книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

а - < г 0 < Ь - ,

(7.26)

х0 < а-

(7. 27)

*о>Ъ-,

(7.28)

0\

а £

Ъ х

В случае q >

1, как следует из п. 3 § 6, различия в представле­

ниях функции /

(к,

q,

z0 ; ?l7 У

определялись

соотношениями

между значениями

^,

^ и точкой

£° из (6. 15).

В

соответствии

с этим схему качественно различных промежутков

расположения

точки Мд = (х0,

—z0 )

на прямой z = — z 0 = c o n s t удобно иллюстиро-

щие концы

базы регистрации

поля (7. 1), а также точка

|°

из

(6. 15). Лучи падающей волны, приходящие

к точкам а и Ъ и иду­

щие под углом падения 8 >

е0

из (7. 9), изображены прямыми аа

и БЬ. Из

точки

£° оси

обсцисс проведена прямая до точки

(0,

—z0 )

и параллельно

этой

прямой

проведены прямые Ага

и ВХЪ, раз­

бивающие

прямую

z = — z 0 на три части. Очевидно, что абсциссы

точек

Ах

и Вг

имеют

соответственно

значения а —

£° и

Ъ — £°.

*

На

основании

(7. 23) и (7. 25) ясно,

что таким

промежуткам

соответ­

ствуют

промежутки

а+ <; xjj" <

b+;

х% >

Ь+ и х$ <

а+ расположения

абс­

циссы точки

М0=(х$,

z„), в которой поле прямого волнового

продолжения

«совпадает»

со значением

поля

обращенного

волнового

продолжения

в точке Мд.

а -

Ео < Х о

<

ъ - Ео,

(7.

29)

(7.

30)

*о >

Ь -

Ео,

(7.

31)

то для У

из (7. 21) и

£° выполняются

соответственно

неравен­

ства (6. 16), (6. 18) и (6. 20). При

этом значение / (к, q, z0 ;

а —

xQ,

b — х0) из

(7. 22) определяется соответственно формулами

(6. 17),

(6. 19) и (6. 21), если в качестве

Ех и Е2 в них выбраны

величины

(7. 21). Окончательные формулы для поля обращенного

волнового

продолжения

в случае q 5> 1 приведены, в п. 9.

8. Прежде чем выписывать окончательные выражения для

спектральной функции W*0 (М0,

ш) обращенного волнового про­

должения

в

различных

промежутках

расположения

абсциссы

х0 точки М~,

а также отвечающие им выражения для нестационар­

ного волнового поля w0(M~,t),

связанного с W%(M~, t)

формулой

нам придется иметь

дело.

В

случае q <

1

в формулы (6. 10), (6. 12) и (6. 14),

определяю­

щие

значение /

(к,

q, z0; у

У ,

входят функция J (10)

из (6. 25),

функции

/ U + ( y ] ,

Л / . +

(У1~

из (6.30) и функции

J [ l ~ ( У ] ,

/ U~( У ]

из (6. 34). При этом правые части формул (6.

30) и (6. 34)

И'зДМо,

< o ) = - ^ c o s 8

А2

+ 4

F (со) е

— 1Ш >oCO3 0-[:eo-g)8in6

во-вторых,

"о

] ,

(7.

32)

со; а)

\ / ( a 0 - q ) 2 + ,g

W

(Мд,

=

—

cos 6

' ( » ) Х

X

Ф [Уо {к,

а. — х0)\

е

(7.

33)

и, в-третьих

W{Mg,

со; b) =

~jfcos 8

F ( c o ) X

X Ф [Уо {к,

- 7

1 ч * г » ) Ч - ? ( н 1

(7.34)

Ь —

хй)\

е

где Ф (у0)

— обозначает

специальную функцию из (6. 32), (6. 31),

рассмотренную в п. 7 § 6.

Выражение

Wx (М~,

ш), в точности совпадающее с функцией

W'0 (М~,

ш) из (7. 11), представляет собой стационарную плоскую

волну. Что же

касается

функций W (М„, а>; а) и

W (Мд, со; 6),

то из-за

весьма

слабой

зависимости arg Ф [у0 (к,

£)] = — % (к, £)

ваемом нами случае

плоских полей — круговые)

стационарные

волнысоответственно с фронтами

—

V(x0

— а)2 +

zg =

г0 = const

(7.35)

И

1

,

sin О

—

\'(х0 -

6)2 +

4 - —

(Ь -

а) == t0 = const.

(7. 36)

где к=

wfv0

и

применены

обозначения

g

а — хо

b — xp

•

P o ^ T o - ^ T f ^ f '

р « =

^ о ~

' рь

= -^—>

( / - 4 0

)

причем

общий

множитель

при амплитудах,

равный

Vn

- — C O S

dF(a),

здесь

не

выписывается.

В

случае

q > 1 в формулы (6. 17), (6. 19) и (6. 21) для / (к,

q,

zo'> J n

У

и з

(7 -

22) входят

функция /

(/"„)

из (6. 38) и функции

/ [ ^ ( ^ i ) ]

и

/ [ ^ ( у ] , определяемые

формулой (6.37),

правая

*

См.

п.

7 §

6.

8 Г. И. Петрашеиь, С. А. Нахамкин

113

этому в зависимости от расположения абсциссы х0 точки

в том

или ином

из промежутков

(7. 29)—(7. 31) спектральная

функция

W"Q (М~,

ш) из (7. 22) будет содержать два или три слагаемых сле­

дующих типов: во-первых,

W {М~, ш; а) и W {М~, ш; Ъ) из (7. 33)

и (7. 34)

и, во-вторых,

ций (7. 32), (7. 33), (7. 34) и

(7. 41),

получающиеся

в результате

их подстановки в формулу (5. 16).

Функции

W1

{Мц,

ш) из

(7. 32),

очевидно, соответствует плос­

кая нестационарная

волна

Itfj (Мд, t) =

— COS 6

Re

Р(ш)е

v0

cos В

/о

(x0

— a) sin б -f- ( — 2 0 ) cos 5

(7.

42)

v

cos

5

совпадающая с (7. 13). Функции W%

( M 0 ,

ш) из

(7. 41) отвечает

волна

«МЛ/о. 0 =

t'n

т

cos О

Х

-

^

=

{

СО

х

• к

с

ш

i~—

• Г 1

(•£„-") sin 0 1

-

I

—

F(u>)e

"»

sJq--±

.ои

— ;

(7 . 43)

е

4

\

е

L

'

о

J

1 = Т—t

в сторону убывающих значений (х0—а)

с кажущейся ско­

ростью

v/sin о, где 6 — угол падения волны (7. 2). Если функция

/0 (t)

из

(7. 3) достаточно

высокочастотна, так

что

длина волны

Х =

2тс-^-, отвечающая ее

доминирующей частоте ш,

удовлетворяет

ется пренебрежимо малой уже при q >

1.01.

Наконец, спектральным функциям

W (М~},

ш; я) и W {М~,

с»; Ъ) из (7. 33) и (7. 34) отвечают сферические

волны

со

a — x0)\F (со) e L vo

(7. 44)

ная функции

W*, (Л/", со) и w 0 {Мд~, t) обращенного волнового про­

должения

представляются

формулами

Щ

(Л/д,

со) =

\\\ (Л/о,

со) — W (Л/о, со; о) — IV" (Мд, со; Ь),

(7. 46)

Щ(Щ,

t) =

w1(MQ-,

t)~w(Mo,

t; a)~w(Mo,

t; b).

(7 . 46' )

Щ(Мд,

со) =

(Л/о, со; a)-W(Mg,

со; 6),

(7. 47)

й>0

(Л/д, t)=w(Mg,

t; а) — ю (Л/о,

t; b).

(.7. 47')

W*0(Mg,

co)=W(Mg,

со; b)~W(Mg,

со; a),

(7. 48)

too (Mo, t)=w(Mo,

t; b)~w(Mg,

t; a).

(7 . 48' )

ции определены

выражениями (7. 32)—(7. 34) в стационарном и

(7. 42), (7. 44),

(7. 45) в нестационарном случаях.

S*

115-

При падении же волны (7. 2) под углом падения

9, превосходя­

щим предельный угол о0 из (7. 9), т. е. при g >

1, для

иллюстра­

ции расположения

точки

М~ на прямой z = — z 0

следует пользо­

ваться схемой из рис. 13, описанной в конце п. 7. .

Если точка

располагается между точками Ах

и

Вх,

т. е.

если ее абсцисса х0

удовлетворяет неравенству (7. 29), то

Щ {Mi;,

«•>) =

W2

(Щ,

*>) +

W

(Л/о,

« ; а)

- W

(Л/о,

со;

Ь),

(7. 49)

щ{Мо,

t)=w2(Mo,

t) +

w[Mo,

l;

a) — w{Mo,

t;

b).

( 7 . 4 9 ' )

Если же точка M~ располагается на прямой z=—z0

левее точки

А1

или правее точки Вх,

т. е. если х0

удовлетворяет

неравенствам

(7.

30) или (7. 31),

то

имеет место

Щ

(Л/о, со) =

W

(Л/о,

о,;

а) -

W

(Л/у,

со;

Ь),

(7. 50)

щ (Л/о, г) =

и)(Л/д-,

t;

a) — w (Л/о,

t\ Ъ).

( 7 . 5 0 ' )

поля в точках

М~ =(х0,

—z0 )

прямой

z = — z Q = c o n s t и

наряду

с размерной координатой х0

будем

пользоваться (везде,

где

это

удобно) безразмерной

переменной

(7.51)

для абсциссы точки

М^,

а

также

обозначениями

а =

a

b

(7.52)

— ,

|3 = —

для безразмерных

координат концов базы регистрации поля (7. 1).

Очевидно, имеет

место р >• а,

а для величин (7. 40) получаются

выражения

я

Р о

=

v T ^ T ^ l " '

Ра = а —

Ро,

Р* = Р — Ро-

(7 - 40')

В случае q . < 1 поле обращенного волнового продолжения данг

ных (7. 1) с конечной базы (я, Ь) оказывается непрерывной

функ­

цией от х0 во всем интервале — оо <[ ж0

< со, несмотря на то

что

« - Р о < Р < Р - Р о ,

(7-26')

то продолженное поле (7. 46), (7. 46') состоит из трех

слагаемых,

ращенную • плоскую волну (образующуюся

из

падающей

волны

(7. 2) в соответствии с законами геометрической

сейсмики), точно

такую же, как и в п. 2 при продолжении

данных (7. 1)

с

бес­

и

(7. 46'),

представленные формулами

(7. 33), (7. 34) и

(7. 44),

(7. 45), описывают краевые

эффекты

продолжений

поля

(7.

1)

с

конечной

базы, вызванные

дифракцией падающей

волны (7.

2)

ющих из данных (7. 1) на всем бесконечном интервале — оо <

х < с о

значения, отвечающие выбранной конечной базе (а, Ь).

Такие

При расположении же точки М~

(на прямой z=—z0)

левее Ах

или правее точки Вх,

т. е. при абсциссах х0, лежащих в интервалах

(7. 27) или (7. 28), и безразмерной

координате

(7. 51),

удовлет­

воряющей неравенствам

или

Р<*~Ро

(7 . 27')

Р > Р - Р о .

(7.28')

продолженное поле,

представленное

формулами

(7. 47),

(7. 47')

определяющих краевые эффекты. Последний вопрос мы

рассмот­

рим здесь

лишь

качественно,

хотя

под

углом зрения

борьбы

с помехами

метода он

мог

бы заслуживать и более подробного об­

суждения.

11. Пусть q <С 1 и

точка

М~

обращенного

волнового

продол­

жения располагается

в

промежутке

(Ах, Вх) прямой

z = — z 0 .

Если М~=АХ

(или

M^—Bj),

то

оказывается р=

а—р0

(или

Р=Р—Ро), вследствие чегора =-р0 (или

р,,=р0)

и Ф [у0{к,

z0ptt)} =

= Ф

(0) = 1 / 2

(или Ф[у0

(к,

z0pb)

] =

1 / 2 ) .

Отсюда, а также

из (7. 37)—

(7.

39) следует,

что

при

не слишком

малых размерах

Ъ—а базы

в точках М~=А1

и М~й=Вх

краевые эффекты примерно в два раза

слабее полезного сигнала. По мере же удаления Мъ от точек

Ах

или Вх вовнутрь промежутка (Ах,

Вх)

краевые эффекты ослабевают

(опять-таки если база

(а,

Ъ) не

слишком мала).

Определение уровня краевых эффектов по отношению к полез­

ному сигналу в

любой

внутренней

точке

промежутка

(Ах,

Вх),

характеризуемой

безразмерной

координатой

Р — t — Ро.

где

о. < f

< Э,

(7. 53)

легко производится: 1) на основе формул

(7. 37) —(7.

39); 2)

гра­

фика для

|Ф| рис. 9; 3) графиков

рис. 10 для

функции Y0

(р,

q),

входящей

в формулу

(6. 42)

для

аргумента

у0 (к,

I)

функции

Ф [уо {к,

£)!• При этом необходимо задавать значение z0 /X и, в со­

ответствии

с (7. 38)

и

(7. 39),

в

формуле

(6. 42) полагать

£ = z 0 p e

основе линейиой интерполяции)

кривая

для

функции У 0 (р, q)

и с нее снимаются значения Y0 (ра,

q) и YQ

(pb,

q). Абсолютные ве­

\Y0\

считается известным,

и вычисляются

значения у0

(к,

z0pa)

и у0 (к,

z0pb). На основании этих

значений

с графика для |Ф (г/0)|

рис.

9

снимаются

значения

функций

|Ф [у0 (к,

z0pa)]\

и

|Ф [уд

(к, z0 p4 )]|, входящих в (7. 38) и (7. 39),

что и позволяет

вы­

числить амплитуды Аа

и Аь.

При этом если значения р0,

ра и рь

слишком велика), то при определении отношений Аа

: А0

и Аь : А0

радикалы из (7. 37)—(7. 39) можно не принимать

во

внимание.

В _качестве примера приведем данные, отвечающие точке

Мо=М,

расположенной в середине промея^утка (Av

Вх)

* и харак­

теризуемой

координатой

* Через

такую точку проходит обращенный луч, выходящий из се­

редины

базы

(а, Ъ).

Ра = Р0 — -^Ф — а),

Pi = P0 + 4

~ а )

величин из (7. 40'). Отбрасывая

в формулах

(7. 37)—(7. 39) ра­

вопросе близко к единице, и пользуясь

приближенной формулой

(6. 40) для |Ф (г/0)I > п о графикам из рис.

14* легко находим зна­

чения

'

Д = у ( | 3 - а ) ,

(7.56)

Т а б л и ц а 2

д

0.00

0.50

0.S0

0.90

0.95

0.975

0.00

0.58

1.33

2.03

3.00

4.36

10

0.35

0.43

0.70

1.20

2.00

3.40

so

0.16

0.20

0.33

0.55

0.85

1.50

100

0.12

0.14

0.24

0.40

0.60

1.10

Если для рассматриваемой точки М„=М

с координатой (7. 54),

выбирать

размеры

(3—а базы в соответствии с данными

табл. 2,

то суммарные

помехи от краевых эффектов в точке М окажутся

не менее

чем в 3.6 раза слабее

полезного

сигнала. Примерно

та-

* На этих графиках в более крупном масштабе, чем на рис.

10,

вос­

произведены кривые

для функции

У 0 (р,

д) из

(6.43) при значениях

д—(0, 0.5,

0.8,

0.9,

0.95, 0.975). При этом рассматриваются лишь

ок­

рестности

точек

Po =

Po(?)i в которых Y0

(р0 ,

q)=0.