей от локальных свойств функции у (М)* (отсутствующее в решениях задач типа 2) существенно облегчает применение метода обращенных волно­ вых полей в задачах практики. Весьма интересным и полезным ока­ зывается и то обстоятельство, что при нечувствительности к локаль­ ным изменениям функции v (М) обращенные волновые продолжения сами обладают отчетливым свойством локальности, позволя­ ющим осуществлять продолжение поля вида (3. 3) в фиксирован­ ную небольшую часть пространства z <^ 0 лишь на основе данных (3. 3), отвечающих подходяще выбранной и «небольшой» области

* Это является следствием интегральной структуры формул для обра­ щенных продолжений волновых полей.

точек N плоскости s = 0 . Такое свойство придает методу обращенных волновых продолжений большую гибкость в смысле учета априор­ ных сведений о строении изучаемой среды и делают весьма эффек­ тивным его применение в задачах сейсморазведки. К подробному обсуждению таких вопросов мы обратимся в §§ 7 и 8.

§4.

ОБ ОБРАЩЕННОМ ПРОДОЛ/КЕНИИ ПОЛЕЙ ВЕКТОРА УПРУГИХ СМЕЩЕНИЙ

До сих пор проблема продолжения полей, зарегистриро­ ванных в точках дневной поверхности, обсуждалась в предполо­ жении, что распространение волн в средах описывается одним вол­ новым уравнением. Однако результаты продолжения полей мы собираемся применять к задачам сейсморазведки, распространение волн в которой определяется не одним волновым уравнением,

ауравнениями теории упругости. Таким образом, в нашем подходе

кпроблемам сейсморазведки имеется некоторая непоследователь­ ность, которую желательно было бы устранить. Правда, вслед­ ствие известного факта, что разрывные части полей упругпх сме­ щений распространяются в пространстве между соседними грани­ цами раздела среды по законам, совпадающим с законами распро­ странения фронтов волн, описываемых независимыми волновыми уравнениями (т. е. из-за родства между законами геометрической сейсмики и геометрической оптпкп), у нас были определенные ка­

чественные основания считать правомочным избранный подход к проблеме. Но в количественном отношении, как в смысле резуль­ татов продолжения полей и эффективности применяемых алгорит­ мов определения месторасположения отражающих границ среды, так и в отношении оптимальности выбора исходных эксперимен­ тальных данных для процесса продолжения, вопросы остаются пока открытыми. С целью выяснения подобных вопросов, а также для установления возможности логически более обоснованного под­ хода к продолжению сейсмических полей мы кратко обсудим проблему обращенного продолжения полей упругих смещений в случае среды с плоской дневной поверхностью. При этом такого рода продолжение будем называть «обращенным упругим продол­ жением поля смещений» в отличие от продолжения, описанного в § 3, которое естественно называть «обращенным волновым про­ должением поля сейсмограммы».

Операцию обращенного упругого продолжения поля смещений мы определим аналогично определению операции волнового про­ должения, данному в § 3. Окончательный же алгоритм продолже­ ния легко может быть сопоставлен с алгоритмом обращенного

64

волнового продолжения из § 3, примененным к той или иной сосставляющей вектора упругих смещений, зарегистрированной на сейсмограмме. Указанное сопоставление позволяет придать опре­ деленный физический смысл операции обращенного волнового продолжения поля сейсмограммы и тем самым оправдывает ее использование в сейсмической практике, по крайней мере на пер­ вых этапах разработки метода обращенных продолжений полей.

Из-за отличий математического формализма теории упругости от формализма задач на распространение волн, описываемых од­ ним (скалярным) волновым уравнением, в реализации обращен­ ного упругого продолжения полей смещений и обращенного волно­ вого продолжения полей сейсмограмм сразу же возникают неко­ торые различия. Чтобы облегчить понимание причин появления таких различий, нам казалось полезным в начале параграфа весьма кратко напомнить важнейшие понятия динамической теории упру­ гости и привести математическую формулировку типичных задач на распространение упругих (сейсмических) волн. Сопоставле­ ние же формул обращенных упругого и волнового продолжений производится в конце параграфа. Там же обсуждаются и следствия, вытекающие из такого сопоставления.

1 . Неоднородная изотропная упругая среда в линейном при­ ближении характеризуется, как известно, тремя «вещественными» параметрами — плотностью р=р (х, у, z) и параметрами упру­ гости Ламе Х=л (х, у, z), р.—а {х, у, z), через посредство которых скорости распространения продольных и поперечных воли выра­ жаются формулами

Состояние колебаний упругой среды определяется вектором смещений и (х, у, z, t), который связан с компонентами координат­ ных векторов напряжений*

* Векторы t„„ как пзвестпо, определяют напряжения на площадках, перпендикулярных осям координат. Например, t 3 дает плотность силы, с ко­ торой материал среды, расположенный по положительную сторону площадки z=const (т. е. по ту сторону, куда направлена ось Oz), действует на материал среды, расположенный по отрицательную сторону площадки.

не понадобится. Наконец, следует еще напомнить, что вектор

где cos nx, . . ., cos nz— направляющие косинусы нормали n

кплощадке.

2.Задачи на распространение и возбуждение упругих волн ставятся аналогично постановке задач для волнового уравнения, причем основное внимание такн?е обращается на вопросы коррект­ ности. Типичной можно считать следующую формулировку задачи.

из величин: р, vp или vs. Требуется найти решение уравнения (4. 4)

66

При этом везде здесь предполагается, что т обозначает обращен­ ное время, связанное с истинным временем t, например, форму­ лой (3. 4)».

Следует отметить, что приведенное (предварительное) опреде­ ление операции обращенного упругого продолжения граничных значений (4. 10) обладает такими же достоинствами и недостатками, как и определение обращенного волнового продолжения граничных значений (1 . 9), данное в п. 8 § 1. В частности, оно приводит к про­ долженному полю и, содержащему наряду с истинными ложные, паразитные волновые фронты.

4. Как показано в § 3, решение задачи из п. 1 § 3, осуществляю­ щее обращенное продолжение скалярного волнового поля, выра­ жается через соответствующую функцию Грина. Совершенно так же и решение сформулированной в п. 3 задачи об обращенном продолжении векторного поля (4. 10) может быть выражено через некоторый аналог функции Грина. Однако из-за векторного ха­ рактера поля смещений теперь приходится говорить о векторных функциях Грнна g ? (М, iVf0 , т—т0 ) и не об одной, а о целых трех. (Заметим, что три векторные функции Грина обычно объединяются в понятие о тензоре Грина, чего мы здесь не будем делать).

шенно такие же, как и в п. 2 § 3), удовлетворяющие условиям вида (4. 9) жесткости контакта на всех внутренних границах 2,.

Чтобы выразить решение и (х, у, z, х ) = и (М, т) задачи из п. 3 через функции Грина g , следует, как и в п. 3 §3, воспользоваться формулой Грина, но уже не для волнового уравнения, а для тео­ рии упругости. Последняя, как известно, может быть записана в виде

68

где u (iW\ т) — искомое решение задачи, сформулированной в п. 3, a gq обозначает вектор Грина, у которого изменен знак перед временным аргументом (т. е. прямое время т—т0 заменено на обра­

(векторной) функции (4. 12) на вектор напряжений t 3 (g ), который

ляющие вектора u (iY 0 , т0 ) упругих смещений и тем самым дает решение нашей задачи из п. 3 об обращенном продолжении гранич­ ного поля (4. 10).

5. Как и в случае одного волнового уравнения (даже еще в бо­ лее сильной степени), векторные функции Грина теории упругости построить в точном виде практически невозможно. Однако по­ строение векторных функций Грина в нулевом приближении луче­ вого метода является столь же простой задачей, как и в случае одного волнового уравнения. При этом оказывается, что оконча­ тельные результаты не так уж сильно отличаются от соответствую­ щих результатов для одного волнового уравнения, получению

п. 6 § 3, касающиеся лучей и фронтов всевозможных волн, возбу­ ждаемых источником (4. 13) и подходящих к дневной поверх-

69