книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

дачи из п. 2, определяющей функцию Грина в рассматриваемом случае z > 0, и, следовательно, формула (3. 30) как раз и дает вы­ ражение интересующей нас функции.

На основании изложенного нетрудно видеть, что функция Грина при условиях Дирихле в случае области z < 0 отличается от (3. 30) лишь знаком. Ее выражение нет смысла здесь выписывать.

Чтобы воспользоваться найденными выражениями функций Грина для получения в соответствии с (3. 19) формул прямого и обращенного продолжений поля (3. 3), необходимо вычислить зна­ чение производной по z от (3. 30) в точках плоскости z = 0 . Для та­

Если подставить найденное выражение производной в (3. 19), изменить там порядок интегрирования по т и ^ р учесть формулы

50

связанных с обращенным продолжением полей в неоднородные среды или же в слоисто-однородные среды, содержащие границы раздела 2,.. В соответствии с определениями, данными в п. п. 1 и 4,

t — х0 ) из пп. 2 и 4. С физической точки зрения такие функции имеют смысл волновых полей, подчиненных иа дневной поверхности z = 0

В случае сложных неоднородных сред z < 0 построить функцию Грина в точном виде практически невозможно. Однако если инте­ ресоваться лишь точками М, расположенными вблизи дневной по­ верхности (как легко видеть, только такие точки и существенны для использования формул (3. 19) п (3. 24)), то совсем нетрудно дать ее представление в нулевом приближении лучевого метода. При этом точность подобного приближения в задачах типа задач сейсморазведки, как правило, оказывается более чем доста­ точной-

распространяться волны вдоль всевозможных лучей. Такие лучи могут быть построены обычными способами по известной величине v (М) скорости распространения воли в нашей среде. На границах раздела 2 ( слоев среды лучи расщепляются на преломленные и отран^енные, причем для углов «падения» лучей на границы выпол­ няются соотношения Сиеллиуса. После ряда отражений и прелом­ лений от границ S; часть волн, возбужденных источником и рас­ пространяющихся вдоль своих лучей, доходит до дневной поверх­ ности z = 0 , отражается от нее, идет в глубь среды z = 0 и снова встречает границы раздела 2,.. Иа этих границах волны снова отражаются и преломляются. При этом часть преломленных волн (безвозвратно) уходит в глубь среды, а часть отраженных волн снова подходит к дневной поверхности и т. д., и т. п. Зная какойлибо луч, можно рассчитать время t (М, М0) прохождения вдоль него волны от точки М0 до любой его точки М, и, если рассмотреть

52

и перенумеруем их индексами т=1, 2, 3. . ., расположив в после­

всегда (кроме экзотических случаев, которые можно здесь не учи­ тывать), при любом фиксированном значении времени т к границе z = 0 успевает подойти лишь конечное (обычно небольшое) число от­

соответствующего семейства лучей с номером т, можно написать

равно произведению коэффициентов отражения или преломления волны с номером т на всех границах 2,-, которые встречал луч на пути от точки М0 к точке М поля; L m (М, М0) — относительное геометрическое расхождение лучей волны, а величина \т (М, М0) обозначает время пробега такой волны от М0 до М. Заметим, что если взять точку М=(х, у, z) на дневной поверхности (т. е. в М положить z=0) и обозначить -

где минимум выбирается из всех точек M=N, принадлежащих дневной поверхности, то для введенных ранее моментов времени t j t будут выполняться равенства

53

справедливое для точек Л/, расположенных вблизи дневной по­ верхности z = 0 . Слагаемые ит (М, т) в (3. 37) определяются фор­ мулами (3. 35), а вторые слагаемые имеют значения

было бы толковать как поле, возбужденное мнимым источником

Заметим, во-первых, что, в соответствии с (3. 19), здесь в качестве

54

суммирования в суммах из правых частей (3. 39) (т. е. замена не­ равенства *т ^ т 0 — х в первой сумме на неравенство \, ^ х 0 во второй) оказалась возможной из-за конечности скорости рас­ пространения волн в среде. Формально это есть следствие того

венно равны нулю при отрицательных значениях аргументов. Поэтому отличными от тождественного нуля слагаемыми второй

(3. 39) в виде второй суммы. Наконец, следует отметить, что вычис­ ление производных по z от выражений t ) n (М, М0) и L m (М, М0), входящих в правую часть (3. 39), может вызвать известные трудно­ сти в случае сложных неоднородных сред z < 0.

Совершенно так же легко получается лучевое представление функции Грина | (М, М0, х— т0) при условиях Неймана. Для этого следует только учесть, что коэффициент отражения волн (3. 35)

Итак, мы получили приближенные выражения для множите­ лей, зависящих от функций Грина под знаками интегралов в (3.19) п (3. 24). Подстановка (3. 39) в формулу (3. 19), в которой берется

новка (3. 40) в формулу.(3. 24), в которой перед интегралами бе­

из (3. 20). При этом в обоих случаях продолжаемые поля рассмат­ риваются в обращенном времени х из (3. 4), а структура среды z <^ 0 (т. е. значение скорости v (М) как функции от точек М среды) предполагается известной.

7. Переходя к обсуждению выведенных формул, следует пре­ жде всего подчеркнуть, что они строго базируются на определении понятия «обращенное продолжение», данном в п. 8 § 1, и, следо­ вательно, обладают упоминавшимися в п. п. 9 и 10 § 1 недостат­ ками. Правда, один из недостатков, связанный с трудностью ре­ шения математических задач (3. 1), (3. 2), (3. 3), (1 . 20) и (3. 1), (3. 2), (1 . 20), (3. 21), (3. 23), из которых, согласно определению, должны получаться фукнции w и w, нам удалось до некоторой сте-

55

пени преодолеть тем, что вместо точных выражений функций Грина мы решили пользоваться их приближенными лучевыми представ­ лениями. Однако и этот недостаток еще не преодолен полностью, так как выражения (3. 39) и (3. 40) могут оказаться достаточно сложными, если число входящих в них слагаемых велико.

Что же касается первого и наиболее существенного недостатка, связанного с наличием в обращенном поле ложных (паразитных) волн, то он, естественно, полностью сохранился и в наших фор­ мулах. Чтобы пояснить существо дела, рассмотрим простейшую ситуацию, уже обсуждавшуюся в п. 9 § 1. Мы видели, что если ис­ точник Р, возбуждающий истинное поле и (х, у, z, t) в среде z •< 0

волна, отраженная дневной поверхностью, которую нет смысла

Посмотрим теперь, что дают в рассматриваемом случае наши формулы обращенного продолжения. В соответствии с изложенным в п. 6 способом, построения функций Грина ясно, что при доста­ точно больших Т правые части формул (3. 39), (3. 40) должны со­ держать два слагаемых. Первое слагаемое, отвечающее лучам вида М0п (рис. 5), будет давать обращенное продолжение волны, иду­ щей то точек z = 0 прямо к точке М0, как и должно быть. Второе же слагаемое, отвечающее лучам вида М0тп (отражающимся от гра­ ницы SS'), дает ложное, паразитное поле, от которого мы хотели бы избавиться. Естественно, что в случае более сложных сред число паразитных волн, содержащихся в наших формулах обращенного продолжения, может оказаться большим единицы, что еще более затруднило бы использование таких формул на практике.

представляет труда избавиться от указанного недостатка. Дей­ ствительно, в задачах сейсморазведки всегда известно расположе-

56

нпе источника, возбуждающего поле, которое регистрируется при z = 0 и затем подвергается обращенному продолжению. Также всегда считаются известными качественные представления о струк­ туре изучаемой части среды, составляющие содержание так назы­ ваемых априорных сведений о среде, без которых невозможна даже постановка сейсморазведочных задач. В таких условиях не представляет труда установить путем лишь качественных рас­ смотрений, какие типы волн должны содержаться в истинном обра­ щенном поле, распространяющемся в изучаемой части сейсмиче­ ской среды. После же того, как это сделано, в формулах (3. 39) или (3. 40) можно отбросить члены, отвечающие паразитным вол­ нам, и сохранить лишь такие слагаемые, которые соответствуют истинным обращенным волнам, распространяющимся вдоль тех или иных известных систем лучен.

Таким образом, мы приходим к естественному понятию об об­ ращенном продолжении граничных значений поля вдоль семейства лучей /„,, отвечающих некоторой выбранной волне определенного типа. Например, можно осуществлять обращенное продолжение поля вдоль лучей (прямой) волны, которая шла от точек М0 до границы z = 0 без отражений. Можно рассматривать волну, ко­ торая распространялась от точек М0 до дневной поверхности, ис­ пытывая отражение на какой-либо определенной границе 2,-, и т. п. Одним словом, для обращенного продолжения граничных функций и0 или й0 следует выбирать лучи такой волны, присут­ ствие которой на сейсмограммах предполагается в силу априор­ ных соображений и которую представляется целесообразным ис­ пользовать при решении интерпретационной задачи, стоящей перед исследователем.

8. Итак, в основу использования обращенного продолжения полей на практике целесообразно положить следующее оконча­ тельное

О п р е д е л е н и е . Пусть в результате регистрации неко­ торого поля и (х, у, z, I) в точках дневной поверхности z = 0 неодно­ родной стреды z <^ 0 определена функция

57

При этом хи| (Л/, М0) обозначает время пробега волны от точки М0 до переменной точки М, расположенной вблизи границы z=0 , вдоль соответствующего луча из lm; L m (М, М0) — относительное геометрическое расхождение системы выбранных лучей, а /,„

— СО

CO

— CO

подобной (3. 32). Здесь N=(x, у) обозначает переменную точку плоскости z = 0 , по которой производится интегрирование. Что же касается производной

то она выражается через угол падения 0 луча lm в точке N пло­ скости z—О. Остается лишь отметить, что если точка М0 распола­ гается па достаточно больших расстояниях от границы (много больших доминирующей длины волны поля (3. 41)), то вторым слагаемым в (3. 44) следует пренебрегать по сравнению с первым.

О—со

•где

58

Учитывая свойства 8-функции Дирака, нетрудно видеть, что подстановка (3. 47) в (3. 46) приводит к окончательной формуле

со

полей в однородную среду z < 0, в которой v (M) — v0, полученные нами в п. 5, в точности укладываются в рамки понятия продол­ жения поля вдоль системы лучей lm. Они получаются из наших общих формул, если учесть, что в однородной среде единственной

случай сред, дневная поверхность которых не является плоскостью, а определяется уравнением z=f {х, у), заданным в декартовой си­ стеме координат (х, у, z), ось Oz которой направлена вверх, т. е. в область, не занятую изучаемой средой. Мы рассмотрим лишь об­ ращенные продолжения полей, причем рельеф дневной поверхности будем считать «слабопересечеиным» в том смысле, что радиусы кри­ визны дневной поверхности во всех ее (существенных) точках пред­ полагаются много большими длин доминирующих волн, входящих в продолжаемые поля. Такое допущение позволяет рассматривать функции Грина в нулевом приближении лучевого метода.

Если считать, что во внутренних точках среды выполняется не­ равенство z <\ / {х, у), то для внешней нормали n=?i1 i-|-«2 j-f-n3 k к дневной поверхности имеет место

59