книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

ности,* без труда можно представить функцию gq формулой типа (3. 37). Затем совершенно так же, как и в п. 7 § 3, можно провести рассуждения, указывающие на целесообразность введения поня­ тия об обращенном упругом продолжении граничных значений (4. 10) поля смещений вдоль фиксированного семейства лучей 1т некоторой упругой волны.

В зависимости от интерпретационных задач, стоящих перед исследователем, такое семейство можно выбирать различным обра­ зом. Однако наиболее важным для приложений, по-видимому,

y-f являются коэффициентами преломления (по смещениям) про­

отвечающие как продольным, так и поперечным волнам, распространяющимся соответственно со скоростями (4. 1). Это обстоятельство загромождает общую

картину расположения и движения всех волновых фронтов, возникших к мо­ менту времени т, но не усложняет ее в принципиальном отношении.

70

ворять уравнениям теории упругости в нулевом приближении луче­ вого метода и совместно с падающей волной (4. 18) должны удовлет­ ворять граничному условию (4. 15). Таким образом, роль вектора

их явных выражений, так как они имеют смысл лишь промежу­ точных формул, по которым определяется g q из (4. 20), а затем и величина t 3 (g ), входящая в интересующие нас окончательные

(куда поле продолжается) на расстояниях /г0 от плоскости z = 0 , существенно превосходящих длину Х0 доминирующей волны, со­

При таком предположении (почти всегда выполняющемся в интер­ претационных задачах сейсморазведки) выражение для t 3 (g ) не­ сколько упрощается, что облегчает сопоставление формул для обращенного упругого продолжения поля (4. 10) с формулами для обращенного волнового продолжения поля сейсмограммы, выписываемыми на основе результатов § 3.

6. Чтобы реализовать указанную программу действий, пост­

71

где 8' — производная от функции Дирака, смысл которой разъяс­

щего в формулу (4. 13) для плотности силы, порождающей вектор Грина g5 , только через посредство множителя

(4. 17) при дг=1, 2, 3 в одну векторную формулу, которая, как

тальную и вертикальную составляющие вектора смещений U° (TV, I)

72

вдоль системы лучей 1т, отвечающих продольной волне, проходя­ щей путь от точки М0 до точек дневной поверхности z = 0 без отра­ жений. Нетрудно было бы убедиться, что такой же формулой определяется и результат обращенного упругого продолжения поля (4. 10) вдоль любой другой системы лучей 1т, если: 1) эти лучи отвечают продольной или обменной волне, которая проходила через точку М0 в виде продольного возмущения и в виде такого же возмущения подходила к точкам поверхности z = 0 , и 2) если в фор­ муле (4. 19) для Тт (АТ, Ма) учтены сомножители, отвечающие всем

остается прежней. Поэтому соответствующие формулы мы не бу­ дем здесь выписывать.

7. Переходя к сопоставлению формулы (4. 27) для обращенного упругого продолжения поля смещений (4. 10), выписанной в пред­ положении (4. 21), с формулой для обращенного волнового про­ должения поля сейсмограммы, будем для определенности считать,

кости z = 0 и, во-вторых, что для обращенного волнового продолже­ ния попользуется вертикальная составляющая Щ (N, t) вектора смещений. Тогда обращенное волновое продолжение поля сейсмо­ граммы определится формулой (3.44) при и0 (N, t) = U°(N, t), в которой отношение порядков величины первого и второго сла­ гаемых окажется сравнимым с выражением L m (N, М^}^1 > h^1, где h0 и л0 имеют такой же смысл, что и в (4. 21). При выполнении условия (4. 21) (позволившего прийти к упрощенной формуле (4. 27)) интересующее нас обращенное волновое продолжение за­ пишется в виде

* За счет множителя 10 (/У, М 0 ) cos 6 п величин А (6) и В (0).

73

Сопоставление формул (4. 27) и (4. 28), конечно, нужно произ­ водить при условии, что оба продолжения совершаются в среды

(4. 28) оказываются тождественными. Основное различие сопо­ ставляемых формул следует видеть, во-первых, в том, что в отли­ чие от (4. 28) формула (4. 27) носит векторный характер * и, во-вторых, что в (4. 28) входит лишь одна вертикальная составляю­ щая Щ поля (4. 10), в то время как (4. 27) содержит и вертикаль­ ную £/[), и горизонтальную C/JJ составляющие этого поля. Эти различия, вообще говоря, оказываются существенными в том смысле, что результаты продолжения, вычисленные по формулам (4. 28) и (4. 27), могут, вообще говоря, заметно отличаться друг от друга в количественном отношении. Однако в условиях прак­ тики встречаются ситуации (и, по-видимому, нередко), в которых результаты продолжения полей по указанным формулам оказы­ ваются близкими друг другу. Это имеет место, например, в слу­

(4. 24')) в (4. 27) можно пренебрегать первым слагаемым, содержа­ щим [7°, что приводит (4. 27) к виду, почти тождественному (4. 28) (во всяком случае для вертикальной составляющей вектора

показать, влияют сравнительно слабо на результат вычисления интегралов вида (4. 28) в окрестности волновых фронтов.

Итак, имеются определенные основания считать, что формулы для обращенного волнового продолжения полей сейсмограмм бу­ дут приводить к результатам, не слишком сильно отличающимся

* Под знак интеграла (4.27) входит переменный вектор 10 (Лг, М0), вслед­

ствие чего «суммирование» в (4. 27) производится ие алгебраически, а векторно.

74

от результатов обращенного упругого продолжения полных вектор­ ных полей (4. 10). Исходя из таких соображений, а также учиты­ вая сложившуюся практику проведения сейсморазведочных работ, в которой почти всегда регистрируется лишь одна составляю­ щая поля смещений в точках дневной поверхности (обычно, верти­ кальная), следует полагать, что на первых этапах применения идей обращенного продолжения полей к сейсморазведке вполне оправ­ дано использование формул типа (4. 28) для волнового, а не упру­ гого продолжения. Одновременно с этим необходимо отметить, что было бы полезно поставить специальные исследования с целью выяснения количественных различий в результатах продолже­ ния полей по формулам типа (4. 28) и (4. 27). Если бы такие разли­ чия оказались значительными, то следовало бы перейти к использо­ ванию на практике формул типа (4. 27) для упругого продолже­ ния полей и на основе таких формул исследовать эффективность алгоритмов определения месторасположения отражающих гра­ ниц. При этом, конечно, потребовалось бы поставить вопрос и о трехкомпонентной записи сейсмического поля в условиях работы производственных сейсмических партий.

§5.

О ФОРМУЛАХ ПРЯМОГО

I I ОБРАЩЕННОГО ВОЛНОВЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ ПОЛЕЙ

ВОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ

Впрактике сейсморазведки, как известно, до сих пор широко применяются кинематические методы интерпретации наблю­ дений, равно как и методы выполнения всего комплекса сейсмо­ разведочных работ, основанные на понятии о средней скорости распространения волн в толще среды до искомого отражающего горизонта. Применение такого понятия существенно упрощает выполнение всех интерпретационных построений и во многих слу­ чаях приводит к удовлетворительным производственным резуль­ татам. При этом обоснование упомянутых построеиий фактически всегда производится в рамках простейших законов распростране­ ния волн, описываемых лишь одним волновым уравнением, кото­ рые, как мы видели выше, учитываются (максимально полным образом) и в аппарате обращенных продолжений полей. Таким об­ разом, на основании положительного опыта современной сейсмо­ разведки следует ожидать, что и обращенные волновые продолже­ ния полей сейсмограмм в однородные среды найдут полезные приложения. Что же касается прямого волнового продолжения

полей, то, в соответствии с § 1, его следует рассматривать только в случае однородных сред.

75

Вследствие наибольшей простоты волновых продолжений полей сейсмограмм в однородные среды (по сравнению с другими слу­ чаями обращенных волновых или упругих продолжений) нам представляется, что именно с них нужно начинать как изучение свойств продолжений полей, так и применение метода обращенных продолжений полей к практическим задачам. При этом на первом этапе исследований изучение свойств продолжений целесообразно проводить в следующем порядке: сначала рассмотреть вопросы, касающиеся упрощения общих формул для волновых продолже­ ний полей сейсмограмм в случаях, когда продолжаемое поле оказывается плоским (т. е. не зависящим, например, от перемен­ ной у выбранной декартовой системы координат) или же осеснмметрическим, затем проанализировать «работу» полученных упрощен­ ных формул на примере продолжения полей простейших регуляр­ ных волн и извлечь из этого различные физические следствия и, наконец, изучить особенности волновых продолжений полей, заре­ гистрированных лишь на конечных («небольших») участках плос­ кости дневной поверхности. Последние исследования, в част­ ности, позволят нам установить (§ 7) чрезвычайно полезное для приложений свойство локальности волновых продолжений, а также получить важный для сейсмики результат, устанавливающий зави­ симость между надежностью кинематических построений разреза среды и длиной осей спнфазности используемых для этого волн.

Рассмотрение некоторых пз указанных вопросов удобно произ­ водить на основе спектрального представления Фурье от волно­ вых продолжений нестационарных полей. Поэтому мы начнем со сводки общих исходных формул для нестационарных продолже­ ний полей в однородные среды (вывод которых был приведен в п. 5 § 3) п выпишем их спектральные представления, затем в соот­ ветствии с указанной программой обратимся к исследованию этих представлений, причем из-за огранпченности объема книги не бу­ дем приводить результатов, относящихся к осесимметрическому (или локально осесимметрическому) случаю. Важнейшие из таких результатов практически совпадают с результатами, вытекающими из рассмотрения плоских (или локально плоских) волновых полей. Преимущество последних является следствием, во-первых, наи­ большей их простоты и, во-вторых, важности для современной сейсморазведки, так как идейное обоснование почти всех ее мето­ дов производится в рамках плоских волновых полей.

Наконец, необходимо сделать замечание технического харак­ тера: из-за обилия материала, требующего освещения, и желания выделить разделы исследований, представляющие наибольший интерес для приложений, мы сочли целесообразным посвятить изучению волновых продолжений в случае однородных сред три параграфа (§§ 5—7). В § 5 приводятся исходные формулы для про­ должений граничных полей общего вида, выписываются их спект­ ральные представления Фурье, выполняется упрощение исходных

76

формул на случай плоских волновых полей и ставится частная задача на продолжение поля плоской волны, приводящая к необ­ ходимости изучения некоторых миогопараметрических вспомога­ тельных интегралов. Изучение таких интегралов, играющих перво­ степенную роль в выяснении общих свойств волновых продолже­ ний, является чисто математической задачей, методы решения которой не связаны непосредственно с продолжением волновых полей. Поэтому нам казалось естественным посвятить этой задаче специальный раздел (§ 6).

Использование приближенных аналитических представлений для упомянутых интегралов, выведенных в § 6, позволяет значи­ тельно более компактно и четко излагать материал § 7, в котором изучаются волновые продолжения поля плоской волны, зареги­ стрированной на бесконечной и конечной базах, устанавливается свойство локальности волновых продолжений и на основе упомяну­ того свойства затрагиваются некоторые общие вопросы, касаю­ щиеся практического осуществления продолжений произвольных (плоских) волновых полей. Более подробно последние вопросы обсуждаются в § 8 и увязываются с теми или иными априорными представлениями о структуре изучаемой среды.

1. В п. 5 § 3 были выведены формулы для прямого и обращен­ ного волновых продолжений в однородные среды z > 0 и z < О полей и (х, у, z, t), описываемых одним волновым уравнением со ско­ ростью распространения волн v (М) = y 0 = c o n s t . Предполагалось, что в течение времени

1) Прямое продолжение осуществлялось в произвольно выби­ раемую точку М0=(х0, у0, z0 ) среды z > 0, причем описание произ­ водилось в истинном времени t > 0. При условиях Дирихле оно определялось формулой

со

(5. 4)

77

а при условиях Неймана давалось в виде

со

—со

Здесь z0 > 0 и

2) Обращенное продолжение граничных полей (5. 2) или (5. 3) совершалось в произвольно выбираемую точку М^=(х0, y0i —z0 ) среды z < ; 0, причем описание производилось в обращенном (возра­ стающем) времени т > О, связанном с истинным временем t форму­ лой

—со

не содержащей явным образом значения Т из (5.1) в правых частях.. Заметим, что в соответствии с предположением о промежутка

78

(5. 1) времени регистрации полей в точках плоскости z=Q следует считать

обращенное волновые продолжения поля й0 (х, у, t) из (5. 3),. соответствующего граничным условиям Ыеймана (так как продол­ жения при условиях Дирихле получаются из указанных простым дифференцированием по z0 ). Вследствие этого в дальнейшем будет идти речь только о продолжениях поля (5. 3). При этом в вопросах физического характера, обсуждаемых с целью выяснения ка­

странявшимся в среде z < 0 со скоростью v, вообще говоря, отлич­ ной от vQ. Применительно же к проблемам сейсморазведки вопрос об истинной природе полей й0 (х, у, t) или и0 (х, у, I) не имеетсмысла, так как продолжение поля сейсмических смещений, регистрируемых на дневной поверхности, строго говоря, должно производиться по формулам из § 4, отличным от изучаемых нами сейчас формул для волновых продолжений. Однако по причинам,, указанным в конце § 4, на первых порах разработки метода обра­ щенных продол>кений, целесообразно попытаться применить волно­ вые продолжения и к задачам сейсморазведки. При этом под по­ лями й0 (х, у, t) или и0 (х, у, t) можно, в частности, подразумевать, вертикальную составляющую вектора смещений в произвольной сейсмической среде z <^ 0, зарегистрированную в точках дневной поверхности.

2. Прежде чем выписывать спектральные аналоги выражений (5. 5) и (5. 11), следует условиться о форме, в которой будут представляться разложения функций в интегралы Фурье.

Пусть / (t) — вещественная функция, удовлетворяющая извест­ ным (весьма широким) условиям применимости преобразования Фурье. Тогда имеют место взаимно обратные формулы

В силу вещественности / (t), очевидно, выполняется равенство F(—w)=F*(u>), где звездочка обозначает операцию комплексного сопряжения.* Такое равенство позволяет писать

79