книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

где знак Re обозначает, что берется только вещественная часть ин­ теграла. При этом если / (it) непрерывна, а ее производная / ' ( t ) удовлетворяет условиям применимости преобразования Фурье, то оказывается

Все употребляемые нами функции предполагаются непрерыв­ ными и фактически финитными, т. е. отличными от нуля лишь в ко­ нечном промежутке времени. Поэтому указанное выше соотноше­ ние всегда имеет место.

80

то для интересующих нас спектральных функций легко полу­

ния свойств прямого и обращенного волновых продолжений в одно­

—со

вкотором М0 = (х0, г/о, ±z0),

2ъ

"о

(5. 22)

обозначает волновое число (а X — длина волны) рассматриваемого возмущения и

п. 2 § 1), сформулированных соответственно^ для полупространств г > 0 и г <( 0. Так, например, функция W (М0, ш) может быть

определена из задачи для среды z > 0, в которой ищется решение уравнения

№ + —"бW = 0

вида (1 . 7), подчиненное граничному условию

и условию излучения на бесконечности (т. е. при z—> со). Эта функ­ ция осуществляет прямое продолжение в область z > 0 стационар­ ной граничной функции U0 (N, ш), заданной в точках плоскости z = 0 . На несложном доказательстве такого утверждения мы не бу­ дем задерживаться, а перейдем к рассмотрению плоских волновых полей, на основе которых наиболее просто выясняются важнейшие свойства волновых продолжений, сохраняющиеся (при незначи­

не зависит от переменной у рассматриваемой декартовой системы координат, т. е.

Выполнение такого соотношения во всех точках х бесконечной

зуется, хотя и употребляется весьма часто при теоретическом обсуждении различных практических вопросов. Приближенное же

локально плоским (на указанном промежутке). Такие случаи уже могут встречаться в приложениях, и может возникать вопрос об из­ влечении полезной информации, содержащейся в сейсмограммах вида (5. 24), зарегистрированных на конечной базе (а, Ь). Случаи локально плоских полей получаются из общего случая поля (5. 24) лишь предположением о конечности базы регистрации функции (5. 24). Поэтому они не требуют специального рассмотрения, если

* При подходяще выбранной ориентации осей Ох и Оу,

82

При этом (5. 21) естественно представлять как повторный интеграл но у и по х и пытаться вычислить внутренний интеграл. Последнее легко производится на основе известной формулы

где (кг) — вторая функция Ханкеля нулевого значка. Заме­ тим, что здесь г имеет значение (5. 6), а под /~ подразумевается

Формула (5. 26) позволяет переписать (5. 21) в виде

причем если выполнено условие

то с достаточно высокой степенью точности функцию Ханкеля под знаком интеграла (5. 28) можно заменять ее приближенным (асимптотическим) выражением

Н ^ ( Щ ^ у ш . е . (5.30)

Во всех задачах сейсморазведки глубина z„ погружения струк­ туры и доминирующая длина волны I применяемого волнового поля хорошо удовлетворяют условию (5.29). Поэтому формулой (5. 30) можно пользоваться практически всегда.

— оо < у < оо на зоны Френеля. Слагаемые такой суммы знакопере-

6* 83

менны и монотонно стремятся к нулю с ростом п. (Собственно го­ воря, только эти свойства суммы и существенны для теории Фре­ неля) .

Как указывается в курсах по оптике, результат суммирования полей источников, распределенных по всему промежутку инте­ грирования, приближенно сводится к результату их суммирова­ ния (интегрирования) лишь по промежутку, отвечающему поло­

Такое же значение имеет длина промежутка, отвечающая поло­ вине первой зоны. Поэтому для значения интеграла из левой ча­ сти (5. 26), распространенного на половину первой зоны Френеля, приближенно получается

что совпадает с точной формулой (5. 26), если для НЦ1' (кг) вос­ пользоваться представлением (5.30). Заметим, что множитель

среднее значение набега фазы в пределах

половины первой зоны. Едва ли нужно подчеркивать, что приве­ денные «пальцевые» рассуждения достаточно грубы в количествен­ ном отношении. Однако они обладают очевидной физической наглядностью, могут применяться и в случае более сложных инте­ гралов типа (5. 21) и, наконец, они приводят к правильным каче­ ственным заключениям, если только хорошо выполняются условия вида (5. 29), а вещественные и мнимые части слагаемых, отвечаю­ щих каждой зоне Френеля, монотонно убывают. (Последнее тре­ бование, кстати говоря, можно заметно ослабить для слагаемых

сдостаточно большими номерами п).

Всоответствии с (5. 28) и (5. 21)—(5. 23), для спектральных представлений прямого и обращенного продолжений в случае

поля (5.24) получаются следующие окончательные формулы:

со

84

Здесь f имеет значение (5. 27), a U0 (х,ш) связано с продолжаемой функцией (5. 24) преобразованием

(5. 11) для прямого и обращенного волновых продолжений в слу­ чае плоского продолжаемого поля (5. 24) можно проводить двумя путями: во-первых, непосредственным преобразованием исходных формул и, во-вторых, подстановкой выражений (5. 31) и (5. 32)

и учитывая симметрию выражения (5. 6) для г относительно точки

V (х, t) замену переменной интегрирования последовательно по

V(x, t)-.

позволяющему записать интересующую нас формулу для прямого волнового продолжения в окончательном виде

СО

ш (Л/0, I)

85

где

Приведенная формула справедлива при любых значениях аргу­ мента х ^> 0, в частности и при т ^> Т. В последнем случае, в соот­ ветствии с (5. 12), нижним пределом интегрирования в (5. 34) фактически оказывается значение т—Т.

Совершенно так же может быть преобразована и формула (5. 11) для обращенного волнового продолжения, рассматриваемая лишь при значениях истинного времени t <С_ Т.* При этом получается окончательное выражение

со

Однако под знаки интегралов этих формул входит не само поле й0, а его преобразования соответственно по формулам (5. 34) и (5. 36).

мул (5. 31) и (5. 32). Однако можно рассчитывать на получение более простых приближенных формул, если функцию Ханкеля заменить ее асимптотическим представлением (5. 30). Последнее законно в случае достаточно высокочастотных полей (5. 24), т. е.

86

к прежним же формулам (5. 33) и (5. 35) с той только разницей, что в (5.34) и (5.36) теперь следует полагать + = 1. Итак,

в практических задачах вместо (5. 34) и (5. 36) можно пользоваться более простыми формулами

К рассмотрению полученных формул для волновых продолжений плоских нестационарных полей мы еще обратимся в § 8.

5.Чтобы выяснить свойства формул, осуществляющих прямое

иобращенное волновые продолжения плоских полей (5. 24) со­

ответственно в точки М0=(х0, z0 ) и Мд = (х0, —z0 ), и прежде всего чтобы установить важнейший для практики принцип локальности волновых продолжений, достаточно на первых порах ограничиться

рассмотрением случая плоской волны

подхода волны (5. 37) к граничной точке х=а базы. Очевидно, что случай бесконечной базы регистрации поля может быть получен из указанного предельным переходом Ъ —> со и подходящим выбо­ ром координаты х0 точек М0 и М„, в которые осуществляется про­ должение, например, так, что х0 — а^>1.

Для граничной (т. е. продолжаемой) функции й0 и ее спектраль­ ного представления имеем (при а ^ х ^ Ь) *

* Вне базы (о, Ь) регистрации волны, естественно, следует считать й 0 (х, г)=0 и U0 (х, ш)=0.

87

где

а затем воспользоваться формулами (5. 41) и подставить значения W (М0, ш) и ffll (Мд, ш) соответственно в (5. 14) и (5. 16).

Сформулированная задача, конечно, является весьма частной. Однако нетрудно видеть, что к ней формально сводится и случай волновых продолжений произвольного поля (5. 24), если его до­ минирующая частота ш и координата z0 точек М0 и М„, в которые совершаются продолжения, связаны соотношением (5.29). Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользоваться разложением Фурье

позволяющим переписать спектральные формулы (5. 31) и (5. 32) для прямого и обращенного продолжений в виде

88

Решение поставленной задачи для нестационарной волны (5. 37),. равно как и вытекающие из этого решения физические следствия, обсуждается в § 7. Вопрос же об изучении свойств волновых про­ должений на основе формул вида (5. 44) затрагивается в § 8. Что же касается следующего § 6, носящего вспомогательный ха­ рактер, то он посвящен исследованию и приближенному аналити­ ческому вычислению интегралов (5. 42), которые (после замены

Заметим, что § 6 можно опустить при первом чтении книги,, если принимать на веру в § 7 все утверждения, касающиеся при­ ближенных аналитических представлений интегралов (5. 42)..

§6.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА

Из формул (5. 45)—(5. 47) вытекает, что для получения' приближенных аналитических выражений функций J ± (к, q, z0)- из (5. 42) достаточно изучить лишь один интеграл

в котором фазовая функция имеет вид

89-