книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

удовлетворяющих, например, условиям вида (5. 29), исследование интеграла (6. 1) удобно проводить на основе метода стационарной •фазы [10; 11, стр. 286].

1. Для применения метода стационарной фазы интеграл (6. 1)

его пути интегрирования, без пересечения особых точек подынте­ гральной функции. Последняя же оказывается на плоскости £ регулярной функции везде, за исключением точек разветвления С= + i z 0 , от которых нужно провести разрезы [11, стр. 78] вдоль

Для метода стационарной фазы существенное значение имеют •седловые точки фазовой функции <р (С), определяемые из уравнения

Если д < 1, то на основном листе плоскости С лежит лишь одна •седловая точка

V 1 — ( ? 2

При q - > 1 эта точка удаляется на бесконечность вдоль веществен­ ной оси, а при q > 1 на плоскости С уже оказываются две чисто мнимые седловые точки

с ± = ± ' 7 р = л { q > i ) ' ( 6 - 4 )

располагающиеся на правых берегах разрезов (iz0, too) и (—iz0 ,

;но распространенных по новым путям интегрирования Z, называе­ мым стационарными контурами (линиями) наибыстрейшего спуска

.и определяемым уравнениями вида

•т

На таких контурах I функция ехр [—ку (С) ] не осциллирует; при движении вдоль I ее модуль изменяется наибыстрейшим обра­ зом (по сравнению с любыми другими направлениями, выходящими из точек контура I) и, наконец, в некоторой точке (или точках) С0 контура I функция |ехр [—ку (С)]| достигает максимума по срав­ нению со всеми прочими точками С, принадлежащими /.

Ко второму же этапу реализации метода стационарной фазы относится вычисление интегралов (6. 5) по выбранным стацио­ нарным контурам I. При этом идея приближенного аналитического вычисления интегралов базируется на упоминавшихся свойствах I, а именно: 1) отсутствии осцилляции функции ехр [—ку ((,)] при движении вдоль I я 2) существовании на I точки С0, в которой |ехр [—/с<р(С)]| достигает максимума. При достаточно больших величинах к этот максимум становится настолько резким, что значение интеграла по всему стационарному контуру I прибли­ женно (с оцениваемой погрешностью) сводится к интегралу лишь по небольшой (главной) части 1г контура I, прилегающей к точке С0- Последний интеграл уже нетрудно вычислить приближенно (при­ чем также с оцениваемой погрешностью) путем аппроксимации его подынтегральной функции подходящими простыми выражениями.

Из изложенного ясно, что для выполнения исследований инте­ грала из (6. 1) по методу стационарной фазы целесообразно сна­ чала познакомиться кратко с общей картиной расположения на рассматриваемом листе плоскости С различных стационарных контуров фазовой функции <р (С) из (6. 2) и особенно таких линий яаибыстрейшего спуска, при движении вдоль которых от точек £ = % вещественной оси плоскости С функция

•стремится к нулю, а, следовательно, функция Re у (С) неограни­ ченно возрастает.

Нетрудно видеть, что условие Re <р (С) -*• со может выполняться

Расположение интересующих нас стационарных контуров ока­ зывается различным при q <[ 1 и q ^> 1, вследствие чего указанные •случаи приходится рассматривать по отдельности.

91

2. Случай 0 < q < 1. Через седловую точку С0 из (б. 3) прохо­ дят два стационарных контура /0 и 1°, определяющихся уравнением

Ira <р (С) = Re [v'cs + 4 - в С] = l m <j> (C0 ) = z0 v T = ~ p

вида (6. 6). Они пересекают вещественную ось соответственно под-, углами а0 =(Зт7/4, — и/4) и а0 =(тг/4, —3/тг4), пересекают мнимую ось.

направления убывания левой части (6. 7). При этом контуры наи­ быстрейшего спуска, выходящие из точек £ > С0 и точек £ < C0v обозначены соответственно через 1+ (£) и Z - ( £ ) .

Нетрудно видеть, что вычисление интеграла из (6.1) можетбыть сведено к вычислению интегралов (6. 5), распространенных по некоторым из контуров Z0, l+ (£) и I ' (£). При этом за положи­ тельные направления интегрирования по контуру 10 мы прини­

то путь интегрирования ( 1 г , £2) из (6. 1) сводится непрерывной деформацией на плоскости С (без пересечения разрезов) к последо-

92

вательному обходу контуров Z~ ( У , 10 и [ —1+ ( у ] . Поэтому вместо •(6. 1) можно писать

Квычислению интегралов

то указанные контуры, обозначаемые посредством 1+ (£), полно­

полагаются во втором квадранте (см. рис. 8, где стрелки на линиях определяют направления наибыстрейшего убывания левой части

и 1+ (£) примем направления, помеченные на рис. 8 стрелками.

93

до бесконечного контура Z~ (£°) присоединением к нему отрезка' (CJ, iz0) правого берега разреза, а затем всего левого берега раз­ реза (iz0, ico). Нам понадобится еще один стационарный контур / 0 , состоящий из берегов разреза (iz0, £оо),за положительное напра­ вление которого мы примем последовательный обход сначала ле­

ехр [—ку (С)] вещественна и (экспоненциально) стремится к нулю при С - > гоо. При движении же вдоль 10 в положительном напра­ влении указанная величина сначала монотонно возрастает (от

94

tp (С) из (6. 2) в ряд по степеням С—С0. В нашем случае можно пи­ сать

? (С) = <р (Со) + (С - Со)'- [1 + А], (6. 22>

где

откуда как раз и следует высказанное в п. 2 утверждение о том,, что контур lQ пересекает вещественную ось в седловой точке под углом а = — тг/4. Для главной же части подынтегральной функции в точках контура 10 при малых р будем иметь

что позволяет судить о характере убывания |ехр [—k<s> (С)]| при удалении от точки ( 0 вдоль Z0.

Если упоминавшееся число е и волновое число к таковы, что

становится пренебрежимо малой. Тем более она оказывается пре­

95-

части (C2 +ZJ5)_ , 4 подынтегральной функции из (6. 5), то в точках выбранного контура Z»° ее следует заменять отрезком разложения в ряд Тейлора по степеням С—С0. При этом оказывается, что удержание лишь первого члена в упомянутом разложении приво­ дит к достаточно точному результату. Поэтому для интеграла / (10) лолучается выражение

Легко видеть, что относительная погрешность такой формулы уменьшается с ростом числа к. При этом прямые оценки показы­ вают, что если

/сг0 VI — д"-

то можно гарантировать погрешность пе более 1 % в значении фазы и не более 10% в множителе при exp [—lkz0\Jl—q2]. Од­ нако, как это часто бывает в случае оценок погрешностей в рамках метода стационарной фазы, условие (6. 26) оказывается слишком ограничительным. Фактически формула (6. 25) обладает достаточно высокой точностью уже при условии (5. 29), т. е. hz0 > 3. Последнее подтверждается, в частности, на примере из п. 2 § 7.

и рассмотреть интеграл J [ l ~ (Ё)], если £ < С 0 , и интеграл J{1+ (£)], если £ > С0- При исследовании же указанных интегралов нужно •исходить из того факта, что главными частями 1~ и контуров интегрирования являются их участки, расположенные внутри

член Д не слишком мал, по зато весьма мала вся подынтегральная функция в (6. 5) из-за (6. 24'). Поэтому полное пренебрежение велнчипой Д в точках контура Ц приводит лишь к незначительной погрешности, которую, в прин­ ципе, нетрудно оценивать.

96

в котором

причем остаточный член Л оценивается выражением (6. 23) при условии, что в нем С0 заменено на t (Следует отметить, что форма разложения (6. 27) выбрана с таким расчетом, чтобы результаты вычисления интегралов оказались справедливыми при любом

в методе стационарной фазы принято ограничиваться учетом лишь первых двух слагаемых из (6. 27)).

вещественные части слагаемых <р' (£) (С— £) и 1 /2 ш" ( £) (С— £)2 поло­ жительны и монотонно возрастают. При этом направления наи­ быстрейшего возрастания этих слагаемых отличаются друг от

ехр

Таким образом, если число е выбрано из условий

(6. 29)

то упоминавшиеся контуры 1~ или I* уже оказываются главными частями исходных путей интегрирования, причем на них фазовую функцию можно аппроксимировать первыми тремя членами раз­ ложения в ряд Тейлора (т. е. равенством (6. 27) при А = 0 ) . Что же касается медленно изменяющейся функции (C2 -)-z|)_ ,/ s то ее до­ статочно заменять постоянной (£2 +z2 )-'/<, т. е. первым членом раз­ ложения в ряд Тейлора. Наконец, следует еще отметить, что, после того как указанная аппроксимация подынтегральной функ­ ции уже произведена, контуры 1~ или I* можно снова дополнять (не внося заметной погрешности в вычисление исходных интегра­ лов) до бесконечных контуров I - (£) или 1+ (£). Последнее же позво­ ляет выразить окончательные результаты вычисления через ин­ тегралы Френеля, для значений которых существуют таблицы [12].

4,

"2 ^ — е—I'fc [^еа+гВ—1 -lis/4

где

положительна) только для того, чтобы в дальнейших формулах,

l+ (£), расположенный в четвертом квадранте плоскости С (рис. 7), в участок (Е, оо) вещественной оси. Из-за / " (£) > 0 такая дефор­ мация законна, так как в четвертом квадранте оказывается С— £=

Бесконечно далекий конец такого контура можно было бы пере­

98

чем мы и воспользуемся в § 7. Наконец, что касается условий при­ менимости формул (6. 30) и (6. 34), то они легко могли бы быть выписаны на основании (6. 29) и подобно (6. 26) оказались бы несколько более ограничительными, чем истинные. Можно убе­ диться, что упомянутые формулы имеют уже достаточно высокую точность при выполнении условия (5. 29). Мы не будем останавли­ ваться на этом вопросе более подробно, тем более что формулы (6. 30) и (6. 34), равно как и последующие формулы (6. 37), при­ меняются в § 7 лишь для изучения полей, играющих в методе вол­ новых продолжений роль помех, от которых следует избавляться.

6. В соответствии с (6. 16) —(6. 21), в случае q ^> 1 необходимо вычислить интегралы J (Z) из (6. 5) при контурах Z, совпадающих

имеет значение (6. 15), то их можно вычислять так же, как вы­ числялись интегралы J \ l ~ (£)] и J [ l + (£)] в п. 5. Следует только учитывать, что контуры 1+ (Е), располагающиеся в первом квад­

в интегралах вида первого интеграла из (6. 30), распространенных по контурам Z* (£), путь интегрирования можно деформировать в участок (£, — со) вещественной оси (но ни в коем случае не в уча­ сток (£, со)). Итак, для интересующих нас интегралов без труда