книги из ГПНТБ / Петрашень, Г. И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки

и, в соответствии

с

(8.6), положить

СО

U0(x,

ш) =

-^.

\ V (v, ш) e - " * d v

J £/(v, <o)e-f v *dv, (8.10)

—со

—v{co)

2тс

соj | U0

(х, a) —

U0 (х, ш) |2 cZx =

со J| U (v, • И) — V (v,

ш) |2 cb sS ъЕ0 (со),

—со

—со

означающее, что (в принятой мере близости волновых полей) функ­

ции (8. 6)

и (8. 10) следует считать эквивалентными друг

другу.

(В пределах точности, с которой ведется исследование

и

которая

определяется выбором числа s в (8. 9), каждую из упоминавшихся

функций

можно заменять другой. В частности, с самого

начала

можно было бы брать (8. 10) вместо (8. 6)).

На промежутке — v (со)

<

v < v (ш) функция U (v,

со), совпа­

дающая с

V (v,

со), может

быть разложена

в

ряд Фурье

со

.

ър

через значения функции (8. 10) в точках х=

тгр/v (со). Но функцию

U0

(х, ш) можно

заменить

эквивалентной

функцией U0

[х,

ш)

из

(8. 6). Если это

сделать,

ввести

обозначение

Д5 = г^-г

(8.11)

V ((D)

v

'

и перейти к комплексно-сопряженным

величинам в обеих

частях

разложения, то ряд Фурье для

U* (v,

со) запишется в виде

со

U* (v, со) = V* (v, ш) ==

2

0*0

(р&х,

со) е-'Р^Ах,

(8. 12)

р=—со

что функция О* (v, со), определяемая

рядом из (8. 12), совпадает

с U*

(v,

ш) из (8.2) на

промежутке

— v ( c o )

< C V < C ' ( " > ) . Вне

этого

промежутка

значения О* (v,

со) повторяются

с

периодом

2т:/Дх.

Если

воспользоваться

равенством

со

со

0%(х,

* > ) = ^

\ # * ( ч ,

o > ) e " * d v =

^

0*{рАх,

ы)Ь(х

—

рЩ,

—со

р ~ — со

со

W*0 (Мд, со) =

-

у

^

В о " ( J fp)

°о (РД2, со) Д.г,

(S. 13)

р——со

где F имеет значение

(5. 27) при х—рАх.

Из последней

формулы,

совершенно так же, как из

(5. 32) в п. 1, получается выражение

>У* (v,

со) = V*

(v, со) Нго

(V, со),

(8. 14)

и отличающееся от (8. 1) лишь заменой

U* (v, ш) из (8. 2) на пе­

риодическую функцию О*

(v, ш) из (8. 12). Спектры (8. 1) и (8. 14)

будут, (практически) совпадать, если в

область | г(| <

(• из (8. 3')

или, что то же, в область

| v| <С ш/и0 пропускания

характеристики

(8. 3) или (8. 3') не попадает повторных

спектров

периодической

функции (8. 12). Если, как это обычно

бывает в условиях прак­

тики, основная ветвь спектра О* (v, to) сосредоточена

в области

со

,

у

0 О < й » ,

| 4 < v r p = -

+

e - 7 T ^ - ) ,

(3.15)

Д х <

|=Г = - й — ^

•

(8.16)

W ^ o -

(8.17)

Некоторые сведения о выборе шага Ах можно

почерпнуть

из § 9.

3. Из изложенного в п. 1 следз^ет, что само по себе

обращенное

ладала бы регулируемой избирательностью, позволяющей

учиты­

вать априорные представления о среде и об особенностях

поля

щ (х, t). Вопрос о такой форме волновых продолжений

легко

может быть выяснен на основе результатов § 7, в частности

свой­

ства локальности, если исходить из формул вида (5. 44)—(5.47)

рении мы будем предполагать, что поле и0

(х, t)

регистрировалось

на базе (а, Ъ) и будем пользоваться следующими двумя вспомога­

тельными

полями:

Ъ

со

*{х,

«: <?l> ? 2

) = \ Qil)dq

\ йо(х

+ х',

t +

q^jdx',

(8.18)

Ч\

—со

У:

со

s{x,

Г,

<7i. q-i) =

\ Q (q) dq

5 j-tu0(x

+

x',

t +

q^jdx',

(8.19)

?i

-co

где считается, что й0 (х, £)=0 при х •< а и х > Ь. Здесь qx < g2 —

некоторые

числа, a Q (q) ]> 0 — весовая

функция,

выбираемые

продолл^ается

поле.

Если учесть (5. 18') и (8. 2'), то для спектральных (по перемен­

ной

t) функций от (8. 18) и (8. 19) будем иметь

СО

? 2

S {х,

со; дх, д2)=

J

s {х,

t; qlt

д2)

e-'^dt

=

J Q (g) U {kg,

со) e~f^xdg, (S. 20)

-co

§

(г, 'to;

д ъ

qz) =

\ Q (g) mU

{kq, to) e~ik<i*dg,

(8. 21)

где использовано

обозначение к— w/v0 из (7. 6), a U (v, со) опреде­

ляется формулой

(8. 2'). Обратное

же, например

по отношению

к (8. 20), преобразование Фурье запишется в виде

со

q3

. / q

\

s {x,t;

д1,д.1)=

— Ле]

du

^ Q{g)

U (кд, ш)е

"°

dg,

"

о

? 1

и,

во-вторых, что параметр q

связан

соотношением-

" ( 0 )

sin 0 =

sin 6,

(8. 23)

подобным (7.8), с углом падения

6 лучей волн, подходящих к по­

верхности z = 0 из истинной среды z <С 0 со скоростью

распростра­

нения v (М).

При этом считается, что

0 >

0 (О <С0), если

падаю­

щая волна

распространяется

в

сторону

возрастающих

(убываю­

щих) значений х,

& v (0) является значением v (М)

в точке встречи

луча

с дневной

поверхностью.

Наконец, следует

подчеркнуть,

что переход от функции сей­

смограмм й0

(х,

t) к

вспомогательным

функциям

(8. 18)

и

(8. 19)

совершается: 1) путем подавления всех компонент поля

ii0

(х,

t),

кажущиеся

скорости которых не попадают в промежуток

(8. 22),

и

2)

путем

некоторого искажения «пропускаемой» части поля

й0

(х,

t),

вызванного

домиожением

спектральной

функции

U

(v,

ш) в

(8.7)

соответственно

на

множители

Q (q)

2та;0 /со

и

2 rcv0i

Q (q),

изменяющиеся «медленно» при изменении

со в области

ш

^ ш о ! > 0 спектра

поля

йп (х,

t).*

Наличие таких

множителей

задачах) от использования

поля (8. 7) с вырезанными

промежут­

ками

( — с о , qx ш/и0) и (q2

<о/у0, со) пространственной

частоты

v.

4.

Предположим сначала, что по граничному полю иа (х,

t)

ния для того,

чтобы

вся информативная (по

отношению

к точке М) часть граничного поля г70 (х, t) была

продолжена в

* Высказанные утверждения вытекают из сопоставления (8. 20) и (8. 2J)

с формулой (8. 6), в

которой

переменная интегрирования

v заменена па

<7=v/A:=vy0 /co.

нужно понимать вклад в функцию й0

(х, t) от поля

«полезной

волны», лучи которой (при

распространении волны

к границе

z = 0 ) проходили через точку

И или

ее небольшую окрестность.

на

осиовапии которых выбирается

модель исследуемой

среды.

Эта

модель всегда характеризуется

некоторым (иногда

даже

известно, что

эта граница, если она

существует, образует угол <р

с горизонтом, заключенный в промежутке <рх <С <р <С % и

характери­

зуемый плотностью априорной вероятности Ф (<р). При

известном

расположении

пункта воздействия

и (приближенно)

известной

Также

легко вычисляются

(удовлетворяющие

неравенству

а < С б ) граничные точки а=а

(ж, z0 , 0Х) и Б—Б (%, z0 , 02) проме­

жутка

на поверхности z = 0 ,

в который приходят

упоминавшиеся

ъ

Q(q)>0

и j Q (<7)dg = l ,

(8'.24)

информативная по отношению

к

точке

М часть поля й0 (х,

t)

содержится как в поле s (х, t; qx,

q2) из (8. 18), так и в поле § (х,

t;

qx, q2) из (8. 19) и соответствует

интервалу значений х профиля,

включающему в себя промежуток

а <^х

<С5. При этом концы а

и Ь промежутка, кроме координат х и z0

точки Ш, зависят соот­

ции Q (q) априорных

сведений,

удовлетворяющей (8. 24).

Если

все значения q из промежутка qx

<! q < q2 представляются

равно­

вероятными, то Q (q) = (q2—Если

же в указанном

проме­

жутке содержится

значение д0 , представляющееся наиболее

в соответствии с

чем

полагается

v (M)=v0,

а

формула

(8. 23)

переписывается в

виде

q = sin 6 =

sin 8.

(8.23')

Будем считать: 1) что значения

чисел qt,

q2

и функция

О (q)

в выражении поля s (х,

t; qx, q2) из (8.18) выбраны указанным

выше

ff*0 (Mo, со; qu g2 ) = ± = г j Q (q) U* (kq, kv0)

(к, q, z0) dq, (8. 25)

J (к,

q, 2 o ) =

e « ^ o - 0 ) ( /

^ 5 .

V , а _ х 0

,

Ь-х0),

если

5

> 0 ,

[

1

(к,

\q

|, г0 ;

xQ —

Ь,

Хо — а)

при

q < 0,

где функции / (к, q,

z0 ;

а—х0 ,

Ъ—х0)

и

/

{к,

\q\,

z0 ;

х0—Ъ,

х0—а)

обозначают при соответ­

ствующих

значениях

аргумен­

тов

^

и Е2 интеграл /

(к, q, z0 ;

Zx,

с2 )

ИЗ

(6.

1),

ДЛЯ

КОТОРОГО

в § 6 были

получены

необходи­

мые приближенные выражения.

Предполагая

ради

кратко­

Рис. 16.

сти

дальнейших

обсуждений,

точки М0~={х0,

—z0 ),

что qx > 0

и

рассматривая

расположенные

на прямой z = — z 0

в окрест­

ности

точки

М=(я,-

z0 ) (по которой

в п.

4

были

выбраны

значения чисел qx и

д.,),

а

также промежуток

(а,

В),

нетрудно

убедиться

в

следующем:

если

при

помощи

(8. 23')

для лю­

бого

фиксированного

q

из

промежутка

qx

<С g <С ?2

определить

угол 0 и построить луч Mm,

а также параллельные

ему

прямые

аАц и ЪВ

(рис. 16), то абсциссы

точек А0 и В0,

лежащих на пря­

мой z = — z 0 ,

будут иметь значения а~=а—z0tg6,

Ъ~—Ъ—z0 tg б,

аналогичные

(7. 25).. При этом для абсцисс хй точек М~,

располо­

женных в достаточно

малой

окрестности точки

И,

будет

выпол­

этими формулами,

аналогично

тому,

как

это

делалось

в

п. и. 8

и 9 § 7, преобразуем спектральную

функцию

(8. 25) к виду

<•>;

s i . iz)

=

wiiMo<

щ ; ? i .

?а) —

wa(мо.

ы ; 3i,

з2 )

—

где

~Wb(Mo,

со;

? 1

, 9

в

) ,

(S.27)

•

/"5

5

! (Л/о, со;

q2)

=

=±\Q

(5) Сб( ^) + Z " (7* (kq,

со)e

- « W H 4 « J (

J

j )

( 8 . 2

8 )

W a

(A/J,

<о; ?

1 ,

дй) =

-

1

^ ( » Q - f l ) 8

+

»ii e - « V ( - 0 - a ) 4 ^

х

г 0

X

J С? (?)

t7* (ftg,|co) е № ' а

Ф [г/о (*,

a -

*о)1 <*9,

(8.

29)

«а

X

J С? (9)

17* (fcg, со) в'**» Ф [j/o (/с,

6 -

* 0 ) ]

dq.

(8.

30)

?|

При этом следует учитывать, что

здесь

а зависимость выражений у0 (к,

а — х0)

и

у0 (к, Ъ — х0)

от

перемен­

ных q, к, z0 н

х0

определяется

равенствами

//0 (ft,

а~

x0)

=

yQ(k,

z0pa)

=

y

*^\У0{ра,

д)\,

(S.

32)

i/o (ft,

b~x0)

=

y0(k,

г0 р4 ) =

| / " ^ | У о ( Р 4 .

3)|>

где р а и р 4

определены по (7. 40),

a

Yn

(р,

q) имеет значение (6. 43).

Вследствие

монотонной и

сравнительно

медленной

зависимо­

сти функций Ф [у0

(к,

а—х0)]

и

Ф 1Уо (к,

b—ж0)]

от переменных

х0

и z0 (равно как и

от q

и к), второе

и третье

слагаемые

из

правой

части (8. 27) определяют

(так

же

как

и

в

(7. 46))

сферические

(точнее, круговые) волны-помехи

краевых эффектов

от

концов

a

и b базы продолжения. Первое слагаемое, представленное

форму­

должение поля

(8. 18), должна выбираться так, чтобы поля крае­

вых эффектов

оказались пренебрежимо

малыми по сравнению

с полем Wx из (8. 28) во всех точках М^,

расположенных вблизи

1

1

a = a ( 9 l ) - - J R U ( Q I ) >

B = 5 Ы + Y Я о Ы .

(8.33)

производится

по промежутку (а, 6), при этом функцию

й0 (х,

x+it) можно

заменять (а можно и не заменять) на s (х,

i - } - ^ ;

тельно

небольшой длины (Ь—а) базы, с которой

производится

продолжение. (Естественно, что

если Q (q) заметно

убывает при

q - * g ! и q —»- g2 , то эффективная

часть базы оказывается меньшей,

чем (а,

Ь)).

ность точки Ж рекомендуется

пользоваться

формулами

(5. 35)

и (5. 36'), вместо того чтобы просто подставить в (5. 16)

полезную

(инфомативную) часть Wx (М^,

u>; qt, q2)

спектральной

функции

W*0 из (8. 27)? Ответ на такой вопрос заключается лишь в том, что

получаемое при такой подстановке поле не

удается преобразовать

к достаточно простым и удобным на практике

окочательиым

фор­

информативностью

в

задаче

локализации

отражающих горизон­

тов,

как и

первичное

поле

й0 (х,

t).

Действительно, если исходить из поля (8. 19), сравнить (8. 20)

с (8. 21) и учесть (8. 31), то для первого слагаемого новой фор­

мулы

вида

(8. 27)

будем

иметь

I ? !

(Л/о", со; ? 1 ,

дг)

=

V0\Q

(?) U

J I ^

) ] е - ' * ! * ^ 1 - » * . ! dg.

(8. 34)

Z7*(v, to) = J e-'^dx

J щ(х, i ) e^'dt,

(8 . 35)

Wx

(Л/5", со;

glt

g2) =

Q(g)

g 2 dq X

vo \ ^ _ g

X)dxe

1 0

0

J

J й

0

(*•

t)

e^'dt.

(8. 36)

а

Нетрудно

видеть,

что результат подстановки такой

функции

в формулу (5. 16) * приводит (для информативной части

обращен­

ного волнового продолжения данных а0

(х, t) в окрестность точки М

из

п.

4) к окончательному

полю

Г

Q (q)

Г

z 0

,

а

dg, (8.37)

(М^;

q x , q2) = v0

] ^ = = - S

0

[ j ? t

а, Ъ\ f + — VI —

дЪ— — х 0

•g

где

обозначено

S0

(q, a, b;

t) =

J й 0

* +

g ~ )

dx.

(8. 38)

a

Для проверки последнего утверждения достаточно вычислить

по

функции

(8. 37) интеграл

со

J w

(Mo,

t;

qlt

q2)

eiwidt

CO

и

убедиться,

что

он

совпадает

с

(8. 36).

*

Вместо W* (х,

<о).